[PDF] DEVOIR SURVEILLÉ N?09 MPSI du lycée Rabelais

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DEVOIRSURVEILL´EN°09

dur´eedel"´epreuve4heures

LISEZ-MOI!

Lesujet,delongueur raisonnable estconstitu´ed"exercicestr`esclassiques.Lisezbienle sujetenentieravantded´emarrercarilyaforc´ementdesquestionsquevous saveztraiter leseyuxferm´es!!

Boncourage!

COMPOSITION DEL"´EPREUVE ET BARˆEMEAPPROXIMATIF Mots-cl´es:Noyau, image,repr´esentationmatricielle,changementde base....7pt Mots-cl´es:primitive quis"annuleaupoint.................................3pt

EXERCICE2:D´eterminantd"ordre

Nb:L"utilisation descalculatricesestinterdite.

1

PartieI.Int´egralesdeWallis

On note,pourN,=

2

0sin()

1.Calculez0et1.

2.Montrezquelasuite()estd´ecroissante eten d´eduirequ"elle estconvergente.

3.a.Montrezquepour toutentier,+2=+1

+2. b.En d´eduire-enfonction delaparit´ede-une expression deenfonction defaisant intervenirdescoefficientsdu binˆome2

4.MontrezqueN(+1)+1=

2.

5.En d´eduireque

2puisque2

22.

PartieII.FormuledeStirling

1.Etablissezpour toutentier2l"encadrementln(1)

1ln()ln().D´eduisez-

enqueln(!)ln().

2.Soit2unentier.On note=ln()

1ln()et=

1(+1)()

2. a.Montrezque= 1+1 b.Montrezque=1

2ln()ln(1)12.

c.Montrezquepour tout[1],0(+1)()1

4etd´eduisez-enl"encadrement

01 4 111

3.Soit2fix´e.On d´efinit=

=+1 .Montrezquelasuite()estcroissante etmajor´ee.On note=lim+.Donnezunmajorantsimplede.

4.Pour2,on note=

=2 gente.On note=lim+.Donnezunerelationentre,et.

5.Exprimezln(!)enfonction de, ln(),et.D´eduisez-enl"existenced"unr´eeltel

que 2

6.Utilisezl"´equivalentde2

obtenu danslaPartieIpourprouverque=2.

Remarque:ona ainsi´etabli laFormuledeStirling!

2

PartieI.EtudedeΦ

Φ()()=(21)()+(2+1)()

1.Montrezquesiestun polynˆomededegr´eN,Φ()estun polynˆomededegr´e.

2.MontrezqueΦestunendomorphismedeR[].

3.D´eterminezlenoyau deΦ.

4.Φest-ilsurjectif?

OnappelleΨlarestriction deΦ`aR3[].

2.D´eterminezlamatricedeΨdanslabase canoniquedeR3[].

3.Pourquellesvaleursdu param`etrer´eel, l"endomorphismeΨR3[]est-ilnon

inversible?

4.Pourchacunedesvaleursdeobtenues`alaquestion pr´ec´edente,d´eterminezunebasede

Ker(ΨR3[]).

=M(Ψ)=

0 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 12

7.`Al"aidedesquestionspr´ec´edentes,d´eterminezl"expression de,pourN.

3

Onseproposed"´etudierlafonction:

2 ln(1+2).

2.Montrezqueestimpaire.

3.Soit0.On notelaprimitivede1

ln(1+2)quis"annule en.Exprimez`a l"aidedelafonction depuisen d´eduirequeestd´erivablesurRetd´eterminez.

4.Dressezletableau devariation de.

6.Donnezl"alluredugraphede.

EXERCICE2:D´eterminantd"ordre

Soit3.On noteled´eterminant tridiagonal :

12

2 22(0)

6 32 (0)......2 n(n-1)

1.Calculez3et4.

2.Montrezque

=1+2(1)2

3.On pose=

!.Quellerelationv´erifient,1et2?

4.D´eterminezl"expression deenfonction deetd´eduisez-encellede.

Fin dusujet

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