[PDF] DEVOIR SURVEILLÉ N?02 MPSI du lycée Rabelais

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MPSI du lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.frSamedi 12 octobre 2013

DEVOIR SURVEILL´E N°02

dur´ee de l"´epreuve 4 heures

LISEZ-MOI!

Ce sujet ne contient pas de question de cours, ce qui expliquepourquoi il est si court!!

Certains exercices ou questions sont tr`es proches de ce quia ´et´e trait´e en s´eance. Prenez

10 minutes au d´ebut de l"´epreuve pour regarder l"ensembledu sujet et rep´erer les exercices

que vous connaissez bien, ou au contraire ceux qui vous semblent plus difficiles. et d´ebutez par ce que vous savez le mieux faire! COMPOSITION DE L"´EPREUVE ET BARˆEME APPROXIMATIF

PROBL`EME 1 : Autour de la fonction Arc sinus

Mots-cl´es : trigonom´etrie, fonction Arc sinus.................................≈8 pt

EXERCICE 1 : R´esolution d"une ´equation

Mots-cl´es : fonctions trigonom´etriques r´eciproques............................≈2 pt

EXERCICE 2 : Formule de Machin

Mots-cl´es : sommes d"arc tangentes..........................................≈2 pt EXERCICE 3 : S´ecante et argument s´ecante syperboliques

Mots-cl´es : bijection sur un intervalle `a pr´eciser, point de vue ´equation.......≈4 pt

EXERCICE 4 : Sommes de fonctions hyperboliques

Mots-cl´es : cosinus et sinus hyperboliques....................................≈4 pt

Nb :l"utilisation descalculatricesestinterdite.

1

PROBL`EME 1:Autour de la fonction Arc sinus

Partie I.´Etude deArcsin(sin2x)

On consid`ere la fonction:R→Rd´efinie pour tout?Rpar () = Arcsin(sin2) 1. ´Etudiez la parit´e et la p´eriodicit´e de.

2.Simplifiez l"expression de() pour?[04], puis pour?[42].

3.Donnez la repr´esentation graphique de.

Partie II. Etude deArcsin?2x1 +x2?

Soitla fonction d´efinie par

() = Arcsin?2 1 +2?

1. Intervalle d"´etude

b.D´eduisez de la question pr´ec´edente le domaine de d´efinition de. c.

´Etudiez la parit´e de.

2. Tableau de variation

a.Pout tout?]-22[, simplifiez l"expression2tan

1 + tan2puis celle de(tan).

b.Exprimez, pour tout r´eel?R,() `a l"aide deet de Arctan. c.D´eduisez des questions pr´ec´edentes les variations desurR. d.Dressez le tableau de variations deen pr´ecisant ses limites en±∞.

3. Repr´esentation graphique

a.Calculez() pour tout?]- ∞-1[?]-11[?]1+∞[. b.Donnez les ´equations des tangentes aux points d"abscisses0,⎷

3,1⎷3.

c.D´eterminez les limites+= lim

1+() et= lim

1-(). d.Repr´esentez. On pr´ecisera les tangentes obtenues.

Nb :⎷

3≈173 et1⎷3≈057.

2

EXERCICE 1:R´esolution d"une ´equation

Le but de l"exercice est de r´esoudre l"´equation

Arcsin(2)-Arcsin(⎷

3) = Arcsin() (1)

1.On suppose queest une solution de l"´equation (1). Montrez que?[-1

212] et qu"il

v´erifie :

2⎷

1-32-⎷3⎷1-42=(2)

2.R´esolvez l"´equation (2) et concluez.

EXERCICE 2:Formule de Machin (John Machin 1680-1751)

1.Soitetdeux r´eels tels que 0 . Calculez Arctan??+ Arctan?-+?.

2.Calculez 4 Arctan?1

5?. 3. `A l"aide des questions pr´ec´edentes, montrez que :

4= 4Arctan?15?-Arctan?1239?

EXERCICE 3:S´ecante et argument s´ecante hyperboliques

On pose sch() =1ch()

1.D´eterminez l"ensemble de d´efinitionDde la fonction sch et ´etudiez sa parit´e.

2. ´Etudiez les variations de la fonction sch et pr´ecisez ses limites aux bornes deD.

3.Montrez que la restriction de sch `a l"intervalle [0+∞[ induit une bijection sur un intervalle

`a pr´eciser.

4.On note Argsch son application r´eciproque. Donnez son ensemble de d´efinition et de

continuit´e ainsi que son tableau de variation.

5.Finalement, en adoptant le point de vue ´equation, explicitez Argsch().

EXERCICE 4:Sommes de fonctions hyperboliques

Soit?N. On pose() =sh()--1 et, pour tout≥2 :

=sh?1

1.Montrez que l"´equation 2sh()+1 = 0 admet une unique solution surR.On notecette

solution.

2.Montrez que, pour tout r´eel, ch2() + sh()≥0.

3.

´Etudiez les variations de la fonctionsurR.

Indication :pour d´eterminer les variations de, on pourra d´eriver deux fois cette fonction. 3

4.D´emontrez que :

1-

5.En d´eduire que :

?≥2ln?+ 1

6.D´eterminez alors la limite delorsquetend vers +∞.

Fin du sujet

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