Analyse numérique









FORMULAIRE d'INTÉGRATION Dans ce qui suit "c" est une

PRIMITIVES connues en terminale. ∫ a dx = ax + c. ∫ x dx = x2. 2 2+ kπ k ∈ Z ... ax + b. = 1 a ln
m


2.2 Quelques propriétés des intégrales définies

f(x)dx a et b sont les bornes d'intégration
amphi


Tableaux des dérivées

%20primitives


) Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a





Analyse Numérique

d) Résoudre le système linéaire Ax = b en remplaçant PA par LU et en utilisant les algorithmes de substitution progressive et rétrograde. Exercice 2. 1) Pour 
Anum


Analyse Numérique

4.4 Analyse de l'erreur dans les méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . 79 Les bases b = 2 ou les puissances de 2 sont fréquemment utilisées par.
polyAnaNum


TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 En somme quelles fonctions sont susceptibles d'intégration ? ... 2 l'intégrale d'une fonction continue. Pour calculer ∫b.
maths td support


Analyse numérique

Sortie : x = (xi)1≤i≤n ∈ Kn tel que Ax = b. 1. xn = bn ann. ;. 2. Pour i de n − 1 à 
PolyAnalyseNum





Calculs d'intégrales et de primitives

2. Intégration des fonctions rationnelles réelles. Fonctions rationnelles on isole c en multipliant par (x − 1) : (x − 1)F(x) = c + (x − 1)ax+b.
chap Primitives POLY


Primitives élémentaires Règles d'intégration

Règles d'intégration Soit une fonction f continue et positive sur [a;b]. ... Primitive. Intervalle f(x) = a. F(x) = ax. R f(x) = x. F(x) = x2. 2.
tableau primitives regles integration


L'usage de calculatrices est interdit.

Beaucoup de relations dépendent de x `a la fin des calculs. N'aboutit pas souvent mais souvent tenté. (b) Cette question est peu abordée. 2. (a) Cette question 
e a


212216 Analyse numérique

Analyse numérique

Thomas Cluzeau

École Nationale Supérieure d"Ingénieurs de Limoges

16 rue d"atlantis, Parc ester technopole

87068 Limoges CEDEX

cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.unilim.fr/pages_perso/thomas.cluzeau 2

Table des matières

1 Arithmétique des ordinateurs et analyse d"erreurs

7

1.1 L"arithmétique flottante

7

1.1.1 Le système des nombres à virgule flottante

7

1.1.2 Représentation effective des réels et sa formalisation

9

1.1.3 Unité d"erreur d"arrondi, estimation d"erreurs

10

1.1.4 Modèle de l"arithmétique flottante

10

1.2 L"analyse d"erreurs

10

1.2.1 Non-associativité

10

1.2.2 Erreurs d"arrondi sur une somme

11

1.2.3 Erreurs d"arrondi sur un produit

11

1.2.4 Phénomènes de compensation

1 1

1.2.5 Phénomènes d"instabilité numérique

12

1.2.6 Erreur amont et erreur aval

13

1.2.7 Outils théoriques de l"analyse d"erreurs

13

2 Résolution d"un système d"équations linéaires (Partie 1) : méthodes di-

rectes15

2.1 Introduction et motivation

15

2.1.1 Objet

15

2.1.2 Motivation

16

2.1.3 Résolution d"un système triangulaire

17

2.1.4 Les méthodes directes étudiées

18

2.2 Méthode de Gauss et factorisation LU

19

2.2.1 Description de la méthode

19

2.2.2 Point de vue numérique : stratégies de choix du pivot

21

2.2.3 Lien avec la factorisation LU d"une matrice

23

2.2.4 Coût de l"algorithme

26

2.3 Méthode de Cholesky

27

2.4 Méthode de Householder et factorisation QR

29

2.4.1 Transformation (élémentaire) de Householder

29

2.4.2 Principe de la méthode de Householder

30

2.4.3Exemple de résolution d"un système linéaire par la méthode de House-

holder 30
3

2.4.4 Factorisation QR d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Conditionnement d"une matrice pour la résolution d"un système linéaire

