[PDF] CORRIGÉ DU DEVOIR SURVEILLÉ N?06

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MPSI du lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.frsamedi 10 mars 2012

CORRIG´E DU DEVOIR SURVEILL´E N°06

PROBL`EME 1

Partie I. Cons´equence s´equentielle de l"uniforme continuit´e

1.On suppose que:Rest uniform´ement continue dans.

a.Par d´efinition : ( 0)( 0)(()2)(? ()?() ) b.Soit ()N, ()Ntelles que lim(?) = 0. On montre que lim ()?() = 0. Soit 0 fix´eonce and for all. Commeest uniform´ement conitinue dans, il existe 0 tel que (()2)(? ()?() ) (1) Or par hypoth`ese, la suite (?) est convergente de limite nulle.

Par cons´equent

?, il existe un entier naturel0Ntel que?Applique la d´efinition de suite convergente avec`a la place deN(0 ? ) (2) Soit0. D"apr`es (2),? D"apr`es (1), il en r´esulte finalement que()?() . Par d´efinition, on a bien montr´e que lim+(()?()) = 0.? c.Soit ()Nune suite convergente versR. Alors (+1) est aussi convergente de limitecomme suite extraite. Par OPA, il en r´esulte que (+1?) est convergente de limite nulle. D"apr`es la question pr´ec´edente, on peut en d´eduire que lim(+1)?() = 0.?

2.Soitetles fonctions d´efinies surR+et ]01] par() =1

et() = sin(1) respectivement.est continue surR+comme quotient de telles fonctions dont le d´enominateur ne s"annule pas. La fonction sin est continue surRdoncest continue comme compos´ee de telles fonctions.

Soit=1

, pour1. Clairement?0 mais()?(+1) = 1 ?10.

Soit= ((2+1)2)1. Clairement?0 mais()?(+1)=

20. D"apr`es la question pr´ec´edente,etne sauraient ˆetre uniform´ement continues.?

3.Soit: [0+[Rune fonction d´erivable.

a.SoitR+telle queR+, , alors, d"apr`es leth´eor`eme des accroissements finis, pour tout couple ()R+R+, on a ??on applique leTAF entreet()?() ? Par d´efinition,est-lipschitzienne dansR+. D"apr`es le cours, on sait en ce cas, queest automatiquement uniform´ement continue dansR+. b.Supposons que() ???+. On montre quen"est pas uni- form´ement continue `a l"aide de la cons´equence s´equentielle. Pour tout entierN, il existetel que R+ ()

Posons alors () = (+1

). Clairement, lim+(?) = 0. Or ad"apr`es l"´egalit´e des accroissements finis, ?, il existe][ tel?appliqu´e entreet que ()?()=1 Or, par construction,. Par cons´equent() 1 et par transitivit´e, il s"ensuit que()?() = 1. En particulier,()?() 0, ce qui prouve quen"est pas uniform´ement continue.? Partie II. Fonction uniform´ement continue sur un domaine born´e

Dans cette partie, on suppose que= [[, avec .

1.Soit:Rune fonction continue sur.

a.On suppose quen"est pas major´ee sur [[. Soit[[. D"apr`es leth´eor`eme image continue d"un segment,est major´ee sur le segment []. Comme par hypoth`esen"est pas major´ee sur [[, ceci entraˆıne imm´ediatement quen"est pas major´ee sur [[.? b.On suppose quen"est pas major´ee sur. On construit par r´ecurrence une suite croissante ()Ntelle que pour tout entierN, (+1)?()1. 2

Init.soit0.

H´er´ed.soitNpour lequel on suppose construits0 tel que0 et(+1)(), pour[[0?1]]. D"apr`es la question pr´ec´edente,n"est pas major´ee sur [[, par cons´equent,()+1 n"est pas un majorant! En cons´equence, il existe un ´el´ement, not´e+1tel que+1[[ et(+1 () + 1.

Ccl.OK.

La suite () ainsi contruite est croissante et major´ee par. D"apr`es le th´eor`eme de la limite monotone, () converge. Soit= lim+. Par passage `a la limite dans des in´egalit´es, on sait que. Montrons par l"absurde que=. Supposons au contraire que . En ce cas,serait continue enet d"apr`es lacaract´erisation s´equentielle de la continuit´e, on devrait avoir (()(+1)? (), ce qui est impossible, vu que(+1)?() 1. Par l"absurde, on a bien montr´e que () converge vers.? c.Sin"est pas major´ee dans [[, alors il existe une suite convergente () telle que(+1)?()0. D"apr`es la question1.cde la Partie I, il s"ensuit quen"est pas uniform´ement contniue. Sin"est pas minor´ee, alorsn"est pas uniform´ement continue non plus. ?. Par?applique l"argument pr´ec´edent `acontrapos´ee, on a bien ´etabli que siest uniform´ement continue, alors est `a la fois major´ee et minor´ee dans, c"est-`a-dire born´ee.?

