Courbes paramétrées
La tangente en un point régulier est dirigée par le vecteur dérivé en ce point. Page 10. COURBES PARAMÉTRÉES. 2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE. 10.
Cours 1 : Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support vu comme un graphe
Chapitre 6 Courbes paramétrées
téristiques déterminés au cours de l'étude : on trace les asymptotes on Une courbe paramétrée est une courbe dont l'abscisse et l'or-.
F411 - Courbes Paramétrées Polaires
Définition d'une courbe paramétrée. Domaine de définition. Courbes à paramétrage périodique. Réduction du domaine d'étude. Exemple. Variation de x et y.
COURBES PARAMÉTRÉES
x = x(t) y = y(t) t ? I. COURS DE MATHÉMATIQUES. EN TERMINALE C ET D. Page 3. Étude d'une courbe paramétrée. 3. NB : si l'on veut que cette définition ait un
Chapitre10 : Courbes paramétrées (planes)
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Chapitre 2 — Courbes paramétrées 1 Introduction
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Cours 1.´Etude des Courbes Planes Paramétrées
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Programme du cours
trouver une paramétrisation locale pour toute courbe réguli`ere. 1.1 Courbes paramétrées. Définition. Une courbe paramétrée (ou chemin) de classe Ck (avec k
Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours
Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours A - Restreindre l'intervalle d'étude d'une courbe paramétrée . . . . . . . . . 7.
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Cours 1 : Courbes paramétrées V Borrelli Régularité Giuseppe Peano Longueur et courbure Spirales dans la Nature Courbes du plan Toujours des
[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée est une courbe dont l'abscisse et l'or- donnée sont toutes les deux des fonctions d'un param`etre t i e il s'agit d'une
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On trace la courbe quand t décrit [0 ?] puis on complète par réflexion d'axe (Oy) puis par translations Etude des points singuliers Pour t ? [0 ?] x?(t)
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Une courbe paramétrée décrit une courbe géométrique unique alors qu'une courbe géométrique peut être paramétrée de plusieurs façons : 2 Page 3 MVA006
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Courbes paramétrées Jusqu'à présent les courbes qui ont été étudiées correspondaient à des fonctions définies sur IR ou une partie de IR et à valeurs dans
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Ainsi une courbe paramétrée est une application qui à un réel t appelé le paramètre associe un point du plan M"t# C`est aussi l`ensemble des positions
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Cours 1 :
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architectureCours 1 : Courbes paramétréesVincent Borrelli
Université de Lyon
Une famille de courbes régulières, Image : Jos LeysCours 1 :
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cinématiqueSpirales en
architectureRégularité Définition.-On appelleCOURBE PARAMÉTRÉEde classe C k;k0;toute application :ICk!R2ouR3;oùIest un intervalle deRou une réunion d"intervalles deux-à-deux disjoints. L"ensemble := (I)s"appelle leSUPPORTde SiIest un intervalleest connexe, siIest un segment, est compacte. Sauf mention explicite du contraire, dans ce coursIsera un intervalle deR. Les courbes paramétréesC0peuvent s"éloigner très fortement de ce que l"intuition suggère.Cours 1 :
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architectureRégularitéUne trajectoire brownienne
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cinématiqueSpirales en
architectureRégularitéUne courbe de Péano-Hilbert
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l"espaceInterprétation
cinématiqueSpirales en
architectureRégularitéLa courbe dite du " dragon de Lévy »
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l"espaceInterprétation
cinématiqueSpirales en
architectureRégularitéDans ce cours, on suppose que
estCkaveckau minimum plus grand ou égal à 1. En cas de doute, considérer quek= +1: Ne pas confondre la courbe paramétrée avec son support.Un exemple.-Les supports de
0:R!R2
t7!1t21+t2;2t1+t2 et1: ];[!R2
7!(cos;sin)
sont les mêmes : le cercle unité dont on a enlevé le point (1;0):Cours 1 :
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l"espaceInterprétation
cinématiqueSpirales en
architectureRégularitéDéfinition.-On dit que
1:J!R3est un
C k-REPARAMÉTRAGE(k1) de0:I!R3s"il existe un
C k-difféomorphisme':J!Itel que 1= 0':Rappelons qu"une application'est un
C k-difféomorphisme si elle est bijective et que'et'1sont toutes les deuxCk:Dans l"exemple précédent,
1est un reparamétrageC1
de0avec'() =tan2
Si1est unCk-reparamétrage de
0alors les deux
courbes paramétrées ont même support. La réciproque est fausse même pourk=0!Cours 1 :
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architectureRégularité 0" " 1I= [1;0][[0;1]'!I= [1;0][[0;1]
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l"espaceInterprétation
cinématiqueSpirales en
architectureRégularité On définit une relation d"équivalence entre les courbes paramétréesCkde la façon suivante : 0k 1()1est unCkreparamétrage de
0: Définition.-Une classe d"équivalence s"appelle uneCOURBE GÉOMÉTRIQUECk.
