III 3 Dérivée d’une fonction uniforme f est dérivable en z0 si le quotient 0 0 z z f(z) f(z ))) admet une limite finie quand z tend vers z0 L’existence d’une dérivée est une condition de régularité très forte imposée à la fonction Une fonction dérivable en tout point d’un ouvert connexe est dite analytique (ou holomorphe ou
En cons equence, les r egles de calcul concernant la limite d’une somme, d’une di erence, d’un produit ou d’un quotient restent valables De plus, le crit ere de Cauchy suivant lequel la suite fz ng n2N admet une limite si et seulement si lim m;n+1 jz m z nj= 0 est encore vrai Exemple Lorsque z nz, jz njjzjmais il n’est pas sur
s’exprimer cpmme la limite d’une suite ou comme la somme d’une s´erie Il est donc na-turel d’´etudier la repr´esentation de certaines fonctios comme limite d’une suite de fonc-tions ou somme d’une s´erie de fonctions, et une question fondamentale est alors l’´etude des propri´et´es de ces fonvctions limites ou de ces
Fonctions d’une variable complexe 2 1 Objets du plan complexe 2 1 1 Le plan complexe C On peut d´efinir un point z du plan complexe C par la donn´ee de deux coordonn´ees r´eelles de diff´erentes mani`eres Par exemple z = x+iy ou` x, y ∈ R ou bien encore z = ρeiθ avec ρ ≥ 0 et θ ∈ [0,2π[ a 2kπ pr`es On a donc x = ρcosθ
Analyse complexe “COMPLEXE adj (lat complexus, qui contient) Qui contient plusieurs e´le´ments diffe´rents et combine´s d’une manie`re qui n’est pas imme´diatement claire pour l’esprit, qui est difficile a` analyser ” (Petit Larousse illustre´ 1983)
La définition de l’intégrale s’étend naturellement au cas d’une fonction f définiesurunintervalle[a,b] etàvaleurscomplexes Definition Soitf,définiesur[a,b] àvaleurscomplexes,continueparmorceaux (tellequeRef etImf soientcontinuesparmorceaux) Alorsl’intégrale def sur[a,b] est: Z b a f(t)dt= Z b a Re(f)(t)dt+i Z b a Im(f)(t)dt
2 Limites d'une fonction Limite en l'in ni, limite en un réel Limite à gauche, limite à droite Lien entre fonctions et suites Opérations sur les limites Branches in nies Ordre et limites 3 Continuité d'une fonction Continuité en un point Prolongement par continuité Opérations Continuité sur un intervalle 4 Fonctions trigonométriques
Int´egration complexe 1 Int´egralesd´efiniesd’unefonctioncomplexed’unevariabler´eelle Les int´egrales sont extrˆemement importantes dans l’´etude des fonctions d’une variable complexe Nous ´etablirons l’´equivalence entre les notions de fonction ana-lytique, d’une part, comme fonction d´erivable en chaque point d’un
la fonction tend vers 0, mais même elle vaut 0 sur tout un voisinage à droite de 0) 17e exemple : déterminer la limite de ( x¡ 1) e 1 = ln x quand x 1 + Effectuons le changement de variable x = 1+ h : il s’agit donc de déterminer
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FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE
III 3 Dérivée d’une fonction uniforme f est dérivable en z0 si le quotient 0 0 z z f(z) f(z ))) admet une limite finie quand z tend vers z0 L’existence d’une dérivée est une condition de régularité très forte imposée à la fonction Une fonction dérivable en tout point d’un ouvert connexe est dite analytique (ou holomorphe ou régulière) Une fonction
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Fonctions d’une variable complexe
2 CHAPITRE 2 FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE α β z(t) t γ(t) z1 = γ(α) z2 = γ(β) changement brusque de direction en certains points de sa trajectoire, en dehors de ces points la vitesse est une fonction continue 2 On peut avoir γ(t1) = γ(t2) pour des temps t1 et t2 diff´erents 2 1 4 Chemins homotopes
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Limites et continuité de fonctions
2 Limites d'une fonction Limite en l'in ni, limite en un réel Limite à gauche, limite à droite Lien entre fonctions et suites Opérations sur les limites Branches in nies Ordre et limites 3 Continuité d'une fonction Continuité en un point Prolongement par continuité Opérations Continuité sur un intervalle 4 Fonctions trigonométriques réciproques La fonction arcsin
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4 Fonctions analytiques
la fonction f(z) tend vers sa limite ind´ependamment de la mani`ere dont le point z tend vers le point z 0 Il est utile de faire tout de suite le lien entre la limite d’une fonction d’une variable complexe et les limites des fonctions a valeurs r´eelles de deux variables r´eelles Pour une fonction f(z) de la forme f(z) = u(x,y)+ iv(x,y), z 0 = x
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5 Int´egration complexe - Paris Diderot University
