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MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 2 - Courbes param´etr´ees

1 Introduction

1. Unecourbe, c"est quoi?

Il y a lescourbes repr´esentativesdes fonctions.-20+1 -1

0(donc les droites sont descourbes! )

2. Mais il n"y a pas que les courbes repr

´esentatives des fonctions!

0+1 -1 +1 -13. En3D, il y a des objets g´eom´etriques : Exemple: Un ressort (h´elice) :Il y a lesintersections de surfaces: Exemple: Intersection d"unesph`ereet d"uncylindre:1 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)2 Courbes param´etr´ees

1. On va

´etudier les courbes d´efinies commetrajectoired"unpoint mobiledont la position d´epend d"unparam`etre. Quand le param`etre prend la valeurt, le point mobile occupe la positionM(t).t M t )2. Unecourbe param´etr´ee, c"est donc une fonctiont7!M(t). Le pointM(t)a des coor donn´ees qui d´ependent det: .se donner une courbe param´etr´eeplanerevient`a se donner 2 fonctionsx(t);y(t), ce sont les coordonn

´ees deM(t),

.se donner une courbe param´etr´eegauche(une courbe param´etr´ee en3D) revient a se donner 3 fonctionsx(t);y(t);z(t), ce sont les coordonn´ees deM(t). Exemple: On va´etudier la courbeCd´efinie par : x(t)=t21t y(t)=t+1t(t1) t, est lacourbe g´eom´etriqued´efinie par leparam´etrage: courbe param´etr´ee=courbe g´eom´etrique+fac¸on de la parcourir

Une courbe param

´etr´ee d´ecrit une courbe g´eom´etrique unique, alors qu"une courbe g´eom´etrique

peut ˆetre param´etr´ee de plusieurs fac¸ons :2 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)4.Enpratique,leprobl

donn

´ee.

Toutes les courbes repr

´esentatives des fonctions peuventˆetre param´etr´ees! En eet, on rep`ere les pointsdelacourberepr les coordonn

´ees du pointM(t)sont : 8>><>>:x(t)=t

y(t)=f(t) La question se pose donc pour les courbes qui ont plusieurs points sur une droite verticale. Exemple 1: On cherche`a param´etrer un cercle de rayonRcentr´e`a l"origine.Pour cela, on peut rep

´erer la position d"un point au moyen de

t, sonl"angle polaire.

Les coordonn

´ees deM(t)sont :

8>><>>:x(t)=Rcos(t)

y(t)=Rsin(t)M(t) t O xyExemple 2: Lacyclo¨ıde. On fait rouler un cercle, sans glissement, le long d"une droite. La cyclo

¨ıde est la trajectoire d"un

point particulier de ce cercle.SiRd´esigne le rayon du cercle, un raisonnement simple montre que :

x(t)=Rtsin(t)y(t)=R1cos(t) Exemple 3: Uneligne bris´eeest une courbe qui peutˆetre param´etr´ee.Toutefois, le r ´esultat peutˆetre surprenant quand on a une infinit´e de segments ... 3 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)Exemple 4:

Une boule debillardqui cogne labanderebondit en faisant un angle de d ´epart sensiblement´egal`a celui d"arriv´ee.La trajectoire de la boule est une ligne bris ´ee, mais plus il y a de rebonds, plus cette ligne bris´ee remplit d"espace.Doit-on encore parler decourbe? 4 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)3 Un peu de g´eom´etrie

Nota: Ce qui suit est valable en2Dcomme en3D.

1. Deux pointsAetBd´efinissent un vecteur, le vecteur!AB, dont lescoordonn´ees(on dit aussi ses

composantes) s"obtiennent en retranchant les coordonn´ees deAde celles deB.AB

ABLescoordonn´eesde!AB, on dit aussi sescomposantes, s"obtiennent en retranchant les coordonn´ees de

Ade celles deB.

2. R ´eciproquement, siAest un point et!Vun vecteur, il existe un unique point Btel que!AB=!V. Le pointBs"appelle letranslat´edeApar!Vet l"on´ecrit :

B=A+!V=A+!AB

AB

VLes coordonn

´ees deBs"obtiennent en ajoutant les coordonn´ees deAaux composantes de!V.

3. Un pointAet un vecteur!V,!Od´efinissent une droite( D). On dit

que!Vest unvecteur directeurde( D). A V D

)La droite( D)est l"ensemble des points M(t)=A+t!Vet la droite( D)est param ´etr´ee de la fac¸on

suivante : (2D)A=(a;b)!V=(;) x(t)=a+ty(t)=b+t(3D)A=(a;b;c)!V=(;; x(t)=a+ty(t)=b+tz(t)=c+t

4. Deux pointsdistincts,AetA0, d´efinissent une droite( D). C"est la

droite ayant pour vecteur directeur!V=!AA0. AA' D

On dit que

!V=!AA0est un vecteur non nulport´epar( D). La droite est param´etr´ee de la fac¸on suivante : (2D)A=(a;b)A0=(a0;b0)!V=(a0a;b0b) x(t)=a+t(a0a)y(t)=b+t(b0b)5 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)(3D)A=(a;b;c)A0=(a0;b0;c0)

x(t)=a+t(a0a)y(t)=b+t(b0b)z(t)=c+t(c0c)4 D´eriv´ee d"un point mobile

1. SiM0est un point voisin deM, on a :

M

0=M+!MM0=M+!M

La variation d"un point est donc unvecteur!

