Instruction: This Part II of Form 1-Z is required by Rule 257(d) of Regulation A An officer of the issuer or any other duly authorized person may sign, and must do so by typed signature The name and title of the person signing the form must be typed or printed under the signature The signatory to the filing must also manually
j2 = −1 If z 1 and z2 are the two complex numbers their product is written z1z2 Example If z1 = 5− 2j and z2 = 2+4j find z1z2 Solution z1z2 = (5− 2j)(2+4j) = 10+20j −4j − 8j2 Replacing j2 by −1 we obtain z1z2 = 10+16j −8(−1) = 18+16j In general we have the following result: www mathcentre ac uk 7 2 1 c Pearson Education Ltd 2000
f(z) = z+ 1 z3(z2 + 1) has isolated singularities at z= 0; iand a zero at z= 1 We will show that z= 0 is a pole of order 3, z= iare poles of order 1 and z= 1 is a zero of order 1 The style of argument is the same in each case At z= 0: f(z) = 1 z3 z+ 1 z2 + 1: Call the second factor g(z) Since g(z) is analytic at z= 0 and g(0) = 1, it has a
1 1 z = 1 + z+ z2 + = X1 n=0 zn (19) is the Taylor series of f(z) = 1=(1 z) about z= 0 As mentioned earlier, the function 1=(1 z) exists and is in nitely di erentiable everywhere except at z= 1 while the series P 1 n=0 z nonly exists in the unit circle jzj
z2 +z +1 z=e2πı/3 = 2πı 1 2z +1 z=e2πı/3 = 2π √ 3 (b) The only singularity of z2e1/z sin(1/z) occurs at z = 0, and it is an essential singularity Therefore the formula for computing the residue at a pole will not work, but we can still compute some of the coefficients in the Laurent series expansion about z = 0 : z2e1/z sin(1/z) = z2
1 z + 1 dz 2 −1 z is −2 − i if the path is the upper half of the circle r = 1 [Write z = ei , where varies from to 0, or from (2k + 1) to 2k , where k is any integer ] (b) Show (also by direct integration) that the value is −2 + i if the path is the lower half of the circle
1+z 1−z Hence w = 1 2 log 1+z 1−z Thus we define the inverse hyperbolic tangent function by tanh−1(z) = 1 2 log 1+z 1−z We find the other inverse hyperbolic trigonometric functions in a similar manner The most important of these are sinh−1(z) = log z +(z2 +1)12 and cosh−1(z) = log z +(z2 −1)12 The derivatives are d dz sinh
1 w z which looks a lot like the sum of a geometric series We will make frequent use of the following manipulations of this expression 1 w z = 1 w 1 1 z=w = 1 w 1 + (z=w) + (z=w)2 + ::: (3) The geometric series in this equation has ratio z=w Therefore, the series converges, i e the formula is valid, whenever jz=wj
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Les nombres complexes - maths-francefr
et imaginaire pur Les nombres non réels du type 3−2i sont quelquefois appelés « nombres imaginaires » mais ce vocabulaire est en contradiction avec le fait d’avoir classé le nombre réel 0 parmi les imaginaires purs 3) Opérations sur les nombres complexes a) Définition des opérations dans C Définition 4 On définit l’addition et la multiplication des nombres complexes de
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Nombres complexes T S - xymathsfreefr
imaginaire pur Les images de ces nombres sont les points de l’axe des ordonn´ees, que l’on appelle donc axe imaginaire (pur) Exercice 4 Placer les points A, B et C d’affixe respectif : z A = −1−2i, z B = 4−i et z C = √ 2+ 3 2 i D´eterminer les longueurs OA, OB et OC et AB IV - Op´erations sur les nombres complexes Les r`egles de calcul sur les nombres r´eels se prolongent
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Nombres complexes T S - Free
imaginaire pur Les images de ces nombres sont les points de l’axe des ordonn´ees, que l’on appelle donc axe imaginaire (pur) Exercice 1 Placer les points A, B et C d’affixe respectif : zA = −1−2i, zB = 4−i et zC = √ 2+ 3 2 i D´eterminer les longueurs OA, OB et OC et AB III - Op´erations sur les nombres complexes Les r`egles de calcul sur les nombres r´eels s’´etendent
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Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
On appelle imaginaire pur tout nombre complexe dont la partie réelle est nulle Le réel 0 est le seul nombre complexe qui est réel et imaginaire pur Egalité de deux nombres complexes a ib a Taille du fichier : 497KB
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NOMBRES COMPLEXES
si a = 0 , on a z = bi , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire) Remarques IR correspond à l'ensemble des points sur une droite Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur la droite On peut donc toujours comparer deux nombres réels :
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DEMONTRER QU’UN NOMBRE EST IMAGINAIRE
nombre est imaginaire pur et d’obtenir rapidement l’écriture algébrique de ce nombre Observez bien Avec un peu d’entraînement, on remarque vite que 4y + 6x est le double de 3x + 2y et que 2x - 4y est l’opposé du double de 2y-x, autrement dit que la partie réelle et la partie imaginaire du numérateur sont proportionnelles (à un signe près) à la partie imaginaire et à la
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EXERCICE 1 (5 points) - maths-francefr
Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur 4) Soit z un nombre complexe non nul Proposition 4 : Si π 2 est un argument de z alors i+z=1 +z 5) Soit z un nombre complexe non nul Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2 + 1 z2 est un nombre réel http ://www maths-france 1 c Jean-Louis Rouget, 2014 Tous droits réservés Polynésie 2
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Exo7 - Cours de mathématiques
z est dit imaginaire pur 1 2 Opérations Si z = a +i b et z0= a0+i b0sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes : • addition: (a +i b)+(a0+i b0) = (a +a0)+i(b + b0) 0 1 i z z0 z +z0 R iR • multiplication: (a + i b) a 0+ i b0) = (aa0 bb0) + i ab + ba0) On développe en suivant les règles de la multiplication usuelle avec la convention suivante : i2 = 1 1 3 Taille du fichier : 176KB
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EXOS COMPLEXES
) des points M du plan d’affixes z tels que f(z) soitun imaginaire pur 4°)a)Calculer, pour tout z différent de -1, f(z) 1 z 1 b)On suppose que M décrit le cercle de centre A et de rayon 5 2 Montrer que M’ appartient à un cercle C que l’on déterminera Equations,systèmes 7
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Les nombres complexes
2) Démontrer que « z′ est un imaginaire pur » est équivaut à « M est un point d’un cercle privé d’un point » Exercice12 Pour tout complexe z différent de i, on pose : z′ = iz −1 z −i Prouver que : z′ ∈ R ⇔ z = 1 Vrai-Faux Exercice13 Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une Taille du fichier : 103KB
qualifie de nombres impossibles ou de nombres imaginaires Au XIXe siècle, Gauss Si a = 0 alors z est un nombre imaginaire pur Méthode : Effectuer des
NombrecTS
b) z est un imaginaire pur ⇔ arg(z) = π 2 π⎡⎣⎤⎦ c) arg(z) = −arg(z) b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires c) d) Ses résultats se
NombrecTS
Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z 2) De même z = z x − iy = x + iy 2iy = 0 y = 0 z réel
BacS Juin Obligatoire Alger Exo
C'est d'ailleurs le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur Les nombres non réels du type 3 − 2i sont quelquefois appelés « nombres imaginaires »
complexes
Il est dit imaginaire pur lorsque z = ib, c'est-`a-dire lorsque a = 0 L'ensemble (d ) Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru `a ±π 2 , modulo 2π,
chap.
Cependant, ces nouveaux nombres, nommés imaginaires par René Descartes Vocabulaire : Si la partie réelle de z est nulle, on dit que z est imaginaire pur
extrait
Nombres réels et nombres imaginaires purs Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle On appelle imaginaire pur tout
cours maths S
z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0 • Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, deux nombres complexes sont égaux si et
L Forme trigo nbr complexe
Exercice 1 Résoudre dans C: z2 −16 z+89=0 2 Montrer que l'équation : z3 − (16−i)z2 +(89−16 i)z+89 i=0 admet une solution imaginaire pur que l'on
nombres complexes exercice
consider the plane (P) of equation: x – y + z + 2 = 0 and the two straight lines (D) and (D') defined by the parametric equations: x t. (D) y t 1 z 2t 1.
Nov 9 2014 À tout complexe z
> z = 3i est un imaginaire pur. > z = 3 est un réel. Définition 4 – Ensemble des imaginaires purs. On note iR l'ensemble des imaginaires
> z = 3i est un imaginaire pur. > z = 3 est un réel. Définition 4 – Ensemble des imaginaires purs. On note iR l'ensemble des imaginaires
Définition 3. Soit z un complexe de forme algébrique x + iy. 1 Si z est nombre imaginaire pur alors il peut s'écrire sous la forme z = iy.
Propriétés : Soit z et z ' deux nombres complexes. a) z imaginaire : z z. = 3. 2. +. 1. 2 i. On cherche donc un argument ? de z tel que :.
i est un nombre complexe tel que i2 = ?1. a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire et on note a = Re (z) et b = Im(z).
z = 2i ?1 n'est ni un réel
1. Module et argument. 2. Forme trigonométrique d'un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.
z1 la solution de partie imaginaire positive et par z2 l’autre solution 2) Déterminer le module et un argument de chacune des solutions z1 et z2 3) Déterminer le module et un argument de ( ) 2 z1 et ( )z2 Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct (O u v; ;) on considère les points ABA’ et B’ d’affixes respectives :
Comment montrer que le module de Z est un imaginaire pur ?
Je dois montrer que si le module de z est égale à 1 alors (z+1)/ (z-1) est un imaginaire pur ( avec bien-sûr z 1) Cependant je dois trouver deux autres ( ou plus ) méthodes pour le montrer autre qu'en posant z=a+ib et en remplaçant jusqu'à tomber sur un imaginaire pur. Or je ne sais pas comment calculer ce conjugué...
Comment calculer un imaginaire pur ?
Z (barre) = -Z donc Z = (z+1)/ (z-1) est un imaginaire pur. Posté par larrech 05-09-17 à 22:26
Quelle est la différence entre imaginaire pur et imaginaire imaginaire?
Danger imaginaire Sens : Risque inventé. Imaginaire pur Sens : "Imaginaire pur" désigne, dans le domaine des mathématiques, un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.
Qu'est-ce que le carré d'un nombre imaginaire pur?
Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au XVI e siècle, les travaux de Cardan et de Bombelli ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs.
MAT 1600 Exercices sur les nombres complexes