[PDF] [PDF] Chapitre 3 COURBES PARAMETREES PLANES ET APPLICATIONS

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Chapitre 3

COURBES PARAMETREES PLANES

ET APPLICATIONS

Une courbe est dé...nie

!explicitement par des équations de la formey=f(x)oux=g(y) !par une équation impliciteF(x;y) = 0. !par un paramétrage: f:t2I!(x;y) = (x(t);y(t)) =f(t);(avecIR)

Exemples:

1)x= 3t,y=t22,t2R, c"est une parabole.

2)x= 2cos,y= 2sin,02, c"est le cercle centré en 0 et de rayon 2.

Dans toute la suite:

!on se place dansP, le plan muni d"un repère orthonormé(O;!i ;!j):

!ce plan est alors identi...é àR2, l"ensemble des couples de réels formé des coordonnées cartésiennes.

!pour toutM2P;on pose!OM=x!i+y!jet on noteM= (x;y):

1 Fonctions vectorielles à variable réelle.

Iest un intervalle ou une réunion d"intervalles deR:

Dé...nition:

Une courbe paramétrée plane est une application f:IR!R2 t!f(t) = (x(t);y(t)):

Ainsi une courbe paramétrée est une application qui à un réelt, appelé, le paramètre, associe un point du

planM(t).

C"est aussi l"ensemble des positions prises par un pointM2P, dont les coordonnées sont des fonctions

d"un paramètret:

M(t) = (x(t);y(t)).

Remarque:

Si ce paramètretest le temps, il s"agit alors de la trajectoire du pointM. On pose =fM= (x;y)2P;x=x(t)ety=y(t)oùtdécritIg. La courbeest paramétrée par la fonction vectorielle à variable réelle: f:t2I!f(t) = (x(t);y(t)); les deux fonctionsxetysont à valeurs réelles et dé...nies surI.

On a alors

f(I) = pour toutt2I;et toutM2,!OM(t) =x(t)!i+y(t)!j On dit alors queest décrite par les équations : x=x(t),y=y(t)pourt2I.

Exemples:

1) La droite:

Si la représentation d"une courbe, dans un repère orthonormé(O;!i ;!j)est 8< :x(t) =t+a y(t) =t+b t2IR alorsest la partie de la droite de vecteur directeur(;)passant par le pointA(a;b);correspondant aux valeurs prises parxetyquandtdécritI:

SiI=R;alorsest unedroited"équation.y=cx+d:

2) Le cercle:

1 Si la représentation d"une courbe, dans un repère orthonormé(O;!i ;!j)est 8< :x(t) =rcos(t) y(t) =rsin(t) t2IR alorsest la partie du cercle de centreOet de rayonr:correspondant aux valeurs prises parxetyquand tdécritI: Si !SiI= [0;2];alorsest le cercle de centreOet de rayonr:

!SiI= [0;]; tdécrit[0;],xdécrit[r;r]etydécrit[0;r]i.e.est le demi-cercle "positif" de centre

Oet de rayonr:

Remarque:

1) Dans les exemples 1) et 2) ci-dessus, on a pu éliminer le paramètretentrexety, et obtenir une relation

entexety:

F(x;y) = 0.

Ce n"est pas toujours le cas:

Pour déterminer la courbe paramétrée, dont la représentation, dans un repère orthonormé(O;!i ;!j)est

donnée parx(t) =t2+1t+1y(t) =t+1t

21pourt2]1;1[[]1;1[[]1;+1[

une étude est nécessaire.

2) Si la courbeest paramétrée parf(t);t2Iet si':I!Jest une bijection continue, alorsest aussi

paramétrée parf'(s);s2J.

3) SiFest une fonction continue deI!R, alors son graphe est la courbe paramétrée parf:t!(t;F(t))

avect2I:

2 Limite, Dérivée, vecteur vitesse et tangente

Dé...nition

Soit une courbe paramétréef:t2I!f(t) = (x(t);y(t))ett02I, alors:

1)limt!t0f(t) = (;)si et seulement silimt!t0x(t) =etlimt!t0y(t) =

2) La courbe est continue ent0si et seulement si les fonctionsx(t)ety(t)sont continues ent0:

2) La courbe est dérivable ent02Isi et seulement si les fonctionsx(t)ety(t)sont dérivables ent0. Dans

ce cas le vecteur dérivé de la courbe ent0est le vecteurf0(t0) = (x0(t0);y0(t0)):

Remarque:

Si le paramètretest le temps, alorsx(t)ety(t))sont les coordonnées d"un point mobileM(t). Sit6=t0, la vitesse moyenne du mobile entre les instantstett0est donnée par le vecteur

1tt0!M(t)M(t0)

qui a pour coordonnées x(t)x(t0)tt0;y(t)y(t0)tt0) dans la base(!i ;!j)

Dé...nition:

Le vecteur!v(t0) = (x0(t0);y0(t0)) =f0(t0)est appelé aussile vecteur vitessedeM(t)à l"instantt=t0.

