PRIMITIVES connues en terminale. ∫ a dx = ax + c. ∫ x dx = x2. 2 2+ kπ k ∈ Z ... ax + b. = 1 a ln
m
f(x)dx a et b sont les bornes d'intégration
amphi
Tableaux des dérivées
%20primitives
) Quelques formules de trigonométrie vraiment utiles. a
d) Résoudre le système linéaire Ax = b en remplaçant PA par LU et en utilisant les algorithmes de substitution progressive et rétrograde. Exercice 2. 1) Pour
Anum
4.4 Analyse de l'erreur dans les méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . 79 Les bases b = 2 ou les puissances de 2 sont fréquemment utilisées par.
polyAnaNum
16 sept. 2016 En somme quelles fonctions sont susceptibles d'intégration ? ... 2 l'intégrale d'une fonction continue. Pour calculer ∫b.
maths td support
Sortie : x = (xi)1≤i≤n ∈ Kn tel que Ax = b. 1. xn = bn ann. ;. 2. Pour i de n − 1 à
PolyAnalyseNum
2. Intégration des fonctions rationnelles réelles. Fonctions rationnelles on isole c en multipliant par (x − 1) : (x − 1)F(x) = c + (x − 1)ax+b.
chap Primitives POLY
Règles d'intégration Soit une fonction f continue et positive sur [a;b]. ... Primitive. Intervalle f(x) = a. F(x) = ax. R f(x) = x. F(x) = x2. 2.
tableau primitives regles integration
Beaucoup de relations dépendent de x `a la fin des calculs. N'aboutit pas souvent mais souvent tenté. (b) Cette question est peu abordée. 2. (a) Cette question
e a
212243
1.2 Non-associativité des opérations arithmétiques. . . . . . . . . . . 3
1.3 Phénomènes de compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décompositionLU? ? ? ?
2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour
les systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Méthodes itératives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 La méthode de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 La méthode de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. . 13
2.2.4 Méthode du gradient à pas optimal. . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 Méthode du gradient conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Méthode de la corde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Méthode de point xe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.1 Le théorème du point xe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.2 Point xes attractifs et répulsifs. . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Encore à propos de la méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Méthode des diérences divisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Interpolation de Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Interpolation par intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
5.2 Evaluation de l'erreur. Noyau de Peano. . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Méthodes d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Etude générale des méthodes à un pas. . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3.1 Consistance, stabilité, convergence. . . . . . . . . . . . . . 33
6.4 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
x' §m¢bp; 10?? m= 0;a1a2:::aN=NX k=1a kb¡k; b¡1·m <1: ¢x x =¢m m
·b¡N
b
¡1=b1¡N:
????? ???? ???????xmin??xmax? x min=bL¡1· jxj ·bU=xmax: 10 D'autre part, le même nombre peut avoir un nombre ni de chires dans une base, et un nombre inni dans un'autre base :x= 1=3?????x3= 0;1?? ????
3??x10= 0;
3?? ????10?
x= 8;22 = 0;822¢10; y= 0;00317 = 0;317¢10¡2; z= 0;00432 = 0;432¢10¡2: (x+y) +z????? ? x+y= 8;22317'0;822¢10 (x+y) +z'8;22432'0;822¢10 x+ (y+z)????? ? y+z= 0;00749'0;749¢10¡2 x+ (y+z) = 8;22749'0;823¢10
0= 667487;p
0= 816;9987760;
x
1= 817 +p
0'1633;998776;
x
2= 817¡p
0'0;0012240:
x 2=2 x
1'1;223991125¢10¡3:
Ax=b; ??A= (aij)?1·i;j·n? ??????? ??? ??????? ?? ??????n£n?? ??????? n X j=1a ijxj=bi; i= 1;:::;n: x i=det(Ai) det(A); i= 1;:::;n; det(A) =X
¾(¡1)²(¾)nY
i=1a i;¾(i) a ij= 08i;j: 1·j < i·n a ij= 08i;j: 1·i < j·n: x
1=b1=a11;
?? ????i= 2;3;:::;n x i=1 a ii0 bi¡i¡1X j=1a ijxj1 A x n=bn=ann; ?? ????i=n¡1;n¡2;:::;2;1 x i=1 a ii0 bi¡nX j=i+1a ijxj1 A Le nombre de multiplications et de divisions nécessaires dans cet algorithme est ij=aij????i;j= 1;:::;n? ???? k= 1;:::;n?? ??????? l ik=a(k) ik a (k) kk; i=k+ 1;:::;n; a (k+1) ij=a(k) ij¡lika(k) kj; i=k+ 1;:::;n: u ij=a(i) ij; n¡1X k=12(n¡k)2= 2n¡1X j=1j
2= 2(n¡1)n(2n¡1)
6
»2n3
3 ??? ??????a(k) kk?? ?? ???????U?? A=2
41 2 3
2 4 5
7 8 93
5
A(2)=2
41 2 3
0 0¡1
0¡6¡123
5 A ????i= 1;:::;n jaiij>nX j=1;j6=ijaijj: ???? ????j= 1;:::;n jajjj>nX i=1;j6=ijaijj: det(A) = det(L)det(U) = det(U) =nY k=1u kk; P (k;r)=2 6
666666666641 0:::0 0
:::0:::1::: :::1:::0:::
0 0:::0 13
7
777777777751
k r n
LU=PA;
1.2 Non-associativité des opérations arithmétiques. . . . . . . . . . . 3
1.3 Phénomènes de compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Résolution des systèmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Méthode d'elimination de Gauss et décompositionLU? ? ? ?
