Le but est de résoudre : 2y’ + 3y = x² + 1 (E1) 1) Montrer que la fonction f telle que f(x) = 27 17 9 4 3 ² − + x x est solution de (E1) 2) Montrer que g + f est solution de l’équation (E1) si et seulement si g est solution de l’équation différentielle (E2) : 2y’ + 3y = 0 3) En déduire toutes les solutions de (E1)
Correction Si l’on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le systeme est libre ` Exercice 9Soit F = { a b c 0 d e 0 0 f : a,b,c,d,e,f r´eels } Montrer que F est un espace vectoriel, en trouver une base et la dimension Correction On trouve 6 pour la dimension
1 Montrer que f est continue en 0 2 Étudier la dérivabilité de f en 0 Solution : 1 On a lim x→0+ x2 = 0 Donc, f est continue en 0 2 On a : lim x→0+ x2 −0 x −0 = lim x→0+ x = 0 Donc, f est dérivable à droite en 0 et f′ d(0) = 0 De même, il est clair que f est dérivable à gauche en 0, avec f′ g(0) = 0 Donc, f est
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de RN, l’espace vectoriel des suites réelles Montrer que si u ∈F ∩G, alors u est constante en déduire que la somme F +Gest directe 2 Solution: L’équation caractéristique d’une suite de F est r2−r−3=0 Ses racines sont r1= 1− √ 13 et r2= 1+ √ 13 2 Ainsi
6 Si F est un hyperplan vectoriel de F (i e un sous-espace vectoriel de dimension n 1), on dit que ˙ F est une réflexion Montrer que det˙ F = 1 7 Montrer que l’ensemble des isométries vectorielles de E forme un
Exercice 12 : [corrigé] Soit E un Kespace vectoriel et f ∈ L(E) telle que f2−3f +2Id E= 0L( ) (Q 1) Montrer que f est un isomorphisme en montrant qu’elle est injective et surjective (Q 2) En utilisant votre travail effectué sur la surjectivité, calculer son application réciproque en fonction de f
• On dit que f est différentiable sur Ω si elle est différentiable en tout point a∈Ω Dans ce cas on a une application Df (ou D1f ou f ’) de Ω dans L (E,F), appelée application dérivée (1) On dit que f est une primitive de Df • On dit que f est p fois différentiable en a si : - Dp−1f est définie sur un voisinage ouvert Ω
Algèbre linéaire 1 1 Applications linéaires : 1 1 Rang de f2: Eest un K -espace vectoriel de dimension nie n Soit f∈ L(E) 1- Montrer que rg (f2) = rg f−dim(kerf∩Im f)
Montrer que l'ensemble fxn:n 2 N g[f xg est compact Dé nition 3 15 Soit (X;d ),(Y;D ) deux espaces métriques Une fonction f :X Y est un homéomorphisme si f est une bijection telle que les fonctions f et f 1 soient continues Proposition 3 16 Soit (X;d ), (Y;D ) deux espaces métriques compacts, et f :X Y une bijection continue
Proposition 3 Si f :E → F est une application linéaire, alors l’image d’un sous-espace vectoriel de E est toujours un sous-espace vectoriel de F ; et l’image réciproque de tout sous-espace vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E Corollaire 1 Si f :E → F est une application linéaire, alors ker(f)est un sous-espace
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Chapitre 7 Fonctions dérivables
) et donc il est obligatoire que lim x→a f(x) = f(a) D’où : Théorème 2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I de Ret soit aun réel élément de I Si f est dérivable en a, alors f est continue en a Ce théorème signifie qu’une fonction discontinue en ane peut en aucun cas être dérivable en a Une fonction est
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Dérivabilité des fonctions Définition de la dérivabilité
Sur un intervalle Les fonctions usuelles sont dérivables sur leur ensemble de définition ouvert Si dans un énoncé, on demande de montrer qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x) x +8 est dérivable sur ]−8;+∞[ Taille du fichier : 47KB
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Fonctions dérivables 1 Calculs - Mathovore
1 Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t =0 2 Etudier l’existence de f00(0) 3 On veut montrer que pour t
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Chapitre 2 : Continuité et dérivabilité
Dire que est dérivable en , c’est dire que lorsque ℎ tend vers r, le taux de variation ????(????+ℎ)−????(????) ℎ tend vers un réel H, ce que l’on note lim ℎ→0 ( +ℎ)− ( ) ℎ = H ???? ′é ???? ???? lim ????→???? ( )− ( ) − = H
