Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre), on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major ee par 70 x 1 7 3 4 +1 4 66 f(x) & & 2 7 1 Exo corrig e Minorer la fonction pr ec edente au vu de son TV
La fonction f est continue (c'est une fonction affine) L est donc solution de l'équation f (x)=x donc L=1+ 1 2 L On en déduit que 1 2 L=1 soit L=2 2 Divergence des suites monotones Propriété : Si une suite est croissante et non majorée alors elle a pour limite + ∞ Si une suite est décroissante et non minorée alors elle a pour
par un scalaire et la aleurv absolue d'une fonction Relation d'ordre: On dira que f g sur I lorsque 8x 2 I;f(x) g(x) Dé nition d'un ensemble (de réels) majoré, minoré, borné Bornes sup et inf d'un ensemble de réels Dé nition d'une fonction majorée, minorée, bornée Bornes sup et inf d'une fonction Min et max Exemples et exercices
n)est majorée, M =sup n∈N u n ⇐⇒ ˆ ∀n ∈ N, u n 6M ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N/M −ε < u n0 Exemple 1 Soit pour n >1 : u n = (−1)n + 1 n Montrer que (u n) est bornée et calculer ses bornes 3 4 Cas des fonctions Définition (pour une fonction) Si f est une fonction majorée sur I, on peut définir le plus petit des majorants de f
est majorée si elle possède (au moins) un majorant A est majorée a On dit que est minorée si elle possède (au moins) un minorant est minorée a On dit que est bornée si elle est majorée et minorée Exemple : Les intervalles de : b a, où et b deux réels tels que ab, sont bornés 2) Maximum, minimum
Soit f une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à 0 La fonction f est paire si, et seulement si, pour tout x ∈ Df,f(−x) = f(x) Son graphe est alors symétrique par rapport à la droite d’équation x = 0 La fonction f est impaire si, et seulement si, pour tout x ∈ Df,f(−x) = −f(x)
- Suite bornée : Une suite numérique est bornée si et seulement si elle est minoré et majorée à la fois Propriété 1 : - Toute suite croissante et majorée est convergente - Toute suite décroissante et minorée est convergente - Toute suite monotone et non-bornée est divergente Propriété 2 +: Une série ≥0
Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que A est majorée si elle Un sous ensemble de même minoré n’admet pas nécessairement de
proceedings of the american mathematical society volume 102, number 3, march 1988 le dual des fonctions holomorphes integrables sur un domaine strictement pseudo-convexe
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Bornes des fonctions - unicefr
Fonctions born ees Certaines fonctions sont major ees et minor ees on dit qu’elles sont born ees Exemples La fonction sinus est born ee Les fonctions logarithme et exponentielle ne le sont pas Exo corrig e Donnez un autre exemple de fonction born ee et de fonction non born ee
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XLimites
minor´ee et born´ee D´efinition 2 Une fonction f ∈ F(I,R) est dite : • major´ee sur I s’il existe un nombre r´eel M tel que pour tout x ∈ I on a f(x) 6M • minor´ee sur I s’il existe un nombre r´eel m tel que pour tout x ∈ I on a f(x) >m • born´ee sur I si elle est a la fois major´ee et minor´ee Exercice 1 Montrer que la fonction f d´efinie par f(x) =
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Fonctions d’une variable r eelle
3 La fonction fest born ee si elle est major ee et minor ee i e si 9(m;M) 2R2 8x2D m f(x) M Proposition I 1 (Caract erisation par l’image de Dpar f) Soit f2F(D;R) 1 La fonction fest major ee si, et seulement si, l’ensemble f(D) est major e 2 La fonction fest minor ee si, et seulement si, l’ensemble f(D) est minor e
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ANALYSE : FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELLE´
Exemple 1 1 L’intervalle ]0,1] est born´e : −2 est un minorant, 2 est un majorant Proposition 1 1 Lorsque A est major´e et non-vide, l’ensemble des majorants de A est un intervalle illimit´e `a droite : si a est un majorant de A et si a ≤ b alors b est un majorant de A Axiome de la borne sup´erieure Soit A ⊂ R major´e et non-vide L’ensemble des
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Limites, continuit e, d erivabilit e
Une fonction est dite born ee si et seulement si elle est major ee et minor ee Proposition La fonction f est born ee si, et seulement si elle v eri e l’une des conditions equivalentes suivantes : 1 9(m;M) 2R2; 8x 2D; m 6 f (x) 6 M 2 9M 2R; 8x 2D; jf (x)j6 M Remarque: Dire que f est major ee (resp minor ee, born ee), revient a dire
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Suites 3 : sens de variation, suites major ees, minor ees
1 D emontrer que toute suite d ecroissante et minor ee est born ee Soit u une suite d ecroissante, alors u 0 > u 1 > u 2 > u 3 > ::: Donc tous les termes sont inf erieurs ou egaux a u 0, donc u est major ee par u 0 Comme de plus elle est minor ee, alors elle est born ee - Dans ce qui suit, la suite u est-elle croissante, d ecroissante, major ee, minor ee? 2 u
Elle est born`Ee si elle est ‡ la fois major`Ee et minor`Ee 1 2 2 Actions sur les graphes Avant de voir une liste de fonctions usuelles, il est important de se
Analyse I np
Exercice 2 : Pour chacun des exercices suivants, déterminer s'il y a une borne inférieure, une borne supérieure, si Remarque : on aurait pu étudier la fonction
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges bornes superieures et inferieures
