(c) Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est tou-jours un nombre irrationnel 2 (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un nombre ra-tionnel (b) Est-il vrai que le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier
2, montrer que jån k=1 a kb kj6 q ån k=1 a 2 k q ån k=1 b 2 k (inégalité de CAUCHY-SCHWARZ) 2 En déduire l’inégalité de MINKOWSKI: p ån k=1 (a k +b k)2 6 q ån k=1 a 2 k + q ån k=1 b 2 (l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur ou égal
Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique Définition 1 R˘R[{¡1,1} 1 3Mini-exercices 1 Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel Montrer que le produit de deux ration-nels est un rationnel Montrer que l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel Qu’en est-il pour les
2) Montrer que si a,b,c sont les longueurs des côtés d’un triangle quelconque, alors a b c b c a c a b a b c EXERCICE 12 : 1) Montrer que la somme et le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel 2) Montrer que la somme d’un irrationnel et d’un rationnel est un irrationnel
2, montrer que jån k=1 a kb kj q ån k=1 a 2 q ån k=1 b 2 k (inégalité de CAUCHY-SCHWARZ) 2 En déduire l’inégalité de MINKOWSKI: p ån k=1 (a k +b k)2 q ån k=1 a 2 k + q ån k=1 b 2 k (l’inégalité de CAUCHY-SCHWARZ affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est inférieur ou égal
Montrer que √ p est un nombre irrationnel Soit n ∈Ntel que n >2 Montrer que p n1 est un nombre irrationnel 2 Le produit de deux nombres rationnels est-il rationnel, qu’en est-il de celui de deux irrationnels? et de celui d’un irrationnel par un rationnel? ⊲ Exercice 2 2 Soit x un nombre réel Que pensez-vous des énoncés suivants?
5 Le quotient de deux entiers est un décimal 6 Le quotient de deux décimaux est un décimal 7 Le quotient de deux rationnels est un rationnel 8 Le quotient d’un rationnel par un entier relatif est un rationnel Exercice 5 Des rationnels inattendus 1 Montrer que r 2 5 + r 5 22 est un nombre rationnel 2 Plus généralement, si a
2 Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle D emonstration Pour montrer que l’a rmation est fausse, il su t de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x 1 = 10 p 2 et x 2 = p 2 Ce sont deux nombres irrationnels : x 2 est irrationnel d’apr es le cours et x 1 = 10 + (p
Etant donn´ ´e que le produit de deux entiers consecutifs est toujours pair, les valeurs que l’on vient d’obtenir forment une solution d´ es que` a > 1 Pour a = 1 (i e k = 3), au contraire, il n’y a pas de solution, car l’´egalit e´ (x-y+1)(x+y+2) = 2 ne
Montrer que le produit c = a b est bien en entier 10-adique, dont le développement 10-adique c = :::c 2c 1c 0 est tel que c nc n 1:::c 0 a na n 1:::a 0 nb nb n 1:::b 0 (mod 10 +1) Exercice 10 Soit p un nombre premier Montrer que le rationnel 1 p admet un unique développement 10-adique Exercice 11 Montrer que tout rationnel admet un unique
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Exercices 2
2 (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un nombre ra-tionnel (b) Est-il vrai que le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier (c) Montrer que le produit d’un nombre rationnel non nul et d’un nombre irrationnel est toujours un nombre irrationnel 3 Montrer que √
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Les nombres réels
Montrer que le produit de deux ration-nels est un rationnel Montrer que l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel Qu’en est-il pour les irrationnels? 2 Écrire les nombres suivants sous forme d’une fraction : 0,1212; 0,1212 ˆ ; 78,33456456 ˆ 3 Sachant p 2ÝQ, montrer 2¡3 p 2ÝQ, 1¡ p1 2 ÝQ 4 Notons D l’ensemble des nombres de la forme a 2n avec a 2Z et n 2N Montrer que 3Ý D Trouver
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Suites r´eelles - univ-rennes1fr