2.1 Tangente en un point régulier

SoitM(t0) = (x(t0);y(t0))avecto2Iet tel quexetysoient dérivables au pointto.

Dé...nition:Le pointM(t0)est ditréguliersi

f

0(to) = (x0(to);y0(to))6= (0;0)

Lorsque!v(t0)6=!0, la droite passant par le pointM(t0), de vecteur directeur!v(t0)et paramétrée par:xT(s) =x(t0) + (st0)x0(t0)

y

T(s) =y(t0) + (st0)y0(t0)

est appeléela tangente àla courbe paramétrée, au pointM(t0), à l"instantt0. Une équation cartésienne de la tangente à, à l"instantt0:(Xx(t0))y0(t0)(Yy(t0)x0(t0) = 0 2 (les inconnues sontXetY). Cette droite passe parM(t0)et elle est parallèle à!v(t0):

2.2 Tangente en un point stationnaire

SoitM(t0) = (x(t0);y(t0))avecto2Iet tel quexetysoient dérivables au pointto.

Dé...nition:Le pointM(to)est ditstationnairesi

f

0(to) = (x0(to);y0(to)) = (0;0)

Si!v(t0) =!0, on considère

p=le plus petit entier tel que: (x(p)(t0);y(p)(t0))6=!0, alors lorsquet!t0,1(tt0)p!M(t)M(t0)admet pour limite: f (p)(t0) = (x(p)(t0);y(p)(t0))

On dit aussi que la courbe admet pour tangente, au pointM(t0), la droite d"équation:(Xx(t0))y(p)(t0)(Yy(t0)x(p)(t0) = 0qui passe parM(t0)et qui est parallèle àf(p)(t0):

La pente de la tangente à, est donnée par:

(to) =y(p)(to)x (p)(to)

2.3 Etude locale

2.3.1 Points multiples:

On dit qu"un pointAde la courbe paramétréeest double s"il existet1ett22Idistincts tels que:M(t1) =

M(t2) =A.

x(t1) =x(t2) y(t1) =y(t2)pourt1;t22I,t1< t2:

De même on dé...nitla multiplicité d"un pointA, de la courbe paramétrée: c"est le nombre de réels

t2I, pour lesquelsA=M(t).

Exemple: La courbe paramétréex(t) = 2t+t2

y(t) = 2t1t

2pourt2R;

a un point double de coordonnées(1;5)

Exemple: point simple, double et triple:

2.3.2 Point bi-régulier

Dé...nition:

Sit!x(t)ett!y(t)admettent des dérivées secondes ento, on dit queM(t0)est ditbi-réguliersi ff0(t0);f00(t0)gsont linéairement indépendants. c"est direx0(t0)x00(t0) y

0(t0)y00(t0)

6= 0,x0(to)y"(to)x"(to)y0(to)6= 0Dans ce cas:

f(t)f(t0) = (tt0)f0(t0) +(tt0)22! f00(t0) + (tt0)2"(tt0)

Dans ce cas,M(t0)est point d"allure ordinaire:

2.3.3 Position de la courbe par rapport à sa tangenteM(t0):

On suppose quet!x(t)ett!y(t)admettent des dérivées d"ordren, ento. (nq;p)

Soitple plus petit entier tel que:

(x(p)(t0);y(p)(t0))6=!0, Soitqle plus petit entier supérieur àptel que: ff(p)(t0);f(q)(t0)gforment une base deR2:x(p)(t0)x(q)(t0) y (p)(t0)y(q)(t0) 6= 0 3 La formule de Taylor-Young, d"ordreq, autour det0: x(t) =x(t0) +(tt0)pp!x(p)(t0) +::::+(tt0)qq!x(q)(t0) + (tt0)q"1(tt0) y(t) =y(t0) +(tt0)pp!y(p)(t0) +::::+(tt0)qq!y(q)(t0) + (tt0)q"2(tt0) avec"1(tt0)!0et"2(tt0)!0lorsquet!t0:

Donc pourp+ 1nq1,9ntel quef(n)(t0) =nf(p)(t0),

f(t)f(t0) = (tt0)qq!f(q)(t0) + (tt0)q"(tt0) f(t)f(t0) =X1(t)f(p)(t0) +Y1(t)f(q)(t0) + (tt0)q"(tt0) avec "(tt0)!(0;0), lorsquet!t0,x

