Chapitre10 : Courbes paramétrées (planes) PDF

Courbes paramétrées

La tangente en un point régulier est dirigée par le vecteur dérivé en ce point. Page 10. COURBES PARAMÉTRÉES. 2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE. 10.

Cours 1 : Courbes paramétrées

Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support vu comme un graphe

Chapitre 6 Courbes paramétrées

téristiques déterminés au cours de l'étude : on trace les asymptotes on Une courbe paramétrée est une courbe dont l'abscisse et l'or-.

F411 - Courbes Paramétrées Polaires

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COURBES PARAMÉTRÉES

x = x(t) y = y(t) t ? I. COURS DE MATHÉMATIQUES. EN TERMINALE C ET D. Page 3. Étude d'une courbe paramétrée. 3. NB : si l'on veut que cette définition ait un

Chapitre10 : Courbes paramétrées (planes)

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On trace la courbe quand t décrit [0 ?] puis on complète par réflexion d'axe (Oy) puis par translations Etude des points singuliers Pour t ? [0 ?] x?(t)

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Ainsi une courbe paramétrée est une application qui à un réel t appelé le paramètre associe un point du plan M"t# C`est aussi l`ensemble des positions

Chapitre10 : Courbes paramétrées (planes)

I R

P P R= (O,⃗i,⃗j)

γ:IÝÑP

tÞÝÑM(t)

APP ⃗FA:IÝÑP

tÞÝÑÝÝÝÝÑAM(t) ⃗FA A

B P

FB(t) =ÝÝÝÝÑBM(t) =ÝÝÑBA+ÝÝÝÝÑAM(t) =ÝÝÑBA+⃗FA(t)

⃗FB⃗FA ā ĕ

A Ck kě1 tPIk⃗FA

tk(t) ÝÝÝÑkM tk(t) tÞÝÑM(t) C k IR

γ:IÝÑP

tÞÝÑM(t) Ckkě1 M kě2ÝÝÝÑ2M

ĕt ⃗v(t) =⃗0

I M(t1) =M(t2) =A

t(t+ 1) t R x(t) =t2+tx1(t) = 2t+ 1 y(t) =t3+t2y1(t) = 3t2+ 2t t 2 3 ´1 2 0 x 1(t)

´´0 + +

x(t) H HHj

HHHj´1

4 0* y(t) 4 27
HHHj HHHj0 y 1(t) + 0´´0 +

γ:IÝÑP

tÞÝÑM(t) Ck kě1 γ M0=M(t0) tÞÑÝÝÝÝÝÑM0M(t) ''ÝÝÝÝÝÑM0M(t)''' t0 ⃗T(t0) M0

M0 ⃗T(t0)

ÝÝÝÝÝÑM0M(t)

'''ÝÝÝÝÝÑM0M(t)'''' 1 t0 }⃗T(t0)}= 1 t0 I Ę

M(t0) ðñ⃗v(t0)‰⃗0

M(t0) ðñ⃗v(t0) =⃗0

⃗v(t0)‰⃗0 M0=M(t0)⃗v0=⃗v(t0) F(t) =⃗F(t0) + (t´t0)⃗F1(t0) + (t´t0)⃗ε(t)ɍ tÑt0⃗ε(t) =⃗0 ÝÝÑOM(t) =ÝÝÑOM(t0) + (t´t0)⃗v(t0) + (t´t0)⃗ε(t) ÝÝÝÝÝÑM0M(t) = (t´t0)(⃗v0+⃗ε(t)) ⃗v0tÑt0

ÝÝÝÝÝÑM0M(t)

|t´t0|⃗v

0+⃗ε(t)

⃗v0+⃗ε(t)} t0 ⃗v0 ⃗v0} ´⃗v0 ⃗v0} ⃗T(t0) =⃗v0 ⃗v0}

M(t)ˇ

ˇˇˇˇˇx(t)

y(t), ⃗v(t)ˇ

ˇˇˇˇˇx

1(t) y 1(t)

M0=M(t0)

1(t0)(x´x0)´x1(t0)(y´y0) = 0,(x0=x(t0), y0=y(t0))

x1(t0) = 0 y1(t0) x 1(t0) ⃗v(t0) =⃗0 " iě2,γ CiÝÝÝÑiM ti(t0)‰⃗0* ‰ H

M0M(t) =(t´t0)p

p!(

ÝÝÝÑpM

tp(t0) +⃗ε(t)) tp(t0) γ C2 ⃗v(t0) =⃗0⃗a(t0)‰⃗0 M(t0) ⃗a(t0) kě2

M0M(t) = (t´t0)⃗v0+(t´t0)2

2 ⃗a0+ (t´t0)2ε(t),ɍ tÑt0⃗ε(t) =⃗0

ĕ(M0,⃗v0,⃗a0)

