et leurs composées) alors (I,–) est un groupe Ce groupe n’est pas un groupe commutatif En effet, identifions le plan à R2 et soit par exemple R la rotation de centre O˘(0,0) et d’angle 2 et T la translation de vecteur (1,0) Alors les isométries T–R et R–T sont des applications distinctes
1 Montrer que ( ) est un groupe commutatif 2 a) Montrer que la loi est commutative b) Montrer que est associative c) Déterminer l’élément neutre de pour la loi d) Montrer que ( ) est un anneau commutatif Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4 On pose ( ) ( ) ( ) ( ) Calculer,
a) Montrer qu’un groupe de cardinal p2 est commutatif b) Combien d’ el ements d’ordre py a-t-il dans un groupe de cardinal p? Et dans un groupe de cardinal p2? Solution de l’exercice 1 a) Soit Gun groupe d’ordre p2 L’ equation aux classes pour l’action de Gsur lui-m^eme par conju-
1) Lemme 1 Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non réduit à l'élément neutre (voir l'exercice 15) 2) Lemme 2 Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G Montrer que HCG On suppose de plus que G=Hest un groupe monogène ( ni ou in ni) Montrer que Gest commutatif 3) Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est commutatif
1 Soit (G, •) un groupe d’élément neutre e On considère deux éléments x et y de G tels que l’on ait xy e p où p est un entier naturel non nul Démontrer que l’on a : yx e p 2 Soit 2(G, •) un groupe d’élément neutre e tel que, pour tout élément x de G, on ait x e Démontrer que G est abélien
1 { Elle est associative 2 { Elle admet un el emen t neutre 3 { Chaque el ement de E admet un sym etrique pour Si de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou ab elien (du nom du math ematicien Abel) Exemples - L’ensemble des entiers relatifs muni de l’addition (Z; +) est un groupe commutatif
groupe G a) Montrer que Hest un sous-groupe de G b) Trouver un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l’exercice 3 a) Soit h2H Comme Hest ni et hn 2Hpour tout n2N, il existe deux entiers n>m 0 tels que hn = hm Or hadmet un
– Z[i] ˘{a ¯ib ja,b 2Z} est un sous-groupe de (C,¯) Remarque 14 2 – Si H est un sous-groupe de (G, ) alors (H, ) lui-même est un groupe (de même élément neutre que G) Ceci est souvent utilisé dans la pratique pour montrer qu’un ensemble est un groupe pour une loi, on essaie de montrer (quand c’est possible) que c’est un sous
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Exo7 - Cours de mathématiques
5 Enfin nous avons déjà vu que cette multiplication n’est pas commutative Mini-exercices 1 Montrer que (R⁄ ¯,£) est un groupe commutatif 2 Soit fa,b:RR la fonction définie par x7ax¯b Montrer que l’ensemble F ˘{fa,b ja2 R⁄,b2R} muni de la composition «–» est un groupe non commutatif Taille du fichier : 194KB
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Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1
Montrer que l’application (est un isomorphisme de )vers ( ) En déduire que ( )est un groupe commutatif Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Soit )et la loi dans définie par ( ( ) ( ) 1 Montrer que ( ) est un groupe non commutatif 2 Montrer que ( ) est un sous-groupe de ( ) Taille du fichier : 1MB
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Groupes, sous-groupes, ordre - Exo7
Montrer que G est commutatif Déduire que si G est fini, alors l’ordre de G est une puissance de 2 Correction H [002114] Exercice 15 Soit G un groupe d’ordre pair Montrer qu’il existe un élément x 2G, x 6=e tel que x2 =e Indication H Correction H [002115] Exercice 16 Soit G un groupe d’ordre impair Montrer que l’application f de G sur lui-même donnée par f(x) = x2 est une Taille du fichier : 184KB
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Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
Montrer que G est commutatif Exercice 3 D´eterminer tous les homomorphismes de groupes de Z/3Z dans Z/7Z, de Z/3Z dans Z/12Z, de Z/12Z dans Z/3Z Exercice 4 Soient G un groupe et n > 1 un entier tels que l’application x → xn soit un automorphisme de G Montrer que pour tout ´el´ement x de G, xn−1 appartient au centre de G Exercice 5 Montrer que le groupe des automorphismes du groupe
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Exercices sur les groupes 1 Les inexcusables
