Convergence simple, convergence uniforme _____ 1 Convergence simple, convergence uniforme 2 Un exemple célèbre : convergence vers la courbe en cloche 3 Espaces fonctionnels : convergences simple, uniforme, compacte 4 Limites uniformes de fonctions continues 5 Théorèmes d’interversion de limites 6 Approximation uniforme Pierre
Convergence simple et uniforme de suites de fonctions 1 Etudier la convergence simple des suites de fonctions suivantes sur l’intervalle proposé, puis la convergence uniforme de ces suites sur tout segment inclus dans l’intervalle proposé : a ∀ n ∈ , ∀ x ∈ , 2 2 3 1 ( ) n x n x un x + =, b ∀ +n ∈ *, ∀ x ∈ , = + n x
Exercice 9 : Convergence simple, convergence uniforme Soit, pour n ∈ N∗, la fonction f n d´efinie sur R + par : f n(x) = x + e−x n 2 Etudier les convergences simple et uniforme de (´ f n) n∈N∗ • Convergence simple Pour tout n ∈ N∗, on a : f n(x) −→ n→+∞ x2 Donc la suite (f n) n converge simplement sur R + vers la
Suites et s eries de fonctions f n: x 7 nx 1 + n2x2 (f n) n converge simplement vers la fonction nulle car pour tout x, on a lim n1 nx 1 + n2x2 = 0: f n 1 n = 1 2, alors 8n;jjf n 0jj 1 1 2 et la suite num erique (jjf n 0jj 1) n ne converge pas vers 0 La convergence n’est donc pas uniforme
TD 07 : Suites et Séries de fonctions Ex1 Qualifier le type de convergence (simple, uniforme, uniforme sur tout segment) de la suite de fonctions ¡ f n ¢ n˚1 sur l’intervalle précisé dans les exemples suivants (a) fn: x 7 1 (1¯x2)n sur R¯ (b) fn: x 7 1 (1¯x)1¯1/n sur R¯ (c) fn: x 7x2 sin x n sur ]0,¯1[ (d) fn: x 7
Exercice: Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de fonctions fn n où fn x log 1 nx 1 nx, x ∈R Donner les domaines où il y a convergence uniforme Réponse: Tout d’abord cherchons E n≥0 Dfn / Dfn x ∈R /1 nx 0 n≥0 −1n , Or −1n n ↗et n
1 Étudier la convergence simple de cette suite sur R+ 2 Étudier la convergence uniforme de cette suite sur [a;+1[ avec aun réel stricte-ment positif xé 3 Étudier la convergence uniforme de cette suite sur R+ Exercice 1 Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la série des fonctions X f navec : f n(x) = nx2e x p
Le théorème des gendarmes permet de conclure à la convergence uniforme de ( fn gn) sur I vers f g Convergence simple, uniforme ou normale de séries de fonctions 31 a Pour x fixé, la série ≥1 ( ) n un x vérifie le critère spécial des séries alternées et donc converge Puisque : ∀ x +∈ *, x n x n x x un x 1 (1 ) ~ (1
et +1 n=1 1 n4 Exercice 4 Soit fla fonction 2ˇ-p eriodique telle que f(x) = ex si x2[ ˇ;ˇ[ 1 D eterminer la s erie de Fourier de la fonction fsous forme trigonom etrique 1 Etudier la convergence (simple et uniforme) de la s erie de Fourier de f 2 En d eduire la valeur des sommes X+1 n=1 1 n2 + 1 et X+1 n=1 ( 1)n n2 + 1: Exercice 5
ˇ Cela fournit une autre preuve de la non convergence uniforme de (x 7¡xn)n2N sur [0,1], puisque la limite simple de cette suite de fonctions n’est pas continue en 1 § 2 Double limite — Soit f la limite simple d’une suite (fn)n2N de fonctions définies sur I, et a une borne de I
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Convergence simple, convergence uniforme
Proposition 2 : Critères de Cauchy simple et uniforme Pour que la suite ( fn) converge simplement, (resp uniformément) En pratique , pour étudier la convergence d’une série de fonctions, il faut : − déterminer le domaine de définition commun D des fonctions u n(x) ; − discuter selon les valeurs de x ∈ D la convergence de la série ∑ +∞ =0 ( ) n un x; − si X est le
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Suites et séries de fonctions - maths-francefr
2) Convergence uniforme d’une suite de fonctions 2-a) La norme de la convergence uniforme : k k∞ Soit D une partie non vide de R On note B(D,K)l’ensemble des fonctions définies sur D, à valeurs dans K(K=Rou C) et bornées sur D Pour f ∈ B(D,K), on pose kfk∞ =sup{f(x), x ∈ D} Théorème 1 B(D,K)est un K-espacevectoriel Démonstration • La fonction nulle sur D est un élément de B(D,K) Taille du fichier : 538KB
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1 Convergence simple et convergence uniforme
1 Convergence simple et convergence uniforme On d esigne par Xun ensemble quelconque, par (E;d) un espace m etrique et par (f n) une suite d’applications de Xdans E D e nition 1 1 Convergence simple On dit que la suite (f n) converge simplement vers l’application f(de Xdans E) si, pour chaque xde X, la suite f n(x) converge dans Evers f(x) En d’autres termes, la suite (f n) converge Taille du fichier : 284KB