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Continuité et dérivabilité d’une fonction
point de I On dit que la fonction f est dérivable en a si et seulement si le taux d’accroissement de la fonction f en a admet une limite finie ℓen a, c’est à dire : lim h→0 f(a +h)− f(a) h =ℓ Dans ce cas, on appelle ℓle nombre dérivé de f en a et on le note f′(a) Lorsque la fonction f est dérivable sur un intervalle I, on note f′, la fonctionTaille du fichier : 162KB
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Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t =0 2 Etudier l’existence de f00(0) 3 On veut montrer que pour t
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Khôlles MPSI Dérivation Sujet A mpsi
Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0 f est dérivable sur R ∗ − en tant que composée de fonctions dérivables, et sur R ∗ + car elle est nulle sur cet intervalle; étudions donc la dérivabilité en 0 On a f(t)−f(0) t = (e1/t/t si t < 0 0 si t >0 or e1/t/t tend vers 0 quand t tend vers 0 par valeurs négatives Donc f est
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TD11-corrigé
puis montrer que ’ est un produit scalaire sur E Arguments attendus sur l’existence (attention, ce ne sera pas forcément précisé, il faut que vous remarquiez de vous-même le fait que l’on travaille avec une intégrale généralisée â t7P ( )Q e¡t est continue sur [0,¯1[ P etQ étant deux polynômes, on sait que fl flP(t)Q(t)e¡t fl fl ˘ ¯1 o(1 t2) (utilisation des
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Activité 2 : Un mécanisme de l'évolution la dérive génétique
humain est contrôlé par un gène localisé sur le chromosome 9 et présentant trois allèles (A, B et O) Quel que soit le milieu, le fait de posséder tel ou tel allèle ne confère aucun avantage particulier PROTOCOLE Sélectionner des géniteurs dans une population (génération 0=G0) : Sélectionner les parents à l’origine d’une population Effectuer un tirage au hasard (sans regar
ce qui montre que f est continue en x0 La réciproque est fausse Par exemple, la fonction f : x ↦→ x est continue en 0, mais n'est pas dérivable en ce point
MHT chap
Si dans un énoncé, on demande de montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, il y a juste une phrase à faire Exemple Montrer que f(x) = (x² + 3x) 8
dvbilite
ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Exemple : Montrer que la fonction f définie par f(x)=x² ln x pour x >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur
Continuite derivabilite
Méthode 1 : Pour montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle I • S'il n'y a Montrer que f est dérivable sur [0; +∞[ et calculer sa dérivée Solution : f
Cours Chapitre
FONCTIONS DERIVABLES 1 La dérivée d'une fonction Définition Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction et a ∈ I On dit que f est dérivable en a si
resume an
3) a) Montrer que f est dérivable à gauche en 1 b) Déterminer une équation de la tangente à gauche à la courbe C au point A Tracer également cette tangente 4)
derivabiliteEXOSCORRIGES
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I Dans ce cas , la fonction qui à tout On veut démontrer que : lim +→k ( )> +ℎ?
DeriP M
lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h Exemple : Soit la fonction f(x) = ln(1 + x) Montrer que f est dérivable en x = 0 Le taux d'accroissement de f en 0 est : f(x) − f(0) x − 0
derivabilite
f(x) = ( x + exp(1/x2), si x > 0 sin x, si x 0 1 Montrer que f est dérivable en tout point x de R⇤ en calculant sa dérivée 2 f est-elle dérivable
FDM TD
Plus généralement la fonction f est dérivable en tout x0 ? R et f?(x0)=2x0. Pour montrer que f?1 est dérivable sur tout un intervalle J = f(I)
La dérivée d'une fonction. Définition. Soient I un intervalle de R f : I ? R une fonction et a ? I. On dit que f est dérivable en a si f(x) ? f(a).
dérivable en f(x0) montrer que g ? f est bien dérivable en x0. [Cours] Soient I un intervalle ouvert et f une fonction dérivable et strictement.
Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
7 Kas 2014 Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est ... Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet qu'une solution sur R. On donnera ...
L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a.
f(x) = ( x + exp(1/x2) si x > 0 sin x
Donc f n'est pas dérivable en 0. (Faire un dessin pour la tangente). Exercice 9. Montrer par la définition que la fonction sin est dérivable sur R et donner
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
1 (a)Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f0(x) pour x >0: (b)En étudiant le signe de f0(x)sur R+;montrer que f atteint un minimum sur R+ que l’on déterminera 2 (a)En déduire l’inégalité suivante: (1+x)n 62n 1(1+xn); 8x 2R+: (b)Montrer que si x 2R+ et y2R+ alors on a (x+y)n 62n 1(xn +yn): Correction H Vidéo [000739] 1
Dé?nition 8 10 – Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point x 2I Alors la fonction f 0: I! R x 7! f 0(x) avec 8a 2I lim x!a f 0(a) ? f (x)¡ a x¡a est appelée la fonction dérivée de la fonction f Exemple 8 11 – † La fonction carrée est dérivable sur R
La fonction f est le produit d’un polynôme (x² + 3x) dérivable sur R et d’une racine continue sur ]?8;+?[donc elle est dérivable sur ]?8;+?[ Attention : vous remarquerez la différence entre l’exemple de la continuité et celui-ci : l’intervalle d’étude est totalement ouvert ! En un point Là encore il n’y a qu’une
2) ????est une fonction dérivable sur ? donc continue sur ? L’image de l’intervalle ? par ???? c’est-à-dire ???? ?/ est donc aussi un intervalle Reste à montrer que ????est soit un singleton ^????‘ c’est-à-dire un intervalle de la forme [????;????] soit ? tout entier
1 La fonction f est croissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f0>0 alors f est strictementcroissante 2 La fonction f est décroissante si et seulement si f0(x) 0 pour tout x2I Si f00 telque]x 0 ;x 0 + [ˆI
Démontrer que f est dérivable en 3 et calculer f ?(3) Exercice n° 2 Soit f la fonction définie sur ? par : () 2 1 si 0 1 si 0 x x f x x x ? < = ? ? La fonction f est-elle dérivable sur ?? Exercice n° 3 f est la fonction définie sur ? par f x x()= +2 3 a) Pour tout réel h ?0 démontrer que : () 2 0
Quelle est la dérivabilité d’une fonction?
1 Fonctions dérivables en un point 1.1 Dé?nition de la dérivabilité en un point Définition 1. Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle ouvert I de Rà valeurs dans R(resp. C). Soit x0un réel élément de l’intervalle I. La fonction f est dérivable en x0si et seulement si le rapport f(x)?f(x0) x?x0
Comment montrer que f est dérivable en a ?
On dit que f est dérivable en a lorsque au (h) tend vers un nombre réel quand h prend des valeurs proches de 0. Ce réel est appelé nombre dérivé de f en a et est noté f^ {prime} (a). On écrit alors : f^ {prime} (a) = mathop {lim}limits_ {h rightarrow 0} { dfrac {f (a+h)-f (a)} {h}}. Quand h est proche de 0, on dit que « h tend vers 0 ».
Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant un intervalle de la forme [ a, t] où t ? a, on dit que f est dérivable à droite en a si la restriction de f à l'intervalle [ a, t] est dérivable en a. On note alors la dérivée en a de cette restriction, et on l'appelle le nombre dérivé de la fonction f en a à droite.
Comment reconnaître la dérivabilité ?
Par contre, la notion de dérivabilité retrouve un sens quand f est prolongée en continuité en x0. Attention : la réciproque n’est pas vraie : il est possible (mais ce n’est pas un cas courant) de construire des fonctions continues qui n’admettent pas de dérivée, la fonction étant très « instable » en tous lieux et à toutes les échelles.
Dérivabilité