Les int´egrales des fonctions a valeurs complexes d’une variable complexe sont d´efinies sur des courbes dans le plan complexe Un arc C dans le plan complexe est un ensemble de points z = (x,y) tels que x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, (2 1) ou` x(t) et y(t) sont des
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Complément : fonctions complexes et théorème de d'Alembert
vient à munir R2 d'une structure de corps pour le produit associ Dé nition 1 2 On appelle fonction complexe une fonction f: U → C où U est un ouvert de C 2 onctionsF complexes dérivables Soit U un ouvert de R2 Soient P et Q: U → R deux fonctions dérivables à aleursv réelles Et soit : f⃗: (x y) ∈ U → f⃗(x,y) = (P(x,y) Q(x,y)) ∈ R2 Ses dérivées partielles sont dé
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Chapitre 1 Suites r´eelles et complexes
Pour exprimer le fait que (un) converge vers ℓ, nous dirons que ℓ est la limite de (un) quand n tend vers +∞, et nous noterons lim n→+∞ un = ℓ ou limun = ℓ ou encore un −−−−→ n→+∞ ℓ Pour que cette notation ait un sens, il faut montrer qu’une suite convergente admet une unique limite Proposition 1 2 2
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Analyse Complexe - UNIGE
arg(f(γ(1)))−arg(f(γ(0))) (7 3) Ceci est un multiple entier de 2πiet compte le nombre de tours qu’effectue le vecteur f(z), quand zparcourt γdans le sens positif Exemple Dans la Figure III 8 sont dessine´s les vecteurs f(z) attache´s au point zpour la fonction f(z) = sin(z/2)/(eaz− b) ou` a= 1 75 et b= 11 4
29 sept 2009 · On définit la dérivée f d'une fonction f continue au point z0 comme la limite (si elle existe): f (z0) = lim z→z0 f (z) − f (z0) z − z0 Une fonction
CHAP
C : ensemble des nombres complexes Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du III 1 Limite et continuité d'une fonction ) L)z(f
varcompl
Ainsi, la fonction définie en (1 68) n'a pas de limite en z = 0, bien que pour chaque chemin différentiable `a l'origine on sache calculer par un processus de limite
fonction c
On voit, par ce théorème, que pour une fonction de variable complexe le fait a étant l'aire de la région R et p une limite supérieure des longueurs des côtés/~
AFST
(c) On dit que fpxq a pour limite l'infini lorsque x tend vers A si lim xÑA ˇ ˇfpxq ˇ ˇ “ `8 Les limites de fonctions `a valeurs complexes vérifient des propriétés
M ch nombrescomplexes
Ce cours porte sur le calcul différentiel et intégral des fonctions complexes d'une va- même, toute limite uniforme de fonctions continues est continue Dans la
analyseC
Définition-théorème (Limite d'une fonction complexe en un point) Soit f : D −→ une fonction, a ∈ adhérent à D et ℓ ∈ On dit que f admet ℓ pour limite en a si : ∀
Cours Limites d
Un chemin L(z1,z2) du plan complexe peut être caractérisé par une fonction γ `a valeurs complexes z(t) = γ(t) du param`etre réel t ∈ [α, β] La fonction γ est
varcomp
2 3 Limites et continuité 2 3 1 limite de fonctions dZune variable complexe Soit / une fonction complexe deune variable complexe z, définie dans un voisinage
polycopi C A Aitemrar
Une fonction complexe admet une limite l dans c si et seulement si ses parties réelle et imaginaire admettent une limite. Remarque f a une limite infinie si et
f1 s'appelle la partie réelle et f2 la partie imaginaire de la fonction f. On note fréquemment f1 = Re (f) et f2 = Im (f). I - LIMITES - CONTINUITÉ.
Un chemin L(z1z2) du plan complexe peut être caractérisé par une fonction ? `a valeurs complexes z(t) = ?(t) du param`etre réel t ? [?
Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du domaine de définition D une image : III 1 Limite et continuité d'une fonction.
Ces propriétés résultent directement de la définition (et notamment du fait qu'une fonction `a valeurs complexes. `a une limite si et seulement si sa partie
Théorème (Unicité de la limite) Soient f : D ?? une fonction et a Définition-théorème (Limite d'une fonction complexe en un point) Soit f : D ?? une ...
Il est utile de faire tout de suite le lien entre la limite d'une fonction d'une variable complexe et les limites des fonctions `a valeurs réelles de deux
FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE cette définition est bien la généralisation de la notion de limite d'une fonction réelle continue qui n'existe que.
Intégrales définies d'une fonction complexe d'une variable réelle de points o`u la fonction bien que discontinue
porte sur le calcul différentiel et intégral des fonctions complexes d'une va- de Cauchy suivant lequel la suite {zn}n?N admet une limite si et ...
Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes