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Chapitre 1

COURBES PARAMÉTRÉES

1.1 Rappels

1.1.1 Fonction paire

Soitfune fonction définie surEf, on désigne par(C)sa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthonormé(O;-→i ,-→j). fest une fonction paire si?x?Ef,-x?Ef;f(-x) =f(x). La courbe(C)d"une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées.

Exemple

f:R-→R x?-→x2

1.1.2 Fonction impaire

Soitfune fonction définie surEf, on désigne par(C)sa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthonormé(O;-→i ,-→j). fest une fonction impaire si?x?Ef,-x?Ef;f(-x) =-f(x). La courbe(C)d"une fonction impaire est symétrique par rapport à origine du repère.

Exemple

f:R-→R x?-→x3COURS DE MATHÉMATIQUES

EN TERMINALE C ET D

Courbes paramétrés21.1.3 Fonction périodique

Soitfune fonction définie surEf.

fest périodique de périodeT?R?+si?x?Ef,x+T?Ef;f(x+T) =f(x).

1.2 Introduction

On considère le plan rapporté un repère(O;-→i ,-→j). Un pointMse déplace dans le plan. A chaquetappartenant à un intervalle de tempsI, la position du pointMest donnée par les coordonnées(x(t),y(t)).

Mdécrit une courbe(C)appelée trajectoire.

Le système?

??x=x(t) y=y(t)est une représentation paramétrique des coordonnées deM.

Exemple

SoitM(x,y)un point du segment[AB], avecA(2,-1)etB(-1,3). Mest un point du segment[AB]si et seulement si--→AM=k--→AB, les pointsA,BetM sont alignés.

On a :

--→AM=k--→AB?? ??x-2 =k(-1-2) y+1 =k(3+1)=?? ??x=-3k+2 y= 4k-1aveck?[0,1] Ce système est une représentation paramétrique du segment[AB].

1.3 Courbes paramétrés

1.3.1 Définition d"une courbe paramétrée

Soit un repère(O;-→i ,-→j)du plan etI?Run intervalle. On appelle courbe paramétrée(C), l"ensemble des pointsM(t)de représentation paramétrique? ??x=f(t) y=g(t)t?I oùfetgsont deux fonctions de la variablest, définies surIà valeurs réelles. Ces équations sont appelées équations paramétriques de(C).

On note aussi?

??x=x(t) y=y(t)t?ICOURS DE MATHÉMATIQUES

EN TERMINALE C ET D

Étude d"une courbe paramétrée.3NB:si l"on veut que cette définition ait un sens, il faut quex(t)ety(t)existent

simultanément.

Exemples

?L"applicationt?-→(cost,sint)paramètre le cercle trigonométrique. ?L"applicationt?-→(at+b,ct+d)paramètre une droite si(a,c),(0,0). ?L"applicationt?-→(x,f(x))paramètre le graphe de la fonctionf.

Remarques

?Une courbe peut admettre plusieurs représentations paramétriques. ?On peut parfois, en éliminant le paramètretentre les deux équations, obtientycomme fonction dexet ramener l"étude de la courbe à celle d"une courbe définie par une relation y=h(x).

1.3.2 Définition de la fonction vectorielle

On appelle fonction vectorielleFassociée à(C), la fonction définie par :

F:I-→R2

t?-→F(t) =--→OM(t) =f(t)-→i+g(t)-→j

1.4 Étude d"une courbe paramétrée.

L"étude d"une courbe paramétrée comprend éventuellement les étapes suivantes : ?Domaine de définition; ?Tableau de variation; ?Points remarquables; ?Étude des branches infinies;?Représentation graphique.

1.4.1 Domaine de définition

Le domaine de définitionDde la courbe(C)est l"intersection des domaines de défini- tionDxetDydes fonctionsx(t)ety(t). On a doncD=Dx∩Dy. On s"efforcera ensuite,

si possible, de réduire le domaine d"étude de la courbe, de plusieurs manières.COURS DE MATHÉMATIQUES

EN TERMINALE C ET D

Étude d"une courbe paramétrée.4a) Par périodicité

SoitT?R?+,?

??x(t+T) =x(t) y(t+T) =y(t) alorsFest périodique deTc"est-à-dire que les fonctionsx(t)ety(t)sont périodiques de périodeT.

Remarque

?SoitT1?R?+etT2?R?+, si? ??x(t+T1) =x(t) y(t+T2) =y(t) alors on cherche la période communeT=PPCM(T1,T2). ?Dans la pratique, siFest périodique de périodeT, l"étude de la courbe se fait dans un intervalle de longueurT. Par exemple[t0, t0+T]avect0?D. b) Par la parité des fonctions x(t) et y(t) Si les fonctionsx(t)ety(t)sont paires ou impaires, on pourra réduire le domaine

d"étude àt≥0, puis compléter le tracé de la courbe par une ou plusieurs symétries.

