[PDF] CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?02

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MPSIdulyc´eeRabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.frSamedi15 octobre2011

CORRIG´EDUDEVOIRSURVEILL´EN°02

EXERCICE1

chestpaire, lafonctionschest´egalementpaire.?

2.Toutd"abord, lalimitedeschen?eten+est0puisquelalimite

de chest+en.Parailleurs, lafonctionschestd´erivablesurR xR,sch(x)=?ch(x) ch2x=?shxch2x. +,sch"eststrictement n´egativesurR R +etstrictementcroissantesurR parparit´e. x?0+ sch(x)?0? sch(x)0?1 ?0

3.Lafonctionschestcontinue etstrictementd´ecroissantesur[0,+[,

d"apr`esleth´eor`emedelabijection,eller´ealiseunebijection de [0,[vers sch([0,+[)=]0,1].Celamontrequelarestriction desch

4.D"apr`eslaquestion pr´ec´edente, l"ensembleded´efinition deArgschest

]0,1].Lafonctionsch´etantcontinue etstrictementd´ecroissantesur [0,+[,Argschest´egalementcontinue etstrictementd´ecroissantesur ]0,1]. ??toujoursd"apr`esle th´eor`emedelabijec- tion 1 1 1

Oy=schxy=argschxy=x

5.Soitx]0,1]ettR+.Alors

t=Argsch(x)x=sch(t)x=1 ch(t) 1 x=ch(t)t=Argch(1/x)

Finalement

Argsch(x)=Argch(1/x)=ln1+

1?x2 x

6.argschestd´erivablesur]0,1[comme compos´ee etpour toutx]0,1[,

Argsch(x)=?1

x1?x2.?

EXERCICE2

1.D=Rcarpour tout r´eelx,

??pourcomparerdeux r´eelspositifs, jepeux comparerleurscarr´es1+x

2(1+x2)(1+x)22(1+x2)

(1?x)20 2

2.festd´erivablesurR 1etpour toutx=1

f (x)=1

1?(1+x)22(1+x2)

2(1+x2)?(1+x)4x22(1+x2)

2(1+x2)

1

2(1+x2)?(1+x)22(1+x2)?2x(1+x)2(1+x2)

1 (1?x)21?x1+x2

Finalement,comme

(1?x)2=1?x, ?on peutsimplifierl"expres-?2= sion def(x)surchaquesousintervalleo`uelle estd´efinie: sur]?,1[,f(x)=1?x

1?x11+x2=11+x2

sur]1,+[,f(x)=1?x

1?x11+x2=?11+x2.

3.sur]?,1[,f(x)=Arctan(x).Ilexisteune constanteCR

tellequepour toutx]?,1[,f(x)=Arctan(x)+C.Pour d´eterminerlavaleurdelaconstante,on´evalue en0.Ilvient

C=π

4.Ainsi

Pour toutx]?,1[,f(x)=π

4+Arctan(x)

sur]1,+[,f(x)=?11+x2.Ilexisteune constanteCR tellequepour toutx]1,+[,f(x)=C?Arctan(x).Pour d´eterminerlavaleurdelaconstante,oncalculelalimite en+.

D"unepart, lim+f(x)=Arcsin(1/

2)=π4etd"autrepart,

lim+C?Arctan(x)=C?π

2.Parunicit´edelalimite, ilen

r´esultequeC=3π 4.

Pour toutx]1,+[,f(x)=3π

4?Arctan(x)

3

EXERCICE3

Oncommenceparobserverquefestd´efiniesurR, impaire.

1.SoitxR.On poset=Argsh(x),desortequetRetx=sh(t).

Parsuite

2x x2+1=2sh(t)sh2(t)+1=2sh(t)ch(t)=sh(2t)

Comme2tR,onaf(x)=Argsh(2x

x2+1)=2t=2Argsh(x).?

2.festd´erivable etpour toutxR

f (x)=2

1+4x2(x2+1)x2+1+xxx2+1

2

1+x2=2Argsh(x)

Parcons´equent, ilexisteune constanteCtellequepour toutxR, f(x)=C+2Argsh(x).En´evaluanten0, ilvientimm´ediatement

C=0etdonc

pour toutxR,f(x)=2Argsh(x)

3.SoitxR.Ona

f(x)=ln 2x x2+1+4x2(x2+1)+1 =ln x 2+2x x2+1+(x2+1) =2ln(x+ x2+1)=2Argsh(x)

EXERCICE4

1.Soitxunesolution de(1).Ence cas,2x[?1,1],soitx12.et

x=sin(Arcsin(x))=sin

Arcsin(2x)?Arcsin(x

3) =2xcos

Arcsin(x

3) ?x3cos(Arcsin(2x)) =2x

1?3x3?x31?4x2

4

2.Soitx[?12,12].

xestsolde(2)x=0 ou2

1?3x2?31?4x2=1

x=0 ou

1?4x2=0

x=0 oux=?1

2oux=12

Autrementdit,sixestsolution de(1),alorsx0,?1

2,12. Inversement,onv´erifieque cestroisvaleurs sonteffectivementsolu- tionsde(1).?

