de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a ses valeurs propres ` Si une matrice A est trigonalisable, semblable `a une matrice triangulaire sup ´erieure T, alors les valeurs propres de A etant les racines du polyn´ omeˆ p A, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matrice T
• Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori • La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice
Par la recette dite des « tâtonnements successifs »ou saisi d’une inspiration venue d’en haut, on peut proposer A = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 et B = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 On vérifie que A et B commutent et ne sont ni l’un ni l’autre polynôme en l’autre car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire
Dans ce cas, il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n −1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses),etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à lafin «Dans »cettebase, la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 − 7 1 −6 −10 1 −7 det(A−λI3)= ¯ ¯ ¯
De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0 pour tout i>j 2) On dit qu’un endomorphisme uest "triangulable" (ou "trigonalisable") s’il existe une base dans laquelle la matrice de uest triangulaire sup erieure En particulier, etant donn e une base B, uun endomorphisme et A= Mat
Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract eristique est scind e Une m ethode e cace pour trigonaliser une matrice est d’utiliser les sous es-paces caract eristiques Si ˜ A(X) = Q k i=1 (X a i) i le sous espace caract eristique N i est le noyau de (A a iI) i Le sous espace propre E A(a i), qui est le noyau de (A a iI) est uns
(1) Toute matrice carr ee complexe d’ordre 1 s" ecrit M= (a 1;1d Elle est donc trigonalisble (2) Soit n 1 x e Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis-able Consid erons une matrice M 2M nn+ 1(C) Nous avons vu, dans le cahpitre pr ec edent, que toute matrice complexe d’ordre padmettait pvaleurs propres distinctes
Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon b Soit 1 2 0 2 2 3 2 2 1 A − = − − Réduire A, et en déduire le commutant de A (i e l'ensemble des matrices qui commutent avec A), les puissances de A, ainsi que d'éventuelles racines carrées de A 3 On considère la matrice 0 1 0 1 1 0 a A a a =
Une matrice A (2,2), ou un endomorphisme ϕ, dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et qui n’est pas diagonalisable a une valeur propre double λ Proposition 2 2 Sous l’hypoth`ese pr´ec´edente il existe P telle que P−1AP = J 2(λ) On dira qu’on a jordanis´e la matrice Une base de Jordanisation est obtenue de la mani
2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour cela, on la décompose en : où est une matrice nilpotente d’indice Comme les
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Trigonalisation et diagonalisation des matrices
7 1 4 Theor´ eme (Th` eor´ `eme de trigonalisation) — Une matrice A de M n(K) est trigonalisable dans M n(K) si, et seulement si, son polynome caractˆ eristique´ p A est scinde´ sur K Preuve La condition est n´ecessaire Si A est une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est semblable a une matrice triangulaire sup` erieure :´ t = 2 6 6 6 4 1Taille du fichier : 298KB
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L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II
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Un exercice sur la trigonalisation et mise sous la forme
3) Au total, on a quatre valeurs propres r´eelles pour une matrice d’ordre 4 Dans ce cas, on a un th´eor`eme qui affirme que l’on peut trouver une base de R4 telle que la matrice de l’endomorphisme u est triangulaire Mieux encore : cette matrice a une structure de Jordan (voir le cours ou la fin de ce papier) Dans notre cas, la formule a l’origine de ce th´eor`eme s’´ecrit
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Triangularisation, jordanisation, exponentielle de
Cet exemple sera juste abord´e, voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d’ordre 4 D’abord on remarque que (ϕ−λId)4 = 0 • La matrice I 4 • Si dim(E λ) = 1 alors il existe P telle que P−1AP = J 4(λ) On trouve une base de Jordanisation en cherchant u tel que (ϕ−λId)3(u) 6= 0 • Taille du fichier : 86KB
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Une matrice est trigonalisable ssi son polyn^ome caract
4 17 10 14 8 14 7 10 13 16 10 14 1 0 0 0 2 3 7 7 7 7 7 5 Tu as ˜ A(X) = (1 X)2(2 X)2, les valeurs propres sont d’ordre deux, le polyn^ome est scind e, mais les sous espaces propres sont de dimension 1, la matrice n’est pas diagonalisable Il reste a d eterminer deux vecteurs formant une base du noyau de (A I)2 et deux vecteurs formant une base
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Chapitre 7 Réduction des endomorphismes : trigonalisation
Trigonaliser la matrice A , c'est donner explicitement une matrice inversible P telle que P 1 AP soit triangulaire Bien entendu, les colonnes de P représentent une base de trigonalisation de l'endomorphisme f : V 7 AV canoniquement associé à A Evidemment toute matrice triangulaire est trigonalisable, et la réciproque est fausse Si A 2 M n (K ), alors
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Série N 1 : Réduction d’endomorphismes et de matrices