1(t) = [1p!+p+1(tt0)(p+1)!+::+q1(tt0)qp1(q1)!](tt0)pety

1(t) =(tt0)qq!Donc(x1(t);y1(t))'les coordonnées def(t)f(t0)dans la base {f(p)(t0),f(q)(t0)}, lorsquet!t0:

1er cas:pimpair etqpair,alorsM(t0)2est ditordinaire:

2ème cas:pimpair etqimpair,

alorsM(t0)est ditpoint d"in‡exion. Au voisinage du pointM(t0), la courbe a une allure de la forme suivante:11 11 xy3ème cas:ppair etqimpair, alorsM(t0)est un point de rebroussementde première espèce. Au voisinage du pointM(t0), la courbe est de la forme:0.51.0 101
xy4èmecas:ppair etqpair M(t0)est un point derebroussement de seconde espèce:

2.4 Branches in...nies:

On peut avoir des branches in...nies lorsque

t!+1,t! 1; t!toout!t+osit0est une borne du domaine de dé...nition de la courbe paramétrée =f(I)

Dé...nition:

On dit que la courbe paramétréeadmet une branche in...nie pourt!tosi 4 lim t!to !OM(t) = +1; avec !OM(t) =px(t)2+y(t)2et!OM(t) =x(t)!i+y(t)!j

Proposition:

présente une branche in...nie pourt!tosi et seulement si lim t!to(jx(t)j+jy(t)j) = +1:

Démonstration:

On a :jx(t)j2+jy(t)j2(jx(t)j+jy(t)j)2

!OM(t) jx(t)j+jy(t)j

D"autre part on ajx(t)j qjx(t))j2+jy(t)j2et

jy(t)j qjx(t)j2+jy(t)j2 =) jx(t)j+jy(t)j 2 !OM(t)

Propriétés ::

1) Silimt!t0x(t) =l2Retlimt!t0y(t) =1alorsx=lest une asymptote verticale àau voisiange det0:

2) Silimt!t0x(t) =1etlimt!t0y(t) =l2Ralors

y=lest une asymptote horizontale àau voisiange det0:

1) Silimt!t0x(t) =1etlimt!t0y(t) =1;on pose= limt!t0x(t)y(t),

i) si=1;on a une branche parabolique de direction(O;!j): vois(t0) ii) si= 0;on a une branche parabolique de direction(O;!i): iii) si2R, on pose= limt!t0(y(t)x(t)), alors !soitn"existe pas , on a une branche in...nie de directiony=x !soit=1, on a une branche parabolique de directiony=x !soit2R, on ay=x+est une asymptote à la courbe

Exemples :

1) Soitx= 2t+t2

y= 2t1t 2 Quandt!+1;on ax(t)ety(t)!+1 )on a une branche in...nie. Comme y(t)x(t)=2t1t

22t+t2=2t31t

4+2t3!t!+10, on a une branche parabolique de direction(O;!i)::

2) Soitla courbe paramétrée:x=t2+2t

y=t+1t sit!0+;on ax(t)ety(t)!t!0++1 )a une branche in...nie auvois(0+)

De plus,

y(t)x(t)=t+1t t 2+2t =t2+1t

3+2!t!0+12

)y= 2xest une direction asymptotique auvois(0+):

Commey(t)12

x(t) =t12 t2!t!0+0+, la droitey=12 xest une asymptote à la courbe; vois(0+), et la courbe est au dessus se son asymptote.

3 Réduction du domaine d"étude

a) Périodicité

Dé...nition: On dit que la courbe paramétrée est périodique, et de périodeT, si et seulement si:

(i)8t2I; t+T2I (ii)8t2I,M(t+T) =M(t): ce qui est équivalent à x(t)ety(t)sont périodiques surI, et de périodeT.

Exemple:

5 Le cercleC(M(t0);r)peut être paramétrée par: 8< :x(t) =rcos(t) +xo y(t) =rsin(t) +yo t2R

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période2, il en est de même de la courbe.

L"étude d"une courbe paramétrée, périodique de périodeT, se fait dans un intervalle de longueurT, par

exemple[to;to+T]\I, pour un point quelconqueto2I. b) Invariance par translation: La courbeest invariante par la translation si et seulement si=() = .

SoientM2et!vle vecteur de la translation .