33

3.1 Normes matricielles

33

3.1.1 Normes vectorielles

33

3.1.2 Normes matricielles et normes subordonnées

33

3.2 Conditionnement d"une matrice

34

3.2.1 Exemple classique

34

3.2.2 Définition du conditionnement

35

3.2.3 Estimation théorique de l"erreur a priori

37

3.2.4 Estimation théorique de l"erreur a posteriori

3 8

4 Résolution d"un système d"équations linéaires (Partie 2) : méthodes ité-

ratives39

4.1 Motivation

39

4.2 Notions générales

41

4.2.1 Modèle général d"un schéma itératif

4 1

4.2.2 Convergence

42

4.2.3 Vitesse de convergence

43

4.3 Les méthodes itératives classiques

44

4.3.1 Principe

44

4.3.2 Méthode de Jacobi

45

4.3.3 Méthode de Gauss-Seidel

46

4.3.4 Méthode de relaxation

47

4.3.5 Résultats de convergence dans des cas particuliers

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Thomas Cluzeau

École Nationale Supérieure d"Ingénieurs de Limoges

16 rue d"atlantis, Parc ester technopole

87068 Limoges CEDEX

cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.unilim.fr/pages_perso/thomas.cluzeau 2

Table des matières

1 Arithmétique des ordinateurs et analyse d"erreurs

7

1.1 L"arithmétique flottante

7

1.1.1 Le système des nombres à virgule flottante

7

1.1.2 Représentation effective des réels et sa formalisation

9

1.1.3 Unité d"erreur d"arrondi, estimation d"erreurs

10

1.1.4 Modèle de l"arithmétique flottante

10

1.2 L"analyse d"erreurs

10

1.2.1 Non-associativité

10

1.2.2 Erreurs d"arrondi sur une somme

11

1.2.3 Erreurs d"arrondi sur un produit

11

1.2.4 Phénomènes de compensation

1 1

1.2.5 Phénomènes d"instabilité numérique

12

1.2.6 Erreur amont et erreur aval

13

1.2.7 Outils théoriques de l"analyse d"erreurs

13

2 Résolution d"un système d"équations linéaires (Partie 1) : méthodes di-

rectes15

2.1 Introduction et motivation

15

2.1.1 Objet

15

2.1.2 Motivation

16

2.1.3 Résolution d"un système triangulaire

17

2.1.4 Les méthodes directes étudiées

18

2.2 Méthode de Gauss et factorisation LU

19

2.2.1 Description de la méthode

19

2.2.2 Point de vue numérique : stratégies de choix du pivot

21

2.2.3 Lien avec la factorisation LU d"une matrice

23

2.2.4 Coût de l"algorithme

26

2.3 Méthode de Cholesky

27

2.4 Méthode de Householder et factorisation QR

29

2.4.1 Transformation (élémentaire) de Householder

29

2.4.2 Principe de la méthode de Householder

30

2.4.3Exemple de résolution d"un système linéaire par la méthode de House-

holder 30
3

2.4.4 Factorisation QR d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Conditionnement d"une matrice pour la résolution d"un système linéaire

33

3.1 Normes matricielles

33

3.1.1 Normes vectorielles

33

3.1.2 Normes matricielles et normes subordonnées

33

3.2 Conditionnement d"une matrice

34

3.2.1 Exemple classique

34

3.2.2 Définition du conditionnement

35

3.2.3 Estimation théorique de l"erreur a priori

37

3.2.4 Estimation théorique de l"erreur a posteriori

3 8

4 Résolution d"un système d"équations linéaires (Partie 2) : méthodes ité-

ratives39

4.1 Motivation

39

4.2 Notions générales

41

4.2.1 Modèle général d"un schéma itératif

4 1

4.2.2 Convergence

42

4.2.3 Vitesse de convergence

43

4.3 Les méthodes itératives classiques

44

4.3.1 Principe

44

4.3.2 Méthode de Jacobi

45

4.3.3 Méthode de Gauss-Seidel

46

4.3.4 Méthode de relaxation

47

4.3.5 Résultats de convergence dans des cas particuliers


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