Exemple.-Soient
0:R!R2
t7!(t;t3)et1:R!R2
t7!(2t;8t3) On a 0=1'avec'(t) =t2
donc 1+1 0:Cours 1 :
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architectureRégularitéExemple.-Soient
0:R!R2
t7!(t;t3)et2:R!R2
t7!(t3;t9) On a 0=2 avec (t) =t13
:Or n"est un C k-difféomorphisme pour aucunk1;ainsi 8k2N; 26k0: Définition.-On appelleCOURBES GÉOMÉTRIQUES ORIENTÉESCkles classes d"équivalence pour la relation 0k 1() 1=
0'où'est unCkdifféomorphisme
tel que'0>0:Cours 1 :
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cinématiqueSpirales en
architectureRégularitéDéfinition.-Une courbe paramétrée
:I!R2ouR3est diteRÉGULIÈREent2Isi0(t)6=0:Dans ce cas, la droite
passant par (t)et de vecteur directeur0(t)est appelée la
TANGENTEde la courbe paramétrée
ent:Si de plus est injective, on parle de la tangente en (t): Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support, vu comme un graphe, peut admettre une tangente (au sens de la tangente d"un graphe).Exemple.-Soit
:R!R2donnée par (t) = (t3;t9):Puisque
0(0) =0;cette courbe paramétrée n"a pas de
tangente ent=0:Pourtant son support est le graphe de f(x) =x3qui lui admet une tangente horizontale enx=0:Cours 1 :
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spiralesCourbes de
l"espaceInterprétation
cinématiqueSpirales en
architectureRégularité Définition.-Une courbe géométrique est diteRÉGULIÈRE si l"un de ses représentants0:I!R2ouR3est régulier
en tous points.Cette définition est cohérente puisque si
1:J!R2ouR3
est un autre représentant alors 1= 0'et01='0:
00':Puisque'estCk-difféomorphisme,'06=0 et
01(t) =0()
0('(t)) =0:
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cinématiqueSpirales en
architectureRégularitéDéfinition.-Soit
:I!R3:Tout plan contenant la tangente s"appellePLAN TANGENT. Si de plusR3est muni d"un produit scalaire, alors le plan perpendiculaire à la tangente s"appellePLAN NORMALet toute droite perpendiculaire à la tangente s"appelle uneDROITENORMALE.
Définition.-Soit
:I!R3:Un pointt2Ipour lequel0(t)et
00(t)sont linéairement indépendants est dit
BIRÉGULIER. En un tel pointt, on appellePLAN
OSCULATEURle plan
(t) +Vect( 0(t);00(t)):Si
est injective, on parle de plan osculateur au point (t):Cours 1 :
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architectureRégularitéPlan normal
Plan osculateur
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cinématiqueSpirales en
architectureRégularité Soit :I!R2ouR3une courbe paramétrée de classe C1ett02I:On notep1 le plus petit entier tel que
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