Il en r

´esulte que ladi´erentielle d"un point variable est un vecteuret l"on´ecrit!dMau lieu dedM.

Dans un rep

`ere( O;!{ ;!|)ou ( O;!{ ;!| ;!k): (2D)!OM=x!{+y!|!dM=dx!{+dy!| (3D)!OM=x!{+y!|+z!k!dM=dx!{+dy!|+dz!k

2. Un point variable d

´ecrit une courbe param´etr´ee.M(t)

M t h C )SiM(t),M(t+h), la s´ecante passant parM(t)et M(t+h)admet parmi ses vecteur directeur!M(t)M(t+h)mais aussi le vecteur : Mt=1h !M(t)M(t+h) Par d

´efinition,!V(t)=limh!00

BBBB@!Mt1

CCCCAest unvecteur tangent`a la courbe param´etr´ee au pointM(t).

Mt= x(t+h)x(t)h

!{+ y(t+h)y(t)h

V(t)dt=x0(t)dt|{z}

dx! {+y0(t)dt|{z} dy! |=dx!{+dy!|=!dM dM=!V(t)dt!

V(t)=!dMdt

6 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)3. Quand

!V(t)=!O, on dit que le pointM(t)est stationnaire.

Cela peut

ˆetre dˆu`a 2 causes :

.le point mobile s"arrˆete sur sa trajectoire, maisd"autres param´etrages n"ont pas ce d´efaut,

la pr ´esence du point stationnaire n"est due qu"au param´etrage choisi. On rencontre cette situation quand le point faitdemi-toursur la courbe, ou s"arrˆete et repart.

.la courbe pr´esente une particularit´e g´eom´etrique, qui oblige le point`a toujours s"arrˆeter

pour faire demi-tour et l"on a unpoint de rebroussement.1 `ereesp`ece2 eesp`ece

4. Quand

!V(t),!O, on dit queM(t)est un point ordinaire. Le vecteur!V(t)est un vecteur directeur de lalimite de la s´ecante.

La droite d

´efinie parM(t)et !V(t)est donc la tangente`a la courbe.M(t) M t h C )En (2D), puisque!V(t)=x0(t)!{+y0(t)!|on connaˆıt la pente de la tangente au pointM(t): .six0(t),0c"est y0(t)x 0(t), .six0(t)=0la tangente est verticale.

5. Le vecteur

!V(t)donne 2 informations : .sur lacourbe g´eom´etrique: il dit quelle est ladroite tangente`a la courbe,

.sur lacourbe param´etr´ee: il donne une indication sur la fac¸on dont la courbe est parcourue.

Quand le param

`etre est letemps, le vecteur!V(t)permet de r etrouverla vitesseindiqu´ee par lecompteur de vitesse, d"o`u la lettre"V".

5 Dessin des courbes

1. On part de 2 fonctionsx(t)et y(t). Pour dessinerC, la courbe plane param´etr´ee par ces fonctions, on donne

desordres`a la main qui tient le crayon : aller`adroiteou`agauche, monteroudescendre. Au pr ´ealable, on aura dessin´e lespoints remarquablesde la courbe, qui serviront de rep`ere. 7 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)2. Les ordres :( droite/gauche),( monter/descendre), sont d ´etermin´es au moyen d"untableau de variationsTqui

comporte 5 lignes et qui est construit de la fac¸on qui suit. t1+1x

0(t)x(t)y(t)y

0(t)´

Etape 1: Sur lapremi`ere ligne, on place les valeurs detpour lesquelles une au moins des fonctionsx(t)ou

y(t)n"est pas d ´efinie et on met unedouble barre verticaledans la ligne de la fonction et de sa d´eriv´ee.

x(t)=t21t y(t)=t+1t(t1) t101 +1x 0(t) x(t) y(t) y 0(t)

Etape 2: On r

´esout les´equationsx0(t)=0et y0(t)=0apr `es quoi on place les solutions sur la premi`ere ligne,

et l"on indique par des 0 l"annulation des d

´eriv´ees.

x

0(t)=t2+1t

2y0(t)=t2+2t1t

2(t1)2=(t)(t)t

2(t1)2avec=1p2 2;4et =1+p2+0;4.

t101+1x 0(t) x(t) y(t) y 0(t)0 0

Etape 2: On marque le signe des d

´eriv´ees entre ces0 .

