(Z=nZ) (Z=pn 1 1 Z) (Z=pnr r Z) (below we will de ne such a function to be a group ismorphism) This reduces the study of the general unit group (Z=nZ) to understanding the unit group (Z=pnZ) with prime power modulus It turns out that the structure of these groups depends on whether or not p= 2
Example 1 1 In the case of the cyclic group G= Z/NZ, given any ξ∈ Z/NZ we can form the one-dimensional translation-invariant space Vξ generated by the character eξ: x→ e2πixξ/N If we secretly allow ourselves the use of the finite Fourier transform, it is not hard to see that a space is translation-invariant iff it is
(Z/nZ) The ring homomorphism Z → Q n (Z/nZ) which takes every element to its reduction modulo n realizes Zb as the closure of Z in the product Q n (Z/nZ) The relation of divisibility is a partial order: to replace this with a linear order, we may also represent this ring as Zb ∼={(b n) ∞ =1 ∈ Y∞ n=1 Z/nZ : for all n,b n+1 ≡b n
Comme pour tout dn, il existe un unique sous-groupe d’ordre dde Z/nZ, ∃x∈ d’ordrep−1 Enfin,comme(Z/pαZ)× estabélien,x(1 + p) estd’ordrep α−1(p−1) = (Z/p Z)× carles ordres sont premiers entre eux (Z/pαZ)× est donc cyclique et est isomorphe à Z/ϕ(pα)Z = Z/pα−1(p−1)Z •
2) Z=nZ is a ring with multiplication given by k(nZ) l(nZ) := kl(nZ) 3)If Ris a ring then R[x] = fa 0 + a 1x+ :::+ a nxn ja i2R; n 0g is the ring of polynomials with coe cients in Rand R[[x]] = fa 0 + a 1x+ ::: ja i2Rg is the ring of formal power series with coe cients in R If R is a commutative ring then so are R[x], R[[x]] If Rhas identity then
Created Date: 1/23/2018 3:29:06 PM
Th´eor`eme 2 3 Le groupe O+ 3 (R) admet exactement 5 classes de sous-groupes finis : 1 le groupe cyclique Z/nZ des d´eplacements stabilisant un polygone r´egulier; 2 le groupe di´edral Dn/2 des isom´etries stabilisant un polygone r´egulier; 3 le groupe t´etra´edral A4 des d´eplacements stabilisant le t´etra`edre;
k= 2 pour le groupe de congruence Γ 1(N) Dans [10], Y Manin lui associe une fonction ξ f: (Z/NZ)2 → C dont les alveurs sont les symboles de Manin
d™oøx x0 1 2 kerf; alors, d™aprŁs cours 3 prop 4 1 2 1, kerf est unsous groupe de G: 5) Cette assertion est exactement l™assertion b) de cours 2 th 2 2 5 4
algébriques du groupe cyclique Z/nZ d'ordre n et l'action de ce groupe sur la structure d'ensemble qu'il représente Cela offre une formalisation algébrique du
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Chapitre 4 Groupe des inversibles de /nZ et applications
Groupe des inversibles de Z/nZ et applications 4 1 Rappels et exemples U(Z/nZ) = {k, PGCD(k,n) = 1} est le groupe des ´el´ements inversibles de Z/nZ ; c’est aussi l’ensemble des g´en´erateurs (´el´emen ts d’ordre n ) dans le groupe additif Z/nZ Exercice 4 1 1 D´emon trer que l’ordre de k dans (Z/nZ,+) est n PGCD(k,n) D´efinition 4 1 2 Pour un entier n ≥2), l’indicateur Taille du fichier : 50KB
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Z Applications 2 L’anneau Z/nZ - Crans
120 Anneaux Z/nZ Applications 1 Le groupe Z/nZ 1 1 Etude alg´ebrique´ D´efinition 1 Soient n ∈N∗,x,y ∈Z On dit qu’ils sont congrus modulo nsi x−y∈nZ, et on note x≡y[n] Proposition 2 nZ est un sous-groupe de Z, distingu´e car Z ab´elien, c’est donc un groupe Exemple 3 Z/2Z = {0,1}ou` 0 est la classe des entiers pairs et 1 la classe des entiers impairs
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Propriétés de Z=nZ
Propriétés de Z=nZ Louis Nebout Le but de ce cours est de présenter le point du vue moderne sur l’arithmétique, issu de l’algèbre Rien de ceci n’est officiellement au programme des olympiades et une partie des résultats vous est certainement déjà connue sous une formulation différente, mais une bonne connaissance de cette théorie permet de mieux comprendre ce qui se passe, et
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109: Anneaux Z=nZ Applications - CEREMADE
1 2 Structure de groupe de Z=nZ [1] Proposition 1 Soit n2N Dans Z=nZ, o(C n(m)) = n n^m Donc ( Z=nZ;+) est cyclique et ses générateurs sont les mtels que n^m= 1 Dé nition 1 On ospe ’(n) le nomber d'entiers naturels k6 ntels que k^n= 1 C'est donc aussi le nombre de générateurs de (Z=nZ;+) Exemple 2 Si pest premier, tous les éléments à artp 0 sont d'ordre p Donc ’(p) = p 1
