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Courbes paramétrées

Plan du chapitre

I -Quelques généralités....................................................................................page 2

1)Arcs paramétrés ..........................................................................................page 2

2)Tangente en un point régulier .............................................................................page 2

2-a)Arcs de classeC1................................................................................... page 2

2-b)Vecteur dérivé en un point. Points réguliers ......................................................... page 3

2-c)Tangente en un point régulier ....................................................................... page 3

2-d)Normale en un point régulier un arc plan ............................................................ page 4II -Exemples d"études.....................................................................................page 6

c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr

La géométrie a pratiquement disparu des programmes de classes préparatoires scientifiques. Le programme officiel ne

prévoit que très peu de choses sur le sujet des " courbes paramétrées ».

I - Quelques généralités

1) Arcs paramétrés

Définition 1.SoitEunR-espace vectoriel de dimension finien?N?. Unarc paramétrédeEest une application d"une partieDdeRà valeurs dansEdu typeγ:D→E t?→γ(t). QuandEest un plan, on dit que l"arc est unarc plan. LesupportΓde l"arcγest l"ensemble des pointsγ(t),t?D.

On a une interprétation cinématique de la notion d"arc paramétré. Sitest le temps qui passe,γ(t)s"interprète comme

unpoint en mouvement.γ(t)est la position du pointγà l"instantt. Le support de l"arct?→γ(t)s"appelle plutôt la

trajectoiredu pointγ.

La letteγest utilisée en référence au nomΓdonné au support. On peut aussi utiliser la lettreMqui est plus classique

pour désigner un point :D→E t?→M(t).

Par exemple, l"applicationγ:R→R2

t?→(cost,sint)est un arc paramétré deR2. Son support est le cercle de centre

(0,0)et de rayon1(si on a muniR2de sa structure euclidienne canonique). La version complexe de cet arc est l"application

γ:R→C

t?→eit.

On note que la seule donnée du support ne suffit pas à comprendrel"arc paramétré. Par exemple, le seul dessin

1 -11-1

ne permet pas de comprendre que le pointγ(t)a parcouru ce cercle une infinité de fois à vitesse constante.L"arc

1:R→R2

t?→?cos?t2?,sin?t2??est un autre arc ayant le même support. Le cercle de centre(0,0)et de rayon1

est parcouru de plus en plus vite quandtcroît à partir de1.

2) Tangente et normale en un point régulier

a) Arcs de classeC1 Définition 2.SoitIun intervalle deR. Quand l"applicationγ:I→E t?→γ(t)est de classeC1surD, on dit que l"arc paramétréγest de classeC1surD. On sait d"après le chapitre précédent que c ?Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr Théorème 1.SoitB= (e1,...,en)une base deE. Si pour touttdeI, on pose

γ(t) =x1(t)e1+...+xn(t)en,

où lesxk,k??1,n?, sont des applications deIdansR, alorsγest de classeC1surIsi et seulement si pour tout

k??1,n?,xkest de classeC1surIet dans ce cas, pour touttdeI, ?(t) =x?1(t)e1+...+x?n(t)en, b) Vecteur dérivé en un point. Points réguliers

Levecteur dérivéent0?Ide l"arcI→E

t?→M(t), de classeC1surI, se note-----→dM dt(t0)ou--→dMdt(t0)(auquel cas la notation --→dM dtdésigne une fonction deIdansE) ou plus simplementdMdt(t0). Par définition, --→dM dt(t0) =limt→t01t-t0(M(t) -M(t0)) =limt→t01t-t0--------→M(t0)M(t).

Définition 3.Un pointM(t0)d"un arcI→E

t?→M(t), de classeC1surIest ditrégulier(resp.singulier) si et seulement si --→dM dt(t0)?=-→0(resp.--→dMdt(t0) =-→0).

L"arcI→E

t?→M(t)est ditréguliersi et seulement si tous ses points sont réguliers.

Dans le cas où le paramètretest le temps (interprétation cinématique), le vecteur dérivé enM(t0)est levecteur vitesse

instantanée: -→V(t0) =--→dM dt(t0).

Dans ce cas, si

-→V(t0) =-→0, on dit plutôt que le pointM(t0)est un point stationnaire. c) Tangente en un point régulier

On se place maintenant dans la situation fréquente où l"applicationt?→M(t)est injective sur un voisinage det0. Ceci a

pour conséquence le fait que, pourtau voisinage det0et distinct det0, on aM(t)?=M(t0).

On dit que l"arcI→E

t?→M(t)admet une tangente enM(t0)si et seulement si la droite(M(t0)M(t))(qui est définie

pourtau voisinage det0et distinct det0) admet une position limite quandttend verst0. Ceci est assuré si la droite

(M(t0)M(t))admet un vecteur directeur--→u(t)qui a une limitenon nullequandttend verst0en restent distinct det0.

Pourtau voisinage det0et distinct det0, le vecteur-→u(t) =1 t-t0--------→M(t0)M(t)est un vecteur directeur de la droite

(M(t0)M(t)). Si l"arct?→M(t)est de classeC1au voisinage det0, le vecteur-→u(t)tend vers--→dM

dt(t0). Si ce vecteur

n"est pas nul, on en déduit que, la fonctiont?→M(t)est injective sur un voisinage det0, que l"arc admet une tangente

enM(t0)et que cette tangente est dirigée par le vecteur(M(t0)M(t)). Donc,

Théorème 2.SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie non nulle.Soitt?→M(t)un arc de classeC1sur un

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