La condition=() = s"exprime de la façon suivante :

8M2;=(M)2et8M2;9M22 :=(M2) =M,

8t2I;8t12I:!M(t)M(t1) =v et9t22I!M(t2)M(t) =!v

c) Symétries :

Symétrie centrale:

SoitSla symétrie par rapport à un pointA(a;b); est invariante par la symétrieSsi et seulement siS() = . Comme on aS2=Id, il su¢ t de véri...er queS(). Soit(a;b)les coordonnées du centre de la symétrieS, la condition s"écrit :

8t2I;9t12I x(t1) = 2ax(t)ety(t1) = 2by(t)

Remarque: Sixetysont impaires, alorsestsymétrique par rapport à l"origine. Exemple: Trouver le centre de symétrie de la courbed"équations 8< :x(t) =t33t2+ 2t y(t) = 2t36t+ 13t+ 11 t2R Symétrie par rapport à une droite parallèle à un des axes: est invariante par rapport à la symétrie d"axex=asi et seulement si:

8t2I;9t12I:x(t1) = 2ax(t)ety(t1) =y(t)

est invariante par rapport à la symétrie d"axey=bsi et seulement si

8t2I;9t12I:x(t1) =x(t)ety(t1) = 2by(t)

4 Construction de courbes paramétrées planes

4.1 Plan pour l"étude d"une courbe plane paramétrée par une fonctionf:I!R2

1) Détermination du domaine de dé...nition def;puis recherche d"éventuelles symétries (parité, périodicité,

etc...)

2) Etude des fonctionsx(t)ety(t)

3) Etude des branches in...nies, recherche des courbes asymptotes.

4) construction du tableau de variations dex(t)ety(t)

5) recherche des points particuliers: stationnaires, multiples, d"in‡exion et de rebroussement.

6) Tracé de la courbe dans un repère orthonormé, après avoir cherché les positions des branches de la courbe

par rapport aux asymptotes, intersection avec les axes de coordonnées, avec les asymptotes. 6

4.2 Applications

4.2.1 Exemple 1

Soitla courbe paramétrée dé...nie par :

8>< :x(t) =(t+ 2)2t+ 1 y(t) =(t2)2t1 (i)Domaine de dé...nition:I= ]1;1[[]1;1[[] 1;+1[ (ii)Domaine d"étude: Pour toutt2I;(t)2Iet(x(t);y(t)) = (y(t);x(t)) =(y(t);x(t)) )la courbe est symétrique par rapport à la2emediagonaley=x: Donc l"étude se ramène àIE= [0;1[[] 1;+1[. (iii)Etude aux bornes (x(0);y(0)) = (4;4) t!1; t= 1 +" x(1 +") =92 +34
y(1 +") =2 +"+1" 1)t!1 x(t)!92 ;y(t)! 1

2)t!1+; x(t)!9+2

;y(t)!+1 x=92

3)t!+1

x(t) =t+ 3 +1t + 01t !+1 y(t) =t3 +1t + 01t !+1 Au voisinage de+1;il y a une asymptote oblique:x=t+ 3;y=t3)y=x6: au voisinage de+1:y(t)(x6)>0)la courbe est au-dessus de l"asymptote. (iv)Tableau des variations : x0(t) =t(t+ 2)(t+ 1)2; y0(t) =t(t2)(t1)2 t0 1 2 +1x

0(t)0 + + +

x(t)4%9=2%C%+1 y(t)4&1jj+1&0%+1 y

0(t)0 jj 0 +

(v)Point remarquable !Au voisinage det= 0, on a!OM(t) = (4!i4!j) + (!i!j)t2+ (!i!j)t3+ 0(t3) f(t) =4 4 +t21 1 +t31 1 +(t3) (t3)

Doncp= 2pair,q= 3impair)M(0)est un point

de rebroussement de1ereespèce.

La tangente est la2emediagonale.

!Pourt= 2,f(2) = (163 ;0)f0(2) = (89 ;0)et l"équation de la tangente enM(2)est :y= 0 (vi) tracé de 7

86422468

86422468

xy4.2.2 Exemple 2: x(t) y(t) t2t1 t3t1!

4.2.3 Exemple 3

Nature du pointM(0)de la courbe paramétrée:f(t) =x(t) y(t) =t2 t 3 x0(t) y 0(t) =2t 3t2 =)f0(0) =0 0 x00(t) y 00(t) =2 6t =)f00(0) =2 0 =)p= 2 x000(t) y

000(t)

=0 6 =)f000(0) =0 6 =)q= 3 =)p= 2etq= 3c"est un point de rebroussement de 1ère espèce.

De plus la tangente horizontale

8

102030

2001000100200

xy5 Construction de courbes planes en coordonnées polaires

SoitM= (x;y)2P

Dé...nition

On appelle système de coordonnées polaires tout couple(r;)de nombres réels tel que (x;y) = (rcos;rsin)

Remarques:

1)jrj=distance deMàO.

= angle formé parOxet la droite qui passe parOetM.

2) Tout élément deR2possède une in...nité de systèmes de coordonnées polaires.

3) Dans le cas oùu:R!R2

!u() = (cos;sin) uest C1et on aquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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