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Congruences dans Z; anneaux Z - Claude Bernard University
Congruences dans Z; anneaux Z/nZ L’anneau Z est infini et il existe donc des entiers dont l’´ecriture en base 10 poss`ede un nombre arbitrairement grand de chiffres Cela suffit pour que des probl`emes d’apparence tr`es ´el´ementaire, tels que l’entier N = (71980)1990 − (380)90 est-il divisible par 10 1, soient difficiles a r´esoudre en utilisant uniquement les op´erations de
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Exo7 - Cours de mathématiques
Le groupe Z/nZ Vidéo ç partie 5 Le groupe des permutations Motivation Évariste Galois a tout juste vingt ans lorsqu’il meurt dans un duel Il restera pourtant comme l’un des plus grands mathématiciens de son temps pour avoir introduit la notion de groupe, alors qu’il avait à peine dix-sept ans Vous savez résoudre les équations de degré 2 du type ax2 ¯bx¯c˘0 Les solutions s
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Problème 1 : anneau Z/nZ
Dans ce cas, Nn n’est pas stable pour +et en particulier n’est pas un sous-groupe de (Z/nZ,+) • Supposons que n soit un nombre primaire Il existe un nombre premier p et un entier naturel non nul α tel que n =p α Les éléments de Nn sont les classes des entiers relatifs divisibles par p Donc, - 0 appartient à Nn, - la différence de deux éléments de Nn est encore un élément
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Groupes monogènes Groupes cycliques Exemples
Tout groupe monogène infini est isomorphe au groupe (Z,+) 2 Tout groupe cyclique d’ordre n ∈N∗ est isomorphe à (Z/nZ,+) Démonstration 1 Soit (G, ) est un groupe monogène infini engendré par un élément g Considérons l’application f:(Z,+)→(G, )définie par f(k):=gk Il est clair que f est un morphisme De plus (G, ) étant monogène engendré par g, par définition Taille du fichier : 170KB
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Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
de Z/mZ dans Z/nZ, puis tous les automorphismes de Z/nZ Exercice 20 Soit G un groupe et H un sous groupe distingu´e de G d’indice n Montrer que pour tout a ∈ G, an ∈ H Donner un exemple de sous-groupe H non distingu´e de G pour lequel la conclusion pr´ec´edente est fausse Exercice 21 Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e d’ordre n et d’indice m On suppose
Le travail de groupe développe particulièrement les compé- tences sociales, mais poursuit également l'objectif d'intensifier l'apprentissage disciplinaire Les
methodes pratiques pour enseigner travail de groupe
On dit que ( ) est un sous-groupe de si reste une loi avec les mêmes propriétés Exemples : ( ) est un groupe commutatif avec et (notation de l'inverse lorsque )
Notion de structure de groupe
Avant toute chose, on clarifiera les relations de ce groupe avec, quand il y en a, les représentants des travailleurs (voir fiches 21 et 22) Il s'agit, au minimum,
boiteaoutilsplandeformation
Plus un individu est impliqué dans les processus de décisions, plus il va les appliquer Il est plus facile de changer les groupes que les individus la conduite du
groupe
Quel animal ? Demander aux participants de se mettre par groupes de deux et de former un cercle Faire en sorte qu'il
Pnacw
La méthode de recueil des données par groupe focalisé (focus group) est une démarche qualitative qui a été mise au point par Robert Merton dans les années
stop groupe focalis C A
prélèvement de données : la « Technique du Groupe Nominal » (TGN) Cette méthode peut être très utile à ceux qui s'interrogent sur des façons possibles de
grenier lagarde actes ARC
et groupe adjectival (GAdj) Certains mots sont facilement identifiés comme appartenant à la classe de l'adjectif, par exemple beau / belle, gentil / gentille, bleu
rubri a Adjectif
Recopie les groupes nominaux Écris N sous le nom et D sous le déterminant : une danseuse – des champignons – ma robe verte – son pantalon – l'otarie
le groupe nominal facile
k → e2iπk/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ∈ G tel que G = {e y
Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de
(Un groupe cyclique non-fini est isomorphe `a Z). Proposition 6. ¯k est générateur dans (Z/nZ+) ⇐⇒ pgcd(k
3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)∗.