Remarque

On peut, bien entendu, généraliser cet énoncé au cas où le domaine de définition est

symétrique par rapport à un réelα, et où les fonctionst?-→x(t+α),t?-→y(t+α)ont

des propriétés de parité. c) Éléments de symétries

SoitM(t):?

??x(t) y(t);M(-t):? ??x(-t) y(-t);M(π-t):? ??x(π-t) y(π-t);M(π+t):? ??x(π+t) y(π+t) des points de la courbe(C). ?Si? ??x(-t) =x(t) y(-t) =-y(t)ou? ??x(π-t) =x(t) y(π-t) =-y(t)ou encore? ??x(π+t) =x(t) y(π+t) =-y(t), alors les pointsM(-t),M(π-t)etM(π+t)sont les symétriques deM(t)par rapport à l"axe des abscisses(Ox):S(Ox). ?Si? ??x(-t) =-x(t) y(-t) =y(t)ou? ??x(π-t) =-x(t) y(π-t) =y(t)ou encore? ??x(π+t) =-x(t) y(π+t) =y(t),COURS DE MATHÉMATIQUES

EN TERMINALE C ET D

Étude d"une courbe paramétrée.5alors les pointsM(-t),M(π-t)etM(π+t)sont les symétriques deM(t)par rapport à

l"axe des ordonnées(Oy):S(Oy). ?Si? ??x(-t) =-x(t) y(-t) =-y(t)ou? ??x(π-t) =-x(t) y(π-t) =-y(t)ou encore? ??x(π+t) =-x(t) y(π+t) =-y(t), alors les pointsM(-t),M(π-t)etM(π+t)sont les symétriques deM(t)par rapport à l"origine du repèreO:S(O). ?Si? ??x(-t) =x(t) y(-t) =y(t) alorsM(-t)etM(t)sont confondus. ?Si? ??x(-t) =y(t) y(-t) =x(t) alorsM(-t)etM(t)sont symétriques par rapport à la première bissectrice :(D) :y=x. ?Si? ??x(-t) =-y(t) y(-t) =x(t) alorsM(-t)etM(t)sont symétriques par rapport à la seconde bissectrice :(D?) :y=-x.

1.4.2 Tableau de variation

On étudie les variations dexetylorsquetdécritEC. Les résultats sont rassembles dans un tableau de variations commun.tsi possibles les valeurs detx ?(t)signe de la dérivée x(t)sens de variation y ?(t)signe de la dérivée y(t)sens de variation On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs de y?(t)x ?(t) pour les valeurs detfigurant déjà dans ce tableau.

1.4.3 Tangente à une courbe paramétrée

Propriété

Soit(C)une courbe paramétrée définie par :--→OM(t) =f(t)-→i+g(t)-→j,t?Ioùf

etgsont deux fonctions dérivables ent0. On a au pointM(f(t0),g(t0))une tangente

colinéaire au vecteurF?(t0) =f?(t0)-→i+g?(t0)-→js"il n"est pas nul.COURS DE MATHÉMATIQUES

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Étude d"une courbe paramétrée.6Dans les autres cas, on a : ?Si? ??x ?(t0) = 0 y ?(t0),0, alors(C)admet au pointM(t0)une tangente verticale. ?Si? ??x ?(t0),0 y ?(t0) = 0, alors(C)admet au pointM(t0)une tangente horizontale. ?Si? ??x ?(t0) =a,0 y ?(t0) =b,0, alors(C)admet au pointM(t0)une tangente oblique. ?Si? ??x ?(t0) = 0 y ?(t0) = 0et silimt-→t0y ?(t)x ?(t)= 0 alors(C)admet au pointM(t0)une tangente horizontale. ?Si? ??x ?(t0) = 0 y ?(t0) = 0et silimt-→t0y ?(t)x ?(t)=∞ alors(C)admet au pointM(t0)une tangente verticale. ?Si? ??x ?(t0) = 0 y ?(t0) = 0et silimt-→t0y ?(t)x ?(t)=a,0 alors(C)admet une asymptote oblique d"équationy=ax+b.

1.4.4 Étude des branches infinies

Soitt0?EC, c"est-à-diret0?Exett0?Ey

?Silimt-→t0(x(t);y(t)) = (α;∞)oùα?R, alors la droite d"équationx=αest asymptote

verticale(C).

?Silimt-→t0(x(t);y(t)) = (∞;β)oùα?R, alors la droite d"équationy=βest asymptote

horizontale(C). ?Silimt-→t0y(t)x(t)= (∞,∞), on étudielimt-→t0y(t)x(t). •limt-→t0y(t)x(t)=∞, alors(C)admet une branche parabolique de direction(Oy). •limt-→t0y(t)x(t)= 0, alors(C)admet une branche parabolique de direction(Ox). •limt-→t0y(t)x(t)=aoùa?R?, on examine la limite alors(C):limt-→t0[y(t)-ax(t)] ?Silimt-→t0[y(t)-ax(t)] = 0, alors(C)admet une une asymptote oblique d"équation y=ax.