PROBL`EME1

PartieI.Question decours

1.SoitxR,posonst=Arctan(x)desortequet?

2,2etx=

tan(t).Alors cos2(t)=1

1+tan2(t)=11+x2

Commet?

2,2,onacos(t)0etparsuite

??cos()=pcos2() cos(Arctan(x))=1 1+x2

2.Lafonctiontanrestreinte`a?

2,2estd´erivable etpour toutt?

2,2,ona

tan(t)=1+tan2(t)>0 Encons´equence, lafonctionArctanestd´erivable commebijection r´eciproqued"unebijection d´erivabledontlad´eriv´eenes"annulepaset pour toutxR,

Arctan(x)=1

tan(Arctan(x))=11+tan2(Arctan(x))=11+x2

3.Soith:RRlafonction d´efinieparh(x)=Arctan(x)+Arctan(1/x).

?etpour?onutiliselar`eglede d´erivationenchaˆınetoutx=0, h (x)=1

1+x2+11+1x2(?1)

x2=11+x2?11+x2=0 D"apr`eslacaract´erisation desfonctionsconstantes suruninter- valle, ils"ensuitque 5

Pour toutxR+,Arctan(x)+Arctan(1/x)=h(1)=2.

Pour toutxR,Arctan(x)+Arctan(1/x)=h(?1)=?

2.? mentalducalcul int´egralelleadmetdesprimitives sur toutintervalle

IdeR.Parint´egration parparties,ona

Arctan(t)dt=

tArctan(t) t

1+t2dt

=xArctan(x)?1

2ln(1+x2)+C

PartieII.Sommesd"arctangentes

SoitaR.On posef(x)=Arctana+x

1?ax =R 1

2.SoitaR.festd´erivabledanscomme compos´eedetellesfonc-

tions ?etpour toutx?onutiliselar`eglede d´erivationenchaˆıne f (x)=1 1++1

2(1?ax)?(?a)(x+a)(1?ax)2

1+a2 (1?ax)2+(a+x)2=1+a21+a2+x2+a2x2 1 1+x2

3.Sia=0,onay(x)=+

1?????1.Parcomposition deslimites, il

s"ensuitque limf(x)=?Arctan(1/a).

Al"aidedelaquestionI.3, ilenr´esulteque

sia>0,alorslimf(x)=?π

2+Arctan(a).

sia<0,alorslimf(x)=π

2+Arctan(a).

4. 6 de?,ona f (x)=Arctana+x 1?ax ?????π2+Arctan(a) =Arctan(x)+C????C?π 2

Arctan(a).

En proc´edantdemˆemedanslesautrescas,onobtient: sia=0 alorsf(x)=Arctan(x)

5.Soit (a,b)R2.Al"aidedesquestionspr´ec´edentes,ona

Arctan(a)+Arctan(b)=Arctana+b

1?ab oua=0 oua>0etb>1 oua<0etb<1 ab<1

PartieIII.Applications

1.R´esolution d"une´equation

a.Onsouhaiteappliquerler´esultatdelaquestion pr´ec´edentepourle calculd"unesommed"Arctangentes.Pourcela, ilestn´ecessaireque lesr´e´elsaetbv´efifientab<1.Onen d´eduitle calculsuivant:

A=Arctan(2)+Arctan(5)+Arctan(8)

2?Arctan12

+π2?Arctan15 +π2?Arctan18 3π 2?

Arctan12

+Arctan15 +Arctan18 3π 2?

Arctan

1 2+15 1?110 +Arctan18 3π 2?

Arctan79

+Arctan18 3π

2?Arctan

7 9+18 1?772 =3π2?Arctan(1)=5π4 7 b.Soitf:RRlafonction d´efinieparf(x)=Arctan(x?3)+ Arctan(x)+Arctan(x+3).festcontinue etstrictementcroissante bijection,fr´ealiseunebijection deRsur?3

2;32.Comme5π4?3

2;32, iladmetun uniqueant´ec´edentparf.Or,d"apr`eslaquestion

4.Ainsi

Arctan(x?3)+Arctan(x)+Arctan(x+3)=5π

4x=5

2.Sommefinied"arctangentes

a.SoitpN.Onaclairementp p+11?pp=1?p1+p<1.D"apr`esla questionII.5ils"ensuitque

Arctanp

p+1 ?Arctanp?1p =Arctan 1?1

1+(1)(+1)

=Arctan1 2p2 b.SoitnN,ona ??part´elescopage S =1Arctan1 2p2 =1Arctanpp+1 ?Arctanp?1p =Arctann n+1 ?Arctan(0) Parcontinuit´edelafonctionArctanen1, ilvientlim+S=π 4.? 8quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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