2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.6 Considération sur la précision des méthodes directes pour
les systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Méthodes itératives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 La méthode de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 La méthode de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. . 13
2.2.4 Méthode du gradient à pas optimal. . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 Méthode du gradient conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Méthode de la corde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Méthode de point xe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.1 Le théorème du point xe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5.2 Point xes attractifs et répulsifs. . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 Encore à propos de la méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Le cas des systèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Méthode des diérences divisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Interpolation de Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Interpolation par intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
5.2 Evaluation de l'erreur. Noyau de Peano. . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Méthodes d'Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Etude générale des méthodes à un pas. . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3.1 Consistance, stabilité, convergence. . . . . . . . . . . . . . 33
6.4 Méthodes de Runge-Kutta d'ordre2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
x' §m¢bp; 10?? m= 0;a1a2:::aN=NX k=1a kb¡k; b¡1·m <1: ¢x x =¢m m
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3?? ????10?
x= 8;22 = 0;822¢10; y= 0;00317 = 0;317¢10¡2; z= 0;00432 = 0;432¢10¡2: (x+y) +z????? ? x+y= 8;22317'0;822¢10 (x+y) +z'8;22432'0;822¢10 x+ (y+z)????? ? y+z= 0;00749'0;749¢10¡2 x+ (y+z) = 8;22749'0;823¢10
0= 667487;p
0= 816;9987760;
x
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0'1633;998776;
x
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0'0;0012240:
x 2=2 x
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Ax=b; ??A= (aij)?1·i;j·n? ??????? ??? ??????? ?? ??????n£n?? ??????? n X j=1a ijxj=bi; i= 1;:::;n: x i=det(Ai) det(A); i= 1;:::;n; det(A) =X
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i=1a i;¾(i) a ij= 08i;j: 1·j < i·n a ij= 08i;j: 1·i < j·n: x
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?? ????i= 2;3;:::;n x i=1 a ii0 bi¡i¡1X j=1a ijxj1 A x n=bn=ann; ?? ????i=n¡1;n¡2;:::;2;1 x i=1 a ii0 bi¡nX j=i+1a ijxj1 A Le nombre de multiplications et de divisions nécessaires dans cet algorithme est ij=aij????i;j= 1;:::;n? ???? k= 1;:::;n?? ??????? l ik=a(k) ik a (k) kk; i=k+ 1;:::;n; a (k+1) ij=a(k) ij¡lika(k) kj; i=k+ 1;:::;n: u ij=a(i) ij; n¡1X k=12(n¡k)2= 2n¡1X j=1j
2= 2(n¡1)n(2n¡1)
6
»2n3
3 ??? ??????a(k) kk?? ?? ???????U?? A=2
41 2 3
2 4 5
7 8 93
5
A(2)=2
41 2 3
0 0¡1
0¡6¡123
5 A ????i= 1;:::;n jaiij>nX j=1;j6=ijaijj: ???? ????j= 1;:::;n jajjj>nX i=1;j6=ijaijj: det(A) = det(L)det(U) = det(U) =nY k=1u kk; P (k;r)=2 6
666666666641 0:::0 0
:::0:::1::: :::1:::0:::
0 0:::0 13
7
777777777751
k r n
LU=PA;