?Silimt-→t0[y(t)-ax(t)] =boùb?R?, alors(C)admet une une asymptote obliqueCOURS DE MATHÉMATIQUES

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Étude d"une courbe paramétrée.7d"équationy=ax+b.

1.4.5 Représentation graphique

a) Intersection avec les axes du repère ?Si(C)∩(Ox), on ay(t) = 0 ?Si(C)∩(Oy), on ax(t) = 0 b) Comment tracer la courbe ?Tracer d"abord les asymptotes et les points connus. ?Tracer ensuite la courbe en lisant le tableau de gauche à droite. regarder comment évoluent les coordonnées des points en fonction det. ?Noter sur le dessin les valeurs detaux endroits remarquables.

Exercice 1

Dans le planPrapporté au repère orthonormé, on considère la courbe(C)dont une représentation paramétrique est :? ??x(t) =-1+2cos(t) y(t) = sin(t)t?R

1. Définir la fonction vectorielleFassociée à(C).

2. Montrer queFest périodique de périodeT= 2π.

3. a) Par quelle transformation ponctuelle le pointM(-t)se déduit-il deM(t)?

b) En déduire queFpeut être étudiée sur l"intervalle[0;π].

4. Étudier les variations dex(t)ety(t)et dresser le tableau de variation deF.

5. Tracer la courbe(C).

Exercice 2

Dans le planPrapporté au repère orthonormé, on considère la courbe(C)dont une représentation paramétrique est :? ??x(t) = sin(2t) y(t) = sin(3t)t?R

1. Définir la fonction vectorielleFassociée à(C).

2. a) Montrer queFest périodique de périodeT= 2π.COURS DE MATHÉMATIQUES

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Étude d"une courbe paramétrée.8b) Par quelle isométrie le pointM(-t)se déduit-il deM(t)?

c) Par quelle isométrie le pointM(π-t)se déduit-il deM(t)? d) préciser le domaine d"étude deF.

3. Étudier les variations deF.

4. Construire la courbe(C)représentative de la fonctionF.

Exercice 3

Dans le plan rapporté au repère orthonormé, on considère la courbe(C),ensemble des pointsM(t)dont les coordonnées sont définies par :? ??x(t) =12 ln|t| y(t) =tln|t|t?R?

1. a) Par quelle isométrie le pointM(-t)se déduit-il deM(t)?

b) Par quelle isométrie le pointM(1t )se déduit-il deM(t)?

2. En déduit que l"intervalleR?peut etre réduit à]0;1].

3. Tracer(C).

Solution 1

1. Définissons la fonction vectorielleFassociée à(C).

On appelle fonction vectorielleFde la variable réelletassociée à(C), la fonction définie par :

F:I-→R2

t?-→F(t) =--→OM(t) =x(t)-→i+y(t)-→j . oùR2est un espace vectoriel.

2. Montrons queFest périodique de périodeT= 2π.????

??x(t+2π) =-1+2cos(t+2π) =-1+2cost y(t+2π) = sin(t+2π) = sint=?? ??x(t+2π) =x(t) y(t+2π) =y(t)

D"oùFest périodique de périodeT= 2π.

3. (a) Précisons la transformation ponctuelle ou le pointM(-t)se déduit deM(t).????

??x(-t) =-1+2cos(-t) =x(t) y(-t) = sin(-t) =y(t)=?M(-t)se déduit deM(t)par symétrie par rapport à l"axe des abscisses, c"est-à-dire(Ox).COURS DE MATHÉMATIQUES

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Étude d"une courbe paramétrée.9(b) Déduisons queFpeut être étudier sur[0;π] Fétant périodique de périodeT= 2π, alors elle peut être étudier sur[-π;π] et de plus l"axe des abscisses est un axe de symétrie de(C), alorsFpeut-être

étudiée sur[0;π].

4. Étudions les variations dex(t)ety(t)et dressons le tableau de variation deF.

?Pourx(t):

On a :x(t) =-1+2cost;[0;π]

•Calculonsx(0)etx(π) x(0) = 1etx(π) =-3 •Dérivée et signe x ?(t) =-2sint ?t??

0,π2

•Tableau de variation?Poury(t):

On a :y(t) = sint;[0;π]

•Calculonsy(0)ety(π) y(0) = 0ety(π) = 0 •Dérivée et signe y ?(t) = cost ?t??

0,π2

;y?(t)≥0et?t??π2 •Tableau de variationCOURS DE MATHÉMATIQUES

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Étude d"une courbe paramétrée.10•Dressons le tableau de variation deF5. Traçons(C) •Points d"intersection avec les axes

On a :A?

O;⎷3

2 •Tangente ?Ent= 0;? ??x ?(0) = 0 y ?(0) = 1; tangente verticale ?Ent=π2 ??x ?(π2 ) =-2 y ?(π2 ) = 0; tangente horizontale ?Ent=π;? ??x ?(π) = 0 y ?(π) =-1; tangente verticaleCOURS DE MATHÉMATIQUES

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