1) Lemme 1 Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non réduit à l'élément neutre (voir l'exercice 15) 2) Lemme 2 Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G Montrer que HCG On suppose de plus que G=Hest un groupe monogène ( ni ou in ni) Montrer que Gest commutatif 3) Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est commutatif
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TD2 : Actions de groupes et th eor emes de Sylow
a) Montrer qu’un groupe de cardinal p2 est commutatif b) Combien d’ el ements d’ordre py a-t-il dans un groupe de cardinal p? Et dans un groupe de cardinal p2? Solution de l’exercice 1 a) Soit Gun groupe d’ordre p2 L’ equation aux classes pour l’action de Gsur lui-m^eme par conju-
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Chapitre 5 Lois de composition internes - Relations
(E; ) est un groupe si la loi satisfait aux trois conditions suivantes : 1 { Elle est associative 2 { Elle admet un el emen t neutre 3 { Chaque el ement de E admet un sym etrique pour Si de plus, la loi est commutative, on dit que le groupe est commutatif ou ab elien (du nom du math ematicien Abel) Taille du fichier : 117KB
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Cours de mathématiques MPSI
– Z[i] ˘{a ¯ib ja,b 2Z} est un sous-groupe de (C,¯) Remarque 14 2 – Si H est un sous-groupe de (G, ) alors (H, ) lui-même est un groupe (de même élément neutre que G) Ceci est souvent utilisé dans la pratique pour montrer qu’un ensemble est un groupe pour une loi, on essaie de montrer (quand c’est possible) que c’est un sous
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TD1 : G en eralit es sur les groupes - DMA/ENS
groupe G a) Montrer que Hest un sous-groupe de G b) Trouver un exemple d’un groupe Get d’un sous-ensemble non vide de Gstable pour la loi de composition du groupe Gqui ne soit pas un sous-groupe de G Solution de l’exercice 3 a) Soit h2H Comme Hest ni et hn 2Hpour tout n2N, il existe deux entiers n>m 0 tels que hn = hm Or hadmet un inverse dans G, donc on en d eduit l’ egalit e Taille du fichier : 192KB
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EXERCICESSURLESGROUPES
Montrer de façon élémentaire (aucun argument sophistiqué au-delà du théorème de Lagrange) que tout groupe d’ordre 6 non cyclique est isomorphe au groupe symétrique S 3 [Indication:onpourramontrerqu’untelgroupecontientuncoupled’élémentsd’ordre2et3necommutant pas ] Exercice4 Significationdel
permutations de E Ce groupe est non commutatif dès que E a au moins trois éléments donc maintenant montrer que tous ces éléments sont distincts Soient
Groupes, anneaux, corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative, non associative, et que est
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges groupe
R, muni de cette loi est-il un groupe commutatif ? 2 Montrer que a = 1 n'est pas un élément régulier de (R,⋆) 3 Calculer x⋆x⋆ ⋆x ︸ ︷︷ ︸ n pour n ≥ 1
TD groupes
Ceci montre que H est le plus petit des sous-groupes de G contenant A à x le complexe eix est un morphisme surjectif de groupes commutatifs, de noyau égal
groupes cours
application, il faut montrer que si x est un autre représentant de xker(f), alors f(x) = f(x ) 2) L'ensemble des éléments de torsion d'un groupe commutatif G est un
algebre
(2) Montrer que le groupe abélien (Q, +) n'est pas de type fini (3) Soit G un sous- groupe de (C∗, ·) dont chaque élément est d'ordre fini Est-il
td groupes
des applications, est un groupe Il peut être non commutatif même si G l'est [ exercice : montrer que c'est le cas pour G = Z/2Z × Z/2Z] • On notera parfois G ≃ H
groupes
On dit que le groupe (G,∗) est commutatif, ou abélien, si ∗ est com- mutative L' ensemble faut montrer que c'est un morphisme, et φ est bijective, le montrer
Emily Clement Theorie des groupes
(R?×) est un groupe commutatif
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00020.pdf
des applications est un groupe. Il peut être non commutatif même si. G l'est [exercice : montrer que c'est le cas pour G = Z/2Z × Z/2Z].
Si de plus ? est commutative on dit que (G
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/calaque/Enseignements/TD-groupes.pdf
Comment montrer qu'un groupe est cyclique ? 5. Comment montrer qu'un un groupe commutatif et T l'ensemble des éléments de G d'ordre fini. Montrer que T ...