4 Trigonaliser la matrice A Exercice 5 1 Soit A la matrice donnée par A = a11 a12 a21 a22 On appelle la trace de A le nombre noté “tr(A)” défini par tr(A) = a11 +a22 Montrer que le polynôme caractéristique PA(x) de A s’écrit sous la forme PA(x) = x2 − tr(A)x +det(A) 2 Soit A une matrice carrée d’ordre 3 dont les valeurs propres sont notées par λ1, λ2 et λ3
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CORRECTION DU TD 3 - TSE
2) Une matrice est toujours trigonalisable dans 3) Comme de sorte que , le polynôme caractéristique de est scindé dans est trigonalisable dans et qu’elle est aussi déomposa le en blocs de Jordan dans ce même espace 4) Trigonalisation
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Sujets de l’année 2005-2006 1 Devoir à la maison
Toute matrice complexe M ∈ Mn(C) est trigonalisable Démonstration Démontrons par récurrence sur n?1? (1) Toute matrice carrée complexe d'ordre 1 s”écrit
L Maths ch
Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a On conserve les mêmes deux premiers vecteurs (propres de A) dans cet ordre,
fiche technique diagonalisation trigonalisation
4) Trigonalisation Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, nous commençons par calculer les
correction du td
On suppose donc que l'on sait démontrer le théor`eme `a l'ordre n − 1 Puis on cherche une valeur propre λ et un vecteur propre e de l'endomorphisme associé
jordan
Retrouver ce résultat en diagonalisant (sur C) la matrice A Exercice 4 [suite récurrente linéaire d'ordre 2, cas diagonalisable] I Structure des solutions d'une
Feuille MA
2 4 Crit`eres de diagonalisation 2 5 Méthode de diagonalisation – Exemples 3 Trigonalisation 3 1 Matrices triangulaires – endomorphismes trigonalisables
Poly
Nous allons montrer que toute matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé, est semblable à une matrice triangulaire 1 1 Trigonalisation On rappelle qu'
ch jordan
Trigonalisation des endomorphismes, sous espaces caractéristiques - Applications © S DUCHET la matrice de u est triangulaire supérieure, c'est-à- dire s'il existe une base e de E telle que nj ni ji t eu 2 valeur propre d'ordre 1 1 valeur
trig
Notons que toute matrice A de Mn(R) peut toujours se trigonaliser dans Mn(C) o`u ni désigne l'ordre de multiplicité de la valeur propre λi dans le polynôme
chap
gonalisée sur C La trigonalisation sur C d'une matrice permet de résoudre de nombreux On considère la matrice carrée d'ordre n à coefficients réels A =
matieres
Supposons que toute matrice complexe d?ordre n?1 soit trigonalis- 4. L2PC Chapitre 1. Diagonalisation. Exemples. (1) Soit la matrice.
7.1.4 Théor`eme (Théor`eme de trigonalisation). o`u ni désigne l'ordre de multiplicité de la valeur propre ?i dans le polynôme caractéristique.
exemple 4 : A a une valeur propre triple et un espace propre associé de dimension 1. Trigonaliser la matrice :...
4). Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure nous.
Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . 20 Le groupe GLn(K) est appelé le groupe linéaire des matrices d'ordre n.
https://webusers.imj-prg.fr/~alexandru.oancea/2020-L2-LU2MA123/2MA123_TD2_FINAL_solutions.pdf
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. E2 est donc la droite vectorielle engendrée par v2 = (4 3
Diagonalisation et trigonalisation. Exercice 1 Soit A la matrice carrée d'ordre 3 telle que. 4A =.. ?3 4 3. 1. 0 3. ?1 4 1.
(a) Montrer que si u est un endomorphisme nilpotent d'ordre r ? 1 Application : Trigonaliser les matrices suivantes :.
on commence par trigonaliser A c'est-à-dire par fabriquer une matrice P? telle valeur propre d'ordre 4
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Cet exemple sera juste abord´e voici un descriptif des situations possibles avec une valeur propre d’ordre 4 D’abord on remarque que (???Id)4 = 0 • La matrice I 4 • Si dim(E ?) = 1 alors il existe P telle que P?1AP = J 4(?) On trouve une base de Jordanisation en cherchant u tel que (???Id)3(u) 6= 0 • Si dim(E
car tout polynôme en une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure Exercice 11 : [énoncé] a) u admet une valeur propre ? et le sous-espace propre associé est stable par v Cela assure que u et v ont un vecteur propre en commun e 1 On complète celui-ci en une base (e 1e 2 en) Les matrices de u et v
Dans ce cas il est facile de trigonaliser On commence par se calculer une famille de n ?1 vecteurs propres indépendants(possibled’aprèsleshypothèses)etoncomplèteenunebaseE deRn en«rajoutant »unvecteur à la?n «Dans »cettebase la matrice sera triangulaire Exemple : A = 9 1 6 ? 7 1 ?6 ?10 1 ?7 det(A??I3)= ¯ ¯ ¯
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Comment définir une matrice unité d'ordre?
Puisque les matrices peuvent être multipliées à la seule condition que leurs types soient compatibles, il y a des matrices unité de tout ordre. In est la matrice unité d'ordre n et est donc définie comme une matrice diagonale avec 1 sur chaque entrée de sa diagonale principale.
Comment noter les coefficients de la matrice unité d'ordre ?
Il est possible aussi de noter les coefficients de la matrice unité d'ordre n avec le symbole de Kronecker ; le coefficient de la i -ème ligne et j -ème colonne s'écrit : Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est trivialement déterminé par le contexte, nous pouvons la noter simplement I.
Trigonalisation des matrices carrées