Trouver deux autres exemples 2 Borne inf, borne sup 2 1 Définition Si l' ensemble des majorants d'une partie
Borne
Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est Cela signifie que si un → +∞ et vn → −∞ il faut faire faire l'étude en fonction de chaque suite
ch suites
qui pourra ^etre utile pour le cours de licence2, et enoncer un bon th eor eme de Fubini (sans de Riemann : une fonction R- int egrable est born ee, etc sont minor ees (resp major ees) sur I par une fonction int egrable, alors max ff gg
simpl
Une partie non vide A de R peut ╧etre major ee (resp , minor ee) et ne pas avoir de plus un plus petit el ement, qui par d efinition est la borne sup erieure de A dans R Cette borne On dit qu'une s erie de fonctions d efinies sur A, ea valeurs r eelles ou complexes, de N ous avons dans ce cours d eduit le corollaire
analyse
de A est bornée, et exprimer ses bornes inférieure et supérieure en fonction de celles de A Enoncer la propriété de la borne supérieure dans R On consid` ere l'ensemble On suivra pour cela les étapes proposées dans le poly de cours
ExercicesL
Cours enseignée eux précédentes sessions de l'Ecole Joliot-Curie de Physique states in each major h o shell N(the so called normal parity states) may be cast considered as very high the corresponding angular velocity is still appreciably small Hill et Wheeler en fonction de la borne inférieure prise pour 1rs valeurs
Cette écriture signifie que la fonction f définie sur l'intervalle I
Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité des fonctions suivantes : 4) Préciser si f est majorée minorée
On a montré que cette fonction est périodique de période continuer à tracer la courbe sur [?2
Rappels de cours. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I. Fonction paire impaire ...
Rappels de cours. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est bornée sur I si elle est majorée et minorée sur I. Fonction paire impaire ...
https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/anal11/majo.pdf
Certaines fonctions sont majorées et minorées on dit qu'elles sont bornées. Exemples. La fonction sinus est bornée. Les fonctions logarithme et exponentielle ne
Cours de 1ere Sciences math BIOF. Leçon : FONCTIONS - Généralités Fonctions majorées ; minorées et bornée : 6-1) Comparaison de fonctions.
Certaines fonctions sont majorées et minorées on dit qu'elles sont bornées. Exemples. La fonction sinus est bornée. Les fonctions logarithme et exponentielle ne
On peut aussi encadrer (majorer minorer) une fonction Dans ce cas on peut encadrer la fonction par deux nombres ou par deux fonctions Exemple La fonction x 7? 1 x2+1 est comprise entre 0 et 1 Exo 1 Encadrer la fonction sinus (par deux nombres)
Une fois les ariationsv de la fonctions établies on peut regarder si la fonction est bornée 11 3 1onctionF majorée minorée ou bornée Soit IˆR et f: I!R On dit que : festmajorées'il existe M2R tel que pour tout x2I on a f(x) M festminorées'il existe m2R tel que pour tout x2I on a f(x) m
Majorer une fonction Pour majorer une fonction (par un nombre) on peut regarder son tableau de variations et eventuellement conclure Exemple Une fonction f ayant le TV suivant est major ee par 70 x 1 7 3 4 +1 4 66 f(x) & & 2 7 1 Exo corrig e Minorer la fonction pr ec edente au vu de son TV
Théorème:Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supé-rieure Caractérisation 1 :Soit Aune partie de R non vide et majorée La borne supérieure de Aest l’unique réel tel que : i) Si a?A alors a?sup(A) (c’est un majorant de A)
Une fonction est majorée par son maximum et est minorée par son minimum Attention : Une fonction peut admettre un majorant ( ou un minorant ) sur un intervalle sans admettre forcément de maximum( ou de minimum ) Ex : La fonction inverse est minorée par 0 sur l’intervalle ] 0 ; + ? [ mais 0 n’est pas un minimum
Quelle est la différence entre une fonction majorée et une fonction bornée ?
Une fonction est T -périodique si et seulement si sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur ( T ; 0). Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel. Une fonction est dite bornée si son image est bornée.
Quelle est la différence entre borne supérieure et borne minorée ?
Soit . · On dit que f est majorée, s’il existe un réel Mtel que . Dans ce cas, on appelle borne supérieurede fsur l’intervalle I, noté , le plus petit majorant de f. · On dit que f est minorée, s’il existe un réel mtel que . Dans ce cas, on appelle borne inférieurede fsur l’intervalle I, noté , le plus grand minorant de f.
Comment savoir si une fonction est bornée ?
Une fonction est dite majorée (resp. minorée) par un réel si son image est majorée (resp. minorée) par ce réel. Une fonction est dite bornée si son image est bornée. Une fonction est bornée si et seulement si sa valeur absolue est majorée. Soit f une fonction réelle définie sur un domaine D ? R non vide.
Comment montrer qu'une fonction est majorée ou minorée ?
Comment montrer q’une fonction est majorée ou minorée ? Rappel sur les fonctions majorée et les fonctions minorée : On dit que f est minorée par m sur une intervalle I si et seulement si ($forall xin I$) ; $f(x)>m$. On dit que f est majorée par M sur une intervalle I si et seulement si ($forall xin I$) ; $f(x)
1 GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1 ) QUELQUES RAPPELS