[PDF] devoir surveillé n 1 (2h) 9 sept. 2559 E. B.

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n (G;:) e a2G P=Q g2Gg P G fa:G!G fa(g) =ag GG Q ab abG G (G;) A G A G G

H1H2 G

y2(H1\H2) x2H2 xy2H1[H2 x2H1 "1x y 0 1z 0 0 1 x;yzR (G;) f: (G;)!(R2;+)"1x y 0 1z 0 0 1

7!(x;z)

f (Z;+)(Q;+) (G;) X G < X > X y2Ga2G aya1 y k2Nayka1 y

G1G2 fG1G2 SL2(C)

f:G1!G2

ĕ H8SL2(C) =

1 0 0i 2 0 1

H8 H8U8 ā

H8=f2;;;g

;;;2 H8 f;2;;2g;f;2;;2g;f;2;;2g;f2;2g;f2gH8: H8 H8

HH8 H8 H 1=H

H 1=f1j2 Hg zz0 z z 2 H= z0z j(z;z0)2C2ª (H;+;) M2(C) 2= 0 1 1 0 0i i0 0 0 2;; =x2+a+b+c =x2abc 2H 2H

12 H (12)=21

N: (H;)!(R+;)

7! (H;+;) n=n0q+ran=an0q+r=aran0=e 0r < n0 n0 r= 0n0 n fa(e) =a6=e Q g2Gfa(g) =Q g2Gfa(g) =aCard(G)Q g2Gg k a0=e

ĕ k

a;a2;a4;a8;::: a;a2;a3;a4;::: xy H1[H2x2H2H1[H2y2H1H1[H2 H1[H2 xy H1[H2 xy2H1 xy2H2 xy2H2 x1(xy) =y H2H1

H2H1 H1[H2=H1

ěG

1 = 11

ě G

G "1x y 0 1z 0 0 1 Ž1 "1x xzy 0 1z 0 0 1 2G

G (GL3(R);)

"1x y 0 1z 0 0 1 "1x0y0 0 1z0 0 0 1 "1x00y00

0 1z00

0 0 1 (A;B)2G2;f(AB) =f(A) +f(B) (x;z)2R2 f( "1x0 0 1z 0 0 1 ) = (x;z)f Im(f) =R2 "1x y 0 1z 0 0 1 f(A) = (0;0)A= "1 0y 0 1 0 0 0 1

Ker(f) =

8< "1 0y 0 1 0 0 0 1 jy2R 9= r=f(1) r6= 0Ker(f) =f0g r=2 f a2Z a6= 0 f(0) = 06=r=2 f(2a) =f(a+a) =f(a)+f(a) =r=f(1) f 2a= 1Z

ĕ ĕ ā (Z;+)(Q;+)

O(x)=2 f1;2g

x2=g6=e O(x) = 4 n2NPn Ǵayna1 yǴ

P0 ay0a1=aea1=e2< y >

aya12< y > (ayna1)(aya1) y aa1=e ayn+1a1 y (G1;) = (GL3(C);)(G2;) = (C;) f=detf det(AB) = det(A)det(B)(SL2(C);) (GL3(C);)

ĕ H8 ā

SL2(C)

Ga=f;2;;2g

Gb=f;2;;2g

Gab=f;2;;2g

G1=f2;2g 2

f2gH8 8 f2g G1 < g > 8m2 H8;mgm12< g >

H8 ā

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