M 0 ⃗v 0 ⃗a 0 Mˇ

ˇˇˇˇˇ(t´t0) + (t´t0)2α(t)

(t´t0)2 2

+ (t´t0)2β(t)ɍ⃗ε(t) =α(t)⃗v0+β(t)⃗a0α(t),β(t)ÝÝÝÑtÑt00

M 0 ⃗v 0 ⃗a 0

γ Cq ⃗r0=ÝÝÝÑpM

tp(t0)⃗s0=ÝÝÝÑqM tp(t0) ⃗r

0‰⃗0p="

ti(t0)‰⃗0* (⃗r0,⃗s0) q=" jěp+ 1,(

ÝÝÝÑpM

tp(t0),ÝÝÝÑjM tj(t0))

M0M(t) =(t´t0)p

p!⃗r0+(t´t0)p+1 (p+ 1)!λ1⃗r0+¨¨¨+(t´t0)q q!⃗s0+ (t´t0)q⃗ε(t) tÑt0⃗ε(t) =⃗0

ĕ(M0,⃗r0,⃗s0)

M 0 ⃗r 0 ⃗s 0

M0M(t) =(t´t0)p

p!⃗r0+ (t´t0)p((t´t0) (p+ 1)!λ1+¨¨¨+ (t´t0)q´pα(t)) ⃗r 0 (t´t0)q q!⃗s0+ (t´t0)qβ(t)⃗s0 ⃗ε(t) =α(t)⃗r0+β(t)⃗s0 α(t),β(t)ÝÝÝÑtÑt00

M(t)ˇ

ˇˇˇˇˇ(t´t0)p

p!+o((t´t0)p) (t´t0)q q!+o((t´t0)q) M 0 ⃗r 0 ⃗s 0 M 0 ⃗r 0 ⃗s 0 pq pq M 0 ⃗r 0 ⃗s 0 M 0 ⃗r 0 ⃗s 0 pq

ĕ ĕpq

γ:IÝÑP

tÞÝÑM(t)ˇˇˇˇx(t) y(t) aP¯R I x(t)Ñ ˘8y(t)Ñy0PR y 0 x y

ĕ x(t)Ñx0PRy(t)Ñ ˘8

x 0 x y y(t) x(t)ÑαPR α y(t)´αx(t)Ñ ˘8 α y(t) x(t)Ñ ˘8 y(t)

C C:y=f(x),xPI

%x=t y=f(t),tPI

γ:IÝÑP

tÞÝÑM(t)ˇˇˇˇx(t) y(t)R C I=R @tPR,$ %x(´t) =x(t) y(´t) =y(t) R+ C @tPR,$ %x(´t) =´x(t) y(´t) =´y(t) R+ C O @tPR,$ %x(´t) =x(t) y(´t) =´y(t) R+ C (Ox(Oy @tPR,$ %x(´t) =´x(t) y(´t) =y(t) R+ C (Oy(Ox @tPR,$ %x(t+T) =x(t) @tPR,$ %x(t+T) =x(t) +α

Zɍ⃗u

E:x2 a 2+y2 b 2= 1 %x=at y=bt,tPR H:x2 a

2´y2

b 2= 1 %x=at y=bt,tPR xą0 %x=´at

P:y2= 2pxÑ

%y=y x=y2

2px,yPR

E FF1 Ǘ a

@tPI,'''ÝÝÝÝÑFM(t)'''+'''ÝÝÝÝÝÑF1M(t)'''= 2a '''ÝÝÝÝÝÑF1M(t)''''= 0 ÝÝÝÝÑFM(t) F F 1 ⃗v(t) DD1 D D 1

P F D

P=tMPP,MF=MHu ɍH MD

K FD∆ D K

ÝÝÑHM ÝÝÑKM (∆)

⃗u ∆ ā ÝÝÑKF HM=ÝÝÑKM¨⃗u D K ⃗u H M F @tPI,⃗v(t)¨ÝÝÑFM(t) @tPI,⃗v(t)K ÝÝÝÝÑFM(t)

M Ǘ[MF)[MH)

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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