[PDF] Devoir Surveillé 04 MPSI. Devoir Surveillé. 2020-2021.

View - Download Devoir Surveillé 04

Previous PDF

Next PDF

MPSI Devoir Surveille 2021-2022

Devoir Surveille 04

Le vendredi 26 Novembre 2021

8h-12hLa presentation, la lisibilite, l'orthographe, la qualite de la redaction,

la clarte et la precision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appreciation des copies. Les etudiants doivent encadrer, dans la mesure du possible, les resultats de leurs calculs. L'usage de toute calculatrice ou de tout materiel electronique est interdit pendant cette epreuve. Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une regle graduee est autorisee.

Exercice 1

On considere les matrices

I=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A ; A=0 @0 1 0 0 0 1

0 0 01

A etO=0 @0 0 0 0 0 0

0 0 01

A

A tout nombre reel x on associe la matrice

M(x) =I+x:A+x22

:A2(1) 1. C alculerA2etA3et en deduire, pour tout entiern >3, la valeur deAn. 2. C alculeren utilisan t(1) le pro duitM(x)M(y) et montrer que

M(x)M(y) =M(x+y) (2)

3. Mon trerque p ourtout en tierp ositifn: (M(x))n=M(nx). reconna^treM(0). 4. Ecr ireles matrice M(x) et (M(x))nsous forme explicite. 5. Justi erl'in versibilitede la matrice M(x) sans chercher a calculer son inverse. 6. D eterminerl'in versede M(x) en n'utilisant que la relation (2) 7.

S oitB=0

@1 4 8 0 1 4

0 0 11

A .Ecrire sous forme explicite les matricesB1etBn. 8. Re trouverla v aleurde B1en utilisant la methode du pivot. 9. C onclurequan t aune structure alg ebriquede l'ensem blefM(x)jx2Rg. 1

MPSI Devoir Surveille 2021-2022

Exercice 2

Partie A

Resoudre l'equation dierentielle (E) :y00+ 2y0+ 2y= 0. Determiner la solutionfdenie surRqui verief(0) = 1 etf0(0) =1

Partie B

On se propose dans cette partie d'etudier la fonction denie pour tout nombre reeltpar : f(t) =etcos(t) et de donner une allure de sa courbe representative. 1.

Et udier,sur l'in tervalle

2 ;32 ;les variations de la fonctionf: 2. D eterminerun d eveloppementlimit e al'ordre 3 au v oisinagede 0 de f(x) et en deduire l'equation de la tangente a la courbe au point d'abscisse 0 ainsi que la position de la courbe par rapport a cette tangente au voisinage de 0. 3. Ex primerf(t+ 2k) en fonction def(t) pourk2Z, ett2 2 ;32

En deduire les variations defsur

2 + 2k;32 + 2k 4. S oientuetvles fonctions denies surRpar :u(t) =etetv(t) =et: (C1) et (C2) leurs courbes representatives respectives dans un repere orthonorme (O;!i ;!j): Soit encore (C) la courbe representative defdans (O;!i ;!j): Determiner les points d'intersection de (C) et (C1) puis de (C) et (C2); que dire alors de la limite de la fonctionfen1: 5. C omparerles tangen tes a( C) et (C1) aux points d'intersection trouves a la question precedente;

Faire de m^eme pour (C) et (C2):

6.

Et udierla limite de fen +1:

7. Util iserce qui p recedep ourrepr esentergraphiquemen t( C), (C1) et (C2) sr 2 ;32 On pourra utiliser les valeurs numeriques suivantes : e =4'0;46e=4= 2;19e3=4'0;09e'0;04 e =2'0;21e=2'4;81e3=2'0;01p2'1;41 8.

P ourtout en tiernaturel k;on pose :

a k=Z 2 +(k+1) 2 +ketcos(t)dt Calculer cette integrale en remarquant quefest solution de l'equation dierentielle de la partie A. 9. Mon trerque ( an)n2Nest une suite geometrique dont on determinera la raison et le premier terme. 10.

On p ose: 8k2N; bk=jakj;

calculerSn=nX k=0b ken fonction den;puis etudier la limite deSnquandntend vers +1:

Interpreter geometriquement ce resultat.

2

MPSI Devoir Surveille 2021-2022

Exercice 3

Pour toutes suites numeriquesu= (un)n2Netv= (vn)n2N, on denit la suiteuv=wpar :

8n2N; wn=nX

k=0u kvnk

Partie A : Exemples

1.Premiers exemples

Pour tout entier natureln, calculerwnen fonction dendans chacun des cas suivants : (a) p ourtout en tiernaturel n,un= 2 etvn= 3. (b) p ourtout en tiernaturel n,un= 2netvn= 3n. (c) p ourtout en tiernaturel n,un=2nn!etvn=3nn!