2.On suppose d´esormais queest uniform´ement continue dans.

a.Soit ()Nune suite convergente de limite. Commeest born´ee, la suite des images (()) est une suite born´ee de nombres r´eels. D"apr`es leTh´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, il existe une fonction strictement croissante:NNetRtelles que(()) converge vers. La suite () = (()) est aussi convergente de limitecomme suite extraite et= lim+().? b.Soit ()Nune suite convergente de limite. D"apr`es la question

1.b, comme la suite (?) converge vers 0, il en va de mˆeme de

la suite (()?(). Or la suite() converge versPar OPA, il s"ensuit que (()) est aussi convergente de limite.? c.Finalement, pour toute suite () convergente de limite, on a (()) convergente de limite. D"apr-s lacaract´erisation s´equentielle de la limite, il s"ensuit que lim() =. CommeRest fini, cela prouve queest prolongeable par continuit´e sur []. Ainsi,se prolonge 3 en une fonction continue˜sur le segment []. D"apr`es leTh´eor`eme de Heine, il en r´esulte que˜est uniform´ement continue dans [].?

PROBL`EME 2

Soitetdeux r´eels tels que et: []Rune fonction de classe2sur []. On suppose en outre que : est convexe sur [], est strictement n´egative sur [], ()0 et()0.

Partie I.´Etude d"une fonction

1.Par hypoth`ese,est continue et strictement d´ecroissante sur [] (car

0). D"apr`es leth´eor`eme de la bijection,r´ealise une bijection

de [] sur [()()]. Or()0 (). Ainsi 0[()()] admet-il un unique ant´ec´edent par. On notecet ´el´ement.?

On introduit la fonction: []Rd´efinie par

2.est de classesur [],()

()est de classe1sur [] comme quotient de telles fonctions dont le d´enominateur nes"annule pas. De plus pour tout[], on a () = 1?()2?()() ()2=()()()2

3.On sait que0. Comme pour tout[]() =()()

()2, le signe deest celui de. Le tableau suivant r´esume ces propri´et´es. ()0 ()+ 0? 4

4.Les fonctions ()et ()sont continues sur le segment

[]. D"apr`es leth´eor`eme image continue d"un segment, ces fonc- tions sont born´ees et atteignent leurs bornes. En particulier, il existe ()R+R+tels que []() ()et() ()

Comme0, on peut prendre=()0 et= 1 +().

Ainsi,

[]() et()

5.Soit[]. on a

()?=()?() sup

Le sup ´etant pris pour[][]. Or pour tout[][],

on a : ()22()

On applique alors les IAF `aentreet. Il vient

Finalementputting all the things together gives

()? ?2

Partie II.´Etude d"une suite

Soit () la suite r´ecurrente d´efinie par0=

N +1=()

1.Montrons par r´ecurrence queque () est croissante et major´ee par

Init.0=.

H´er´ed.soittel que0 . Comme, le

tableau de variation demontre que()0. Par cons´equent ()0, et donc+1=() =?()() . Enfin, le tableau de variation demontre que+1=().

CclOK?

5

2.D"apr`es leth´eor`eme de la limite monotone, la suite () est conver-

gente. On note[] sa limite. On a alors ??un petit sc´ema tri- angulaire pour illustrer ce raisonnement serait le bienvenu!()?() (par TCSC) par continuit´e de la fonctionen. +1?comme suite extraite de. Parunicit´e de la limite, il s"ensuit queest un point fixe de: or () =() = 0=

Par cons´equent la suite ()Nconverge vers.?

3.Posons=1

. Montrons par r´ecurrence surNque ? ?0? 2

Init.lorsque= 0, on a0? 0?

H´er.soitNtel que? 1

((0?))2. D"apr`es la question ttt +1?=()? ?2 ?1 ((?))2?2 1 ((?))2+1

Ccl.par r´ecurrence on a montr´e que ...

EXERCICE 1

Soit:RRune fonction deRdansRtelle que

()R2 (+) =() +()

R+[?11]() (3)

1.Soit ()R2. D"apr`es (3)() =??+?=(?) +().