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Suites de fonctions - Licence de mathématiques Lyon 1
Suites de fonctions Exercice 1 Convergence uniforme Etudier la convergence uniforme des deux suites de fonctions définies sur [0,1]par : 1 ∀????≥1, (????)= ????−????+????2 +???? 2 )∀????≥1, (????= 1+(????+1) Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Autre outil pour la convergence uniformeTaille du fichier : 1MB
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08 - Suites et séries de fonctions Cours complet
Définition 1 4 : convergence uniforme d’une suite de fonctions sur un intervalle Théorème 1 1 : la convergence uniforme entraîne la convergence simple Théorème 1 2 : continuité d’une limite simple et convergence uniforme Théorème 1 3 : continuité d’une limite simple et convergence uniforme sur tout segment Théorème 1 4 : étude d’une limite simple aux bornes d’un Taille du fichier : 69KB
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I Convergence simple, convergence uniforme, convergence
I Convergence simple, convergence uniforme, convergence normale 1 Convergence simple D´efinition La s´erie de fonctions de terme g´en´eral un converge simplement sur A si et seulement si pour tout x ∈ A la s´erie de terme g´en´eral un(x) converge dans K si et seulement si pour tout x ∈ A la suite de fonctions de terme g´en´eral Sn converge simplement sur K Dans ce cas , l Taille du fichier : 68KB
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Suites et séries de fonctions - Cours et exercices de
La suite de fonctions (f n) n2N converge simplement sur R vers la fonction nulle Convergence uniforme sur R On peut noter tout de suite que pour tout n 2N, f n 1 n = 1 2 et donc kf nk ¥ > 1 2 On en déduit que kf nk ¥ ne tend pas vers 0 quand n tend vers +¥ La suite de fonctions (f n) n2N ne converge pas uniformément sur R vers la Taille du fichier : 293KB
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Suites et séries de fonctions
1 Convergence simple 1 1 Définitionetexemples SoitDunensemble Onconsidèreunesuite(f n) n2N defonctionsdeDdansK Lafaçon la plus naturelle de définir une limite pour la suite (f n) n2N est de regarder, pour chaque x2D,lalimiteéventuelledelasuitenumérique(f n(x)) n2N Définition 1 1 Soient Dun ensemble, (f n) n2N une suite de fonctions de Ddans K, et f
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Suites et séries de fonctions
1) Étudier la convergence simple, uniforme, de la série de fonctions : f(x) = P ∞ n=0 ne −nx 2) Calculer f(x) lorsque la série converge (intégrer terme à terme) Exercice 31 Fonction définie par une série 1) Étudier la convergence de la série f(x) = P ∞ n=0 1 1+xn 2) Montrer que f est de classe C1 sur son domaine de définition Taille du fichier : 299KB
Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence, éventuellement uniforme, des suites de
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges suite de fonctions
cosnx Exercice 2 Étudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes : • fn(x) = xn,
TD Suites Fonctions
7 oct 2019 · 2 Convergence uniforme 2 1 Définition et exemples On a vu que la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions est une notion
Agreg series fonctions
n∈N∗ converge simplement vers la fonction nulle sur [0, +∞[ Il y a un lien entre la convergence simple et la convergence uniforme La convergence uniforme est
suites series fonctions
Montrer que la suite de fonctions fn(x) = x(1 + nαe−nx) définies sur R+ pour α ∈ R et n ∈ N∗ converge simplement vers une fonction f à déterminer 2
TD Analyse
une convergence non uniforme sur A) : a) Etude de la convergence simple pour trouver f b) Calcul de an = Sup
MA stefc
1 Suites de fonctions Convergence simple - Convergence uniforme Exercice 1 On consid`ere pour n ∈ N la fonction fn définie sur [0, 1] par fn(x) = nx(1 − x)n
Suites se CC ries fonctions
Exercice 1 : Convergences simples et uniformes 1 Etudier la convergence simple puis la convergence uniforme sur R de la suite (fn)n∈N de fonctions définies
td
La convergence simple n'entraıne donc pas la convergence uniforme En revanche : Proposition 1 13 Si la suite (fn)n∈N converge uniformément sur I vers la
cours mat
x ? E la suite fn(x) est convergente sa limite f(x) est une fonction de x et Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions ...