2.Un resultat de convergence

Dans cette question, la suiteuest denie par :8n2N; un=12 n etvest une suite de reels positifs, decroissante a partir du rang 1 et de limite nulle. (a) Etablir, pour tout couple d'entiers naturels (n;m) veriantn < m, l'inegalite :mP k=n+1u k6un (b) So itnun entier strictement superieur a 1. Prouver les inegalites : w

2n6v0u2n+ 2vn+v1unetw2n+16v0u2n+1+ 2vn+1+v1un

(c) En d eduireque les deux suites ( w2n)n2Net (w2n+1)n2Nconvergent vers 0 ainsi que la suite (wn)n2N. (d)

Soi tu0la suite denie par :8n2N; u0n=

12 n .A l'aide de la question precedente, montrer que la suiteu0vest convergente et de limite nulle. Partie B : Application a l'etude d'un ensemble de suites Dans cette partie,Adesigne l'ensemble des suitesa= (an)n2Nde reels positifs veriant :

8n2N; an+1612

(an+an1) 1. Mon trerque toute suite d ecroissantede r eelsp ositifsest elementde Aet qu'une suite strictement croissante ne peut appartenir aA. 2. S oitz= (zn)n2Nune suite reelle veriant :8n2N; zn+1=12 (zn+zn1). (a) M ontrerqu'i lexiste deux constan tesr eellesettelles que l'on a :

8n2N; zn=+

12 n (b) En d eduirequ 'ilexiste des sui tesappartenan t aAet non monotones. 3

MPSI Devoir Surveille 2021-2022

3. S oita= (an)n2Nun element deAetbla suite denie par :8n2N; bn= 12 n On denit alors la suitecpar :c0=a0et8n2N; cn=an+12 an1. (a) M ontrerque la suite cest decroissante a partir du rang 1 et qu'elle converge vers un nombre` que l'on ne cherchera pas a calculer. (b)

P ourtout en tiernaturel n, etablir l'egalite :nP

k=0 12 k c nk=an.

Que peut-on en deduire pour les suitesbceta?

(c) So it"la suite denie par :8n2N; "n=cn`etdla suiteb". En utilisant le resultat de la question3. de la Partie1, montrer que la suitedconverge vers 0. (d) P ourtout en tiernaturel n, etablir l'egalite :dn=an23 1 12 n+1! En deduire que la suiteaconverge et preciser sa limite.

Exercice 4

On considere les deux matricesA=0 1

1 1 etI=1 0 0 1 1. S oita;b;x;y;quatre reels qui verient :aA+bI=xA+yI:Montrer quea=xetb=y: 2. (a )

Calculer A2en fonction deAetI:

(b) Mon trerpar r ecurrenceque, p ourtout en tiernaturel n, il existe un unique couple de reels (un;vn) tel queAn=unA+vnI: On veriera, pour tout entier natureln, les relationsun+1=un+vnetvn+1=un: 3. (a ) Si l'on supp oseque p ourun certain en tiernaturel n,unetvnsont positifs, montrer queun+1et v n+1sont egalement positifs. (b) En d eduirepar r ecurrenceque, p ourtout en tierna tureln; unetvnsont positifs. 4. Eta blir,p ourtout en tiernaturel n, la relation :un+2=un+1+un: 5.

En d eduirequ ela suite ( un)n2Nest croissante.

6. Mon trer, al'aide d'un raisonnemen tpar l'absurde, que : lim n!+1un= +1: Montrer, pour tout entiernsuperieur ou egal a 1;la relation :An=un1un u nun+1 Montrer, pour tout entiernsuperieur ou egal a 1;les relations : u

2n1=u2n1+u2netu2n=unun1+unun+1

Pour toute matrice carreeMd'ordre 2 de la formeM=a b c d oua;b;cetdsont des reels quelconques, on pose :d(M) =adbc. 1. So ita;b;c;d;x;y;z;t;huit reels quelconques. On considere les deux matrices : M=a b c d etN=x y z t :Calculer le produitMNainsi qued(MN): 2.

Mon trerque d(MN) =d(M)d(N)

3. Eta blirpar r ecurrence,p ourtoute matrice Mcarree d'ordre 2 et pour tout entier naturel n;la formule :d(Mn) = [d(M)]n: 4. En utilisan tle r esultatpr ecedent,mon trer,p ourtout en tiernsuperieur ou egal a 1;la relation u n1un+1u2n= (1)n: 4quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

[PDF] devoir surveillé première s physique chimie

[PDF] devoir surveillé statistiques 4ème

[PDF] devoir surveillé svt seconde biodiversité

[PDF] devoir surveillé trigonométrie 1ere s

[PDF] devoir svt

[PDF] devoir svt 2eme science avec correction

[PDF] devoir svt seconde cellule

[PDF] devoir svt seconde métabolisme cellulaire

[PDF] devoir thales et sa réciproque

[PDF] devoir trigonométrie seconde

[PDF] devoir trigonométrie seconde pdf

[PDF] devoirat ghediri

[PDF] devoirs des enseignants envers les élèves

[PDF] devoirs du citoyen français

[PDF] devoirs et compositions 3am nouveau programme