D"o`u l"on tire que(?) =()?().?

2.SoitRfix´e.

a.Montrons par r´ecurrence surNque?N?,() =(). Init.D"apr`es la question pr´ec´edente,(0) =(0?0) =(0)? (0) = 0. 6

H´er.soitNtel que() =(). Alors

?(+1)?=(+) =()+() =()+() = (+1)() Ccl.par r´ecurrence surN, on a montr´e que?N?, b.SoitZ. Deux cas se pr´esentent : siN, alors, d"apr`es la question pr´ec´edente, on a() = si 0, alors=?et par cons´equent,() =(0? ) =(0)?() =?() =(). dans tous les cas, on a bien ´etabli que() =().? c.SoitR. Ecrivons= , o`u ()ZN. Alors

D"o`u il d´ecoule que() =

3.SoitRun r´eel non nul.

a.Par compatibilit´e de l"ordre avec le passage aux inverses,on a 1 21
Pardensit´e des rationnels, il en r´esulte l"existence d"un rationnel

Qtel que1

2 1.?

b.Par construction de, on a 1 2 1 Par d´efinition de, il s"ensuit que() , d"o`u l"on tire que () . Comme() =(), il s"ensuit que()

Finalement, comme1

2, il vient que2.

Putting all things together yields to

() 2 7 c.SoitR. A l"aide duth´eor`eme d"existence de limite par compa- raison, on d´eduit de la question pr´ec´edente que lim

0-() = lim

0+() =(0) = 0

La fonctionest bien continue en 0.

Pour ´etudier la limite en un point quelconque0, on effectue le chan- gement de variable=0+. D"apr`es (3); on a () =(0+) =(0) +()

Comme lim

0() = 0, il en r´esulte (par OPA) sur lim0() =(0)

Ceci ´etant vrai pour tout0R,est donc continue sur=R.?

4.Finalement, posons=(1). D"apr`es la question2.c, on sait que

Q () =

Soit0R. Montrons que(0) = 0.

Soit ()NQN, tel que????+0On a alors

() = ????+0 ()????+(0) Parunicit´e de la limite, il s"ensuit que(0) = 0.?

EXERCICE 2

Partie I. Calculs de limites

1.Passons en exponentielle :

cos?1 ln?? 2 =2ln(cos(1 ln))=2ln(1+cos(1ln)1)

Posons tout d"abord= 1ln????+0, pour obtenir

cos(1ln)?1+?(12)(1ln2) Le second changement de variable= cos()?1????+0, dans l"´equivalent usuel ln(1 +)0, donne finalement ln ?cos(1ln)?+?(12)(1ln2)

Ainsi,2ln?cos(1ln)?+?(12)(ln)2tend vers?quand

tend vers +par croissances compar´ees. Par composition des li- mites, il s"ensuit que lim cos?1 ln?? 2 = 0. 8

2.Posons= 1 +, pour nous ramener l"´etude au voisinage de 0 de

2+2(+1)?1

cos?2+2? =?22(+1)?1sin?2?

Or,201,(+1)?10+20et sin?

2?02. Ainsi, par

op´erations alg´ebriques,

2+2(+1)?1

cos?2+2? 0?22 et nous pouvons conclure que lim 1 2+?2 cos(2)=?22.

Partie II. Calculs d"´equivalents

1.1?1 = exp?ln

?1. Posons() =ln. Par croissances com- par´ees, on a()????+0. Le changement de variable=() dans l"´equivalent usuel?10donne finalement

1?1+ln

2.Suivant l"indication fournie, commen¸cons par factoriserpar.

1?=? 11?1? exp?(1?1)ln??1? Or d"apr`es la question pr´ec´edente,() = (1?1)ln+ln2 tend vers 0 quandtend vers +par croissances compar´ees. Le changement de variable=() dans l"´equivalent usuel?10 donne en ce cas que exp?(1?1)ln??1 =()?1+()+(1?1)ln +ln2

Par cons´equent,1?+ln2().

9

3.Cherchons un ´equivalent simple du num´erateur de cette expression :

(+ 1)1 ?1? (ln)2=1? (1 +1)1 ?1? (ln)2 exp?1 ln?

1 +1??

?1? (ln)2 +?1 ln?

1 +1??

(ln)2 +1

2(ln)2+ln2

Ainsi, num´erateur et d´enominateur de cette expression sont ´equivalents `a ln

2. Il en r´esulte que lim+?

(+ 1)1 ?1? (ln)2

1?= 1.?

10quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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