7 oct. 2019 2 Convergence uniforme. 2.1 Définition et exemples. On a vu que la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions est une notion.
Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple. On dit que converge uniformément vers
Montrer que la suite de fonctions (x ?? xn)n converge uni- formément sur [0a]. Y-a-t-il convergence uniforme sur [0
Donner un exemple de suite de fonctions qui converge simplement sur R mais pas uniformément. Exercice 2. Etudier la convergence simple et uniforme sur [01]
Exercice 5. Convergence simple vers une fonction discontinue. Etudier la convergence éventuellement uniforme
convergente ainsi qu'un crit`ere plus contraignant de convergence la convergence uniforme. Définition 3.1.1. (convergence simple d'une suite de fonctions).
Suites et séries de fonctions. 6.1 Convergence simple uniforme d'une suite de fonctions. Dans ce paragraphe
L'étude de la convergence simple correspond à celle d'une suite ou d'une série II Convergence uniforme des suites et séries de fonctions.
Convergence simple convergence uniforme. 1.1. Suites de fonctions. Définition 1 : Soit X un ensemble
Convergence uniforme d'une suite de fonctions : Définition : soit la suite de fonctions de dans et sa limite simple On dit que converge uniformément vers
Exercice 5 Convergence simple vers une fonction discontinue Etudier la convergence éventuellement uniforme des suites de fonctions définies par :
10 août 2022 · ? L'interprétation de la convergence uniforme lorsque X = R et E = R est la suivante : si (fn) converge uniformément vers f alors pour tout ?
Étudier la convergence simple puis uniforme sur R des suites de fonctions définies par fn(x) = ? x2 + 1 n2 et gn(x) = fn(x) Correction :
13 déc 2015 · La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément vers f sur E? Exercice 2 6 12 (Convergence simple et convergence uniforme) Pour tout n ?
La différence entre convergence simple et convergence uniforme sur A c'est-à-dire entre (1) et (2) est que dans (1) le n0 dépend de ™ et de x alors que pour
Convergence simple convergence uniforme 1 1 Suites de fonctions Définition 1 : Soit X un ensemble (f n ) une suite de fonctions de X dans F On dit
7 oct 2019 · Pour avoir convergence uniforme il faut non seulement avoir convergence simple mais de plus la vitesse de convergence de fn(x) vers f(x) doit
Étudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (fn) donnée par fn(x) = sinn(x) cos(x) Exercice 14 [ 02518 ] [Correction]
Dans le convergence simple le « N » dépend du x et du ? choisi tandis qu'il ne dépend que du ? dans le cas de la convergence uniforme voir remarque 6 1 X y =
Comment montrer la convergence simple d'une suite de fonction ?
Définition : Soit I un intervalle de R , (fn) une suite de fonctions définies sur I , et f définie sur I . On dit que (fn) converge simplement vers f sur I si pour tout x appartenant à I, la suite (fn(x)) ( f n ( x ) ) converge vers f(x) . Ex : I=[0,1] I = [ 0 , 1 ] et fn(x)=xn f n ( x ) = x n .Comment calculer la convergence simple ?
Série géométrique. La somme partielle est définie par S n ( x ) = 1 ? x n + 1 1 ? x pour tout x ? 1 et S n ( 1 ) = n + 1 . La série numérique ( ? x n ) converge si et seulement si , donc pour x ? ] ? 1 , 1 [ . La fonction reste d'ordre n est ici explicitable : R n ( x ) = x n + 1 1 ? x .Comment calculer la convergence uniforme ?
Convergence simple et convergence uniforme
Soit ( ? f n ) une série de fonctions qui converge simplement. Alors elle converge uniformément si et seulement si la suite des restes partiels ( ) converge uniformément vers la fonction nulle. Cela est évident car R n = S ? S n .sont d'autres variables aléatoires telles que pour tout et , alors converge aussi vers .
Convergence essentiellement uniforme (ou L?)Convergence en moyenne d'ordre p (ou Lp)Convergence presque sûre.Convergence en probabilitéConvergence en loi.
1 Convergence simple et convergence uniforme 2 Crit`eres de