Courbes paramétrées
La tangente en un point régulier est dirigée par le vecteur dérivé en ce point. Page 10. COURBES PARAMÉTRÉES. 2. TANGENTE À UNE COURBE PARAMÉTRÉE. 10.
Cours 1 : Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée peut ne pas avoir de tangente au sens de cette définition alors que son support vu comme un graphe
Chapitre 6 Courbes paramétrées
téristiques déterminés au cours de l'étude : on trace les asymptotes on Une courbe paramétrée est une courbe dont l'abscisse et l'or-.
F411 - Courbes Paramétrées Polaires
Définition d'une courbe paramétrée. Domaine de définition. Courbes à paramétrage périodique. Réduction du domaine d'étude. Exemple. Variation de x et y.
COURBES PARAMÉTRÉES
x = x(t) y = y(t) t ? I. COURS DE MATHÉMATIQUES. EN TERMINALE C ET D. Page 3. Étude d'une courbe paramétrée. 3. NB : si l'on veut que cette définition ait un
Chapitre10 : Courbes paramétrées (planes)
4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/. Chapitre10 : Courbes paramétrées. (planes) tM(t)t P Iu s'appelle le support de l'arc paramétré ?
Chapitre 2 — Courbes paramétrées 1 Introduction
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Cours 1.´Etude des Courbes Planes Paramétrées
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Programme du cours
trouver une paramétrisation locale pour toute courbe réguli`ere. 1.1 Courbes paramétrées. Définition. Une courbe paramétrée (ou chemin) de classe Ck (avec k
Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours
Chapitre 6 - Fonctions vectorielles et courbes paramétrées - Cours A - Restreindre l'intervalle d'étude d'une courbe paramétrée . . . . . . . . . 7.
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Dans ce chapitre nous allons voir les propriétés fondamentales des courbes paramétrées Commençons par présenter une courbe particulièrement intéressante
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Cours 1 : Courbes paramétrées V Borrelli Régularité Giuseppe Peano Longueur et courbure Spirales dans la Nature Courbes du plan Toujours des
[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées
Une courbe paramétrée est une courbe dont l'abscisse et l'or- donnée sont toutes les deux des fonctions d'un param`etre t i e il s'agit d'une
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COURS DE MATHÉMATIQUES 1 3 1 Définition d'une courbe paramétrée On appelle courbe paramétrée (C ) l'ensemble des points M(t) de représentation
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Si x(t) – a est positif la courbe est à droite de l'asymptote sinon elle est à gauche La courbe coupe l'asymptote lorsque x(t) = a Asymptote horizontale
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On trace la courbe quand t décrit [0 ?] puis on complète par réflexion d'axe (Oy) puis par translations Etude des points singuliers Pour t ? [0 ?] x?(t)
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Une courbe paramétrée décrit une courbe géométrique unique alors qu'une courbe géométrique peut être paramétrée de plusieurs façons : 2 Page 3 MVA006
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Courbes paramétrées Jusqu'à présent les courbes qui ont été étudiées correspondaient à des fonctions définies sur IR ou une partie de IR et à valeurs dans
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Ainsi une courbe paramétrée est une application qui à un réel t appelé le paramètre associe un point du plan M"t# C`est aussi l`ensemble des positions
Programme du cours
1 Courbes planes et gauches3
1.1 Courbes param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.2 Courbes r´eguli`eres et bir´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7
1.3 Longueur et abscisse curviligne . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Rep`ere de Frenet, courbure et torsion . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10
1.5 Courbes d´efinies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 17
2 Surfaces21
2.1 Surfaces param´etr´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Courbes sur une surface . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.3 Surfaces r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.4 Surfaces de r´evolution et surfaces r´egl´ees . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25
2.5 Aire des surfaces