x

0(t)=t2+1t

2>0y0(t)=(t)(t)t

2(t1)2

8 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)t101+1x

0(t)+ +x(t) y(t) y

0(t)0++0

Etape 3: On place des fl

`eches dans les lignes des fonctions pour indiquer leurcroissance. Ce sont elles qui d

´eterminent le mouvement de la main.

t101+1x 0(t)+ +x(t)% %y(t)&% %& &y

0(t)0++0

Etape 4: On compl

`ete le tableau de variations en indiquant les valeurs dex(t)et y(t)partout o `u"il se passe quelque chose». y()=u=32p2 5;8y()=v=3+2p2 0;2 t101+1x 0(t)+ +x(t)1% 2%+11% 2%0%+1y(t)0&u%+11% v&1 +1& 0y

0(t)0++0

6 Branches infinies

1. Six(t)ou y(t)tendent vers 1, le pointM(t)s" ´eloigne ind´efiniment

dans le plan. On dit que la courbe poss `ede unebranche infinie. Le cas le plus int ´eressant, est celui desbranches infinies asymptotiques. quand il s"

´eloigne ind´efiniment.9

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3 Jacques V´elu (CNAM)2. Asymptoteshorizontales:

limx(t)=1 limy(t)=Llimx(t)= +1 limy(t)=L3. Asymptotesverticales: limx(t)=L limy(t)=1limx(t)=L limy(t)= +14. L"asymptote estobliquequandx(t)et y(t)deviennent infinis et qu"il existe des nombresa,0et btels que : y(t)=ax(t)+b+"(t) avec"(t)qui tend vers 0 . a=limy(t)x(t)b=limy(t)ax(t)Un d

´eveloppement limit´e dey(t)ax(t)peut donner la position de la courbe par rapport `a son asymptote.

5.Exemple:x(t)=t21t

y(t)=t+1t(t1)

La courbe a des branches infinies pourt=1;0;1;+1.

t=1ett= +1x(t)=t1t y(t)=1+1t 11t 1t (1+)=1t +-+10 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)t=0y(t)x(t)=(t+1)t(t1)t(t21)=1(t1)2a=limt!0y(t)x(t)=1

x(t)=1t +ty (t)=1t 1+t1t =1t +2+"(t) y(t)x(t)=2t+"(t) x(1+h)=2h+h21+h=2h+ y(t)=t+1t(t1)y(1+h)=2+h(1+h)(2+h)h=1h

1+1--4-224-10-8-6-4-22468106.

`A pr´esent, on peut commencer`a dessiner la courbe. On place lesasymptotesavec une esquisse des morceaux de courbe qui viennent se coller`a l"asymptote.

0+0-1+1-+¥-¥On place les points o`u une et une seule des d´eriv´ees dexou dey:

.six0(t)=0il y a une tangente verticale, .siy0(t)=0il y a une tangente horizontale 11 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)Onplaceaussilesautrespoints,d´etermin´espouruneraisonquelconque,enindiquantlapentedelatangente.

Exemple:x(t)=t21t

y(t)=t+1t(t1)

Avect=1on a : x(1)=0y(1)=0x0(1)=2y0(1)=12

Donc la courbe passe par l"origine, avec la pente14

7. Finalement, voici la courbe :-10-5510-10-5510On observe qu"elle poss

`ede un pointmultiple.

8. Un point estmultiplequand il existe 2 valeurst1,t2du param`etre telles queM(t1)=M(t2). Pour tr ouver

les points multiples d"une courbe, il faut r

´esoudre lesyst`eme:

x(t1)=x(t2)y(t1)=y(t2)t1,t2

Exemple:

t 2 11t 1=t2 21t
2()t2

1t2t2=t2

1+1t

1(t11)=t2+1t

2(t21)()(t1+1)(t2

2t2)=(t2+1)(t2

1t1)()t1t2

2t1t2+t2

2t2=t2t2

1t2t1+t2

1t1 ()t1t2 2t2t2 1+t2 2t2 )t1t2+(t2+t1)1=0)t2+t1=2Donct1ett2sont les solutions de l"´equationT22T1=0)t1=1+p2t2=1p2 x(t1)=(1+p2)

211+p2

=1+2p2+211+p2 =2+p2 1+p2 =2y(t1)=1+p2+1(1+p2) p2 =2+2p2p2+2=1 12 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n

3 Jacques V´elu (CNAM)7 Sym´etries

1. Il arrive que la courbe pr

´esente unesym´etrie, par rapport`a unedroiteou par rapport`a unpoint.

Exemple:

x(t)=x(t) y(t)=y(t)M(t) Oxy M t )x(t)=x(t) y(t)=y(t)M(t) Oxy M t )x(t)=x(t) y(t)=y(t) M t Oxy M t )2. Dans les cas moins ´evidents, il faut faire un calcul semblable`a celui de la recherche des points doubles. 13quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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