Définition : Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne alors est dit commutatif (ou abélien). ... Ce qui nous montre que ( ) ( ) ...
Si de plus la loi est commutative
la loi de groupe est ¯ l’inverse s’appelle plus couramment l’opposé 5 En?n x¯ y? y¯x et donc (Z¯) est un groupe commutatif – (Q¯) (R¯) (C¯) sont des groupes commutatifs – Soit R l’ensemble des rotations du plan dont le centre est à l’origine O
Le groupe (A ) est-il commutatif? Montrer que l’ensemble H formé des éléments f ? A tels que f(x)?f(y) = x?y pour tous xy ? R forme un sous-groupe de A En préciser les éléments 3 Soit G un sous-ensemble non vide ?ni de GL n Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes: (1) G est un sous-groupe de GL n (2
1) Montrer que HK est un sous-groupe de G 2) Soit ? : H ×K ? HK l’application dé?nie par ?(hk)=hk 2 1) Montrer que ? est un morphisme de groupes 2 2) Déterminer l’image de ? et montrer que ker ? = {(hh?1)h? H ?K} 2 3) Montrer que HK est isomorphe à un quotient du groupe H × K par un sous-groupe bien choisi
1) Lemme 1 Montrer que le centre d'un p-groupe non trivial est non réduit à l'élément neutre (voir l'exercice 15) 2) Lemme 2 Soit Gun groupe et Hun sous-groupe du centre de G Montrer que HCG On suppose de plus que G=Hest un groupe monogène ( ni ou in ni) Montrer que Gest commutatif 3) Montrer qu'un groupe d'ordre p2 est commutatif
montrer que (]?1;1[?) est un groupe commutatif Montrer qu'il est isomorphe à (R+) Exercice 5 On considère l'ensemble constitué des six fonctions de R{0;1} dans lui-même suivantes : f 1(x) = x f 2(x) = 1 1?x f 3(x) = x x?1 f 4(x) = 1 x f 5(x) = 1 ? x et f 6(x) = x?1 x Montrer qu'il s'agit d'un groupe pour la
Dé?nition 1 1 Un groupe est un triplet (Gme) composé d’un ensemble G d’une application m : G×G ? G (aussi appelée loi de composition interne) et d’un élément e ? G tels que : i) la loi m est associative : ?(g 1g 2g 3) ? G3 m(m(g 1g 2)g 3) = m(g 1m(g 2g 3)) ii) l’élément e est neutre : ?g ? G m(eg) = m
Comment montrer qu’un ensemble est un groupe ?
Montrer qu’un ensemble est un groupe à partir de la dé?nition peut être assez long. Il existe uneautre technique, c’est de montrer qu’un sous-ensemble d’un groupe est lui-même un groupe : c’estla notion de sous-groupe. Soit (G,?) un groupe. e2H, pour toutx2H, on ax¡12H.
Comment montrer qu'un groupe est un groupe monogène ?
Pour les group es faut con aître la clas i cation. Lemme Montrer 2. 15). est un groupe monogène ( ni ou in ni). Montrer que est non réduit à l'élément neutre (voirPrépa Agreg G. On sup ose de est commutatif. est commutatif. 6) 5) Complément. ? 3 Group e quotient G. On dé nit des nombres premiers distincts). pour RH 8x ) 8x xHx1 0RHnG). ). :
Comment montrer qu'un morphisme est un pro duit de commutateurs ?
Z(O(V)),Z(SO(V)). Group e dérivé un group e. Pour commutateurs. est un pro duit de commutateurs. D(G) = 1. un morphisme de group es. Montrer que l'est). l'est pas. est (surjectif (resp. bijectif ) si l'est). Don er un exemple où Z(G) =G? ker'. groupe ab élien. Montrer que tout morphisme se : G!G=D(G). Homg r . (G=D(G); A)!Homg r . Homg r.
Comment écrire les permutations ?
Notation 9.10Ceci mène à une nouvelle manière d’écrire les permutations. Un cycle est noté enindiquant entre des parenthèses les images successives d’un point de son orbite non ponctuelle, parexemple la notation?= (134)désigne le3-cycle tel que?(1) = 3,?(3) = 4et?(4) = 1.
Cours : Groupes