[`a voir apr`es Ch. 3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 272.6 Surfaces d´efinies implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 28
3 Int´egrales multiples, curvilignes et de surface29
3.1 Int´egrale de Riemann des fonctions d'une variable . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29
3.2 Int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.3 Int´egrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
3.4 Aire et volume . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47
3.5 Int´egrales curvilignes et de surface . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 49
4 Champs de vecteurs et formes diff´erentielles51
4.1 Espace tangent et espace cotangent d'un ouvert de
R 2 et R 3 . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
4.3 Formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Diff´erentielle de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Formes exactes et ferm´ees . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Lemme de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
4.7 Int´egrales des formes diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 66
4.8 Th´eor`emes de Stokes, Gauss-Ostrogradski et Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . 68
R´ef´erences70
1 isomorphisme d'espaces vectoriels entre l'ensemble des vecteurs de l'espace appliqu´es en O et R 3Les points
Pde l'espace, et les vecteurs correspondants�OP, sont donc identifi´es `a leurs coordonn´ees
cartesiennes x,y,z identifi´e `a l'espace vectoriel R 2 . Les points P du plan, et les vecteurs correspondants�OP, sont donc identifi´es `a leurs coordonn´ees cartesiennes x,y 21 Courbes planes et gauches
Une courbeest un sous-ensemble du plan ou de l'espace avec "d´egr´e de libert´e intrens`eque" ´egal `a 1,
par exemple: Pour d´ecrire une courbe, soit on donne des contraintes aux coordonn´ees de ses points ( courbes d´efinies implicitement ), par exempleCercle du plan de rayon
r centr´e en l'origine x,y R 2 x 2 y 2 r 2 soit on d´ecrit ses points comme fonctions d'un param`etre ( courbes param´etr´ees ), par exempleMˆeme cercle
r cos t,r sin t R 2 t 0 2La description implicite des courbes est la plus courante, mais c'est la description param´etrique qui
permet d'en d´efinir la longueur et les deux invariants r´eels qui caract´erisent les courbes `a d´eplacement pr`es: la courbure et la torsionDans ce chapitre on pr´esente d'abord les courbes param´etr´ees, et ensuite on montre comment
trouver une param´etrisation locale pour toute courbe r´eguli`ere1.1 Courbes param´etr´ees
D´efinition.
Une courbe param´etr´ee (ou chemin ) de classe C k (avec k0) est un sous-
ensemble de R 3 de la forme t � ��x�t�,y�t�,z�t��� R 3 t IR�
I o`u I R est un interval et l'application I R 3 est de classe C k , c'est-`a-dire que les fonctions x,y,z I R sont de classe C k . Si la classe C k n'est pas indiqu´ee on suppose que la courbe soit lisse, c'est-`a-dire de classe C . On appelle: param´etrisation de la courbe Γ l'application I R 3 I t t param`etre la variable t I support g´eom´etrique ) de la param´etrisation son image supp I R 3 orientation de la courbe Γ le sens de parcour d´et´ermin´e par t R croissant. Ainsi, une courbe param´etr´ee est naturellement orient´ee.Exemples.
Courbe cuspidale
t t 2 ,t 3 0 t RH´elice circulaire
t cos t, sin t,t t R 3 Si la param´etrisation est suffisement d´erivable, on appelle aussi: point , ou position , de la courbe Γ `a l'instant t le vecteur t �x�t�,y�t�,z�t��� R 3 vitesse de la courbe Γ `a l'instant t le vecteur t � ��x t ,y t ,z t ��� R 3 acc´el´eration de la courbe Γ `a l'instant t le vecteur t � ��x t ,y t ,z t ��� R 3D´efinition.
Soit I R 3 une courbe param´etr´ee de classe C k . On dit que est une droite si son support Γ supp est contenu dans une droite de R 3 . Cela arrive si et seulement si, pour tout t I , toutes les d´eriv´ees p t non nulles sont des vecteurs colin´eaires. est une courbe plane si son support Γ supp est contenu dans un plan de R 3 .`A moins d'un d´eplacement, on peut supposer que I R 2 est une courbe gauche si elle n'est pas plane.Exemples.
La courbe
t t 5 3 t 5 1 2 t 5 , avec t R , est une droite, car son support est la droite x,y,z R 3 y 3 x 1 , z 2 x�La courbe cuspidale est une courbe plane.
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