Un tel ensemble s'appelle un groupe une structure mathématique très importante. Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier
Cette première partie va définir Z/nZ en tant que groupe anneau et corps. Elle va notamment présenter en quoi ces structures se trouvent au coeur des groupes
Elle est compa- tible avec l'addition et la multiplication dans Z ce qui munit l'ensemble quotient Z/nZ d'une structure d'anneau. 1 Groupes cycliques.
Les groupes Aut(Z/nZ) et (Z/nZ)∗ sont isomorphes. Aut(Z/nZ) ≃ (Z/nZ). ∗. En particulier Aut(Z/nZ) est un groupe abélien de cardinal ϕ(n). Démonstration
Z et Z/nZ sont des groupes monogènes 1 et ¯1 constituant des générateurs évidents. (notons que
k ? e2i?k/n est un isomorphisme de groupes de Z/nZ dans µn. Si G est un groupe cyclique d'ordre n alors il existe y ? G tel que G = {e y
Théor`eme 4. `A isomorphisme pr`es Z/nZ est le seul groupe cyclique d'ordre n. Proposition 5. Pour tout d diviseur de
Prérequis. On admet le fait suivant : si p est premier alors le groupe (Z/pZ). × est cyclique. Théorème. Pour n ? 1
Un autre exemple de groupe est Z/nZ tout en- tier muni de son addition. Nous prouverons plus loin que dans certains cas ces groupes ont en fait une structure
Apr 6 2018 If (Z/nZ)× is cyclic with generator a + nZ
s est un générateur du groupe (Z/nZ+);. • s appartient au groupe (Z/nZ)? des éléments inversibles pour la multiplication de l'anneau. Z/nZ. Démonstration.
Définition 1. Les sous-groupes de (Z +) sont de la forme nZ
3. Pour tout entier naturel non nul n ((Z/nZ)?.
On étu- diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes. Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et
Our goal will be to generalize the construction of the groupZ=nZ Theidea there was to start with the groupZand the subgroupnZ=hni where 2N and to construct a set Z=nZwhich then turned out to be a group(under addition) as well (There are two binary operations + and onZ but Zis just a group under addition
THE MULTIPLICATIVE GROUP (Z/nZ)? Contents 1 Introduction 1 2 Preliminary results 1 3 Main result 2 4 Some number theoretic consequences : 3 1 Introduction Let n be a positive integer and consider Z/nZ = {01 n?1} If a and b are elements of Z/nZ we de?ned a·b = ab
(Z/nZ) the product topology This product is compact as a result of the theorem of Tychono? (the product of compact topological spaces is itself compact); the restriction Zb is therefore itself compact as Zb is closed in Q n (Z/nZ) The ring homomorphism Z ? Q n (Z/nZ) which takes every element to its reduction modulo n realizes Zb as the
The Structure of (Z=nZ) R C Daileda April 6 2018 The group-theoretic structure of (Z=nZ) is well-known We have seen that if N = p n1 1 p r r with p i distinct primes and n i 2N then the ring isomorphism ˆof the Chinese remainder theorem provides a multiplication preserving bijection (Z=nZ) !(Z=pn 1 1 Z) (Z=pnr r Z)
(Z=nZ) is the set of all a2Z=nZ such that there exists an x2Z=nZ with ax= 1 i e ais an invertible element in the binary structure (Z=nZ;) Proposition 1 5 ((Z=nZ);) is an abelian group Proof The product of two invertible elements is invertible so that multipli-cation is a well-de ned operation on (Z=nZ) It is associative and commu-
C - Le groupe Z/nZ 5 - Deux groupes d’ordre 4 non-isomorphes Montrer que les groupes Z/4Z et (Z/2Z) × (Z/2Z) sont tous les deux commutatifs et d’ordre 4 mais ne sont pas isomorphes 6 - Sous-groupes de Z/54Z D´eterminer les sous-groupes de Z/54Z Pour chaque sous-groupe en donner les g´en´erateurs
Nous allons introduire dans ce chapitre la notion de groupe puis celle de sous-groupe On étu-diera ensuite les applications entre deux groupes : les morphismes de groupes Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn 1 Groupe 1 1 Dé?nition Dé?nition 1
1 Définitions 2 Le groupe Z/nZ.