13) Le produit de deux r´eels positifs ou nuls est positif ou nul : ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, (0 ≤ x et 0 ≤ y) =⇒ 0 ≤ xy Un corps muni en plus d’une relation d’ordre v´erifiant les propri´et´es 10–13 est appel´e un corps totalement ordonn´e Les corps Q et R sont des corps totalement ordonn´es Taille du fichier : 147KB
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Les nombres réels - Cours et exercices de mathématiques
Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique Définition 1 R = R[f1,1g Mini-exercices 1 Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel Montrer que le produit de deux rationnels est un rationnel Montrer que l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel Qu’en est-il pour les irrationnels?Taille du fichier : 171KB
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Nombres réels 1 Manipulation de la borne sup dans R
2 Le produit de deux nombres rationnels est-il rationnel, qu’en est-il de celui de deux irrationnels? et de celui d’un irrationnel par un rationnel? ⊲ Exercice 2 2 Soit x un nombre réel Que pensez-vous des énoncés suivants? •Si x7 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel •Si x9 et x12 sont rationnels, alors x est rationnel ⊲ Exercice 2 3 1 Montrer que √
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Les rationnels, les réels - Exo7 : Cours et exercices de
Soient A et B deux parties de R, non vides et bornées Montrer que sup A, sup B, sup(A+B), inf A, inf B, inf (A+B) existent et que l’on a sup (A+B) = sup A+sup B et inf (A+B) = inf A+inf B (A+B désigne l’ensemble des sommes d’un élément de A et d’un élément de B) Correction H [005210] Exercice 3 ** Soit A= 1 n +( 1)n; n2N Déterminer sup A et inf A Taille du fichier : 223KB
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Chapitre 1 : Les nombres rationnels Les différentes sortes
une infinité de nombres rationnels)? Réponse surprenante : non, il est possible de dénombrer les nombres rationnels (de les compter avec des entiers) sans en oublier aucun Par exemple on peut compter les rationnels strictement positifs en faisant : n°1:1 1; n°2: 2 1; n°3: 1 2; n°4: 3 1; n°5: 2 2; n°6: 1 3; etc On fait augmenter progressivement la somme du numérateur et du dénominateur (elle vaut 2Taille du fichier : 411KB
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Irrationalité de e x est dit rationnel
méthode due à Nicolas Dominique Marie Janot de Stainville3 Pour tout n 2 N, on pose rn = ∫ 1 0 (1 x)n n ex dx 1 Calculer la valeur de r0 2 En effectuant une intégration par parties, calculer la valeur der1 3 Montrer que pour tout n 2 N, on a : rn = 1 (n+1) +rn+1: 4 En déduire que : 8n 2 N; e = ∑n k=0 1 k +rn: 5 (a) Montrer que pour tout 2 N, 0 rn e n
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Th eor eme de Gauss - Sp e maths - Terminale S : Exercices
Soient a et b deux rationnels (tous deux non nuls) tels que a + b et ab sont des entiers On pose a = p 1 q 1 avec p 1 et q 1 deux entiers premiers entre eux (avec q 1 > 0) et b = p 2 q 2 avec p 2 et q 2 deux entiers premiers entre eux (avec q 2 > 0) 1 Montrer que q 1 divise q 2 2 En d eduire que q 1 = q 2 3 Prouver que a et b sont des entiers Un probl eme de restes chinois
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Cours de mathématiques MPSI
produit de deux éléments de B D’autre part, si x 2A et y 2B, alors x 6y car y ¡x ˘ y ¯(¡x) : somme de deux éléments de B Si x et y sont deux réels quelconques, on a x ¡y 2A ou x ¡y 2B, c’est à dire x ¡y 2B ou y ¡x 2B, c’est à dire encore x 6y ou y 6x Deux réels sont donc toujours comparables, l’ordre est total Notation: On pose A ˘R¯ et B ˘R¡
Raisonnons par l'absurde et supposons que x1 + x2 est rationnel Il existe alors p ∈ Z,q ∈ N Pour montrer que l'affirmation est fausse, il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10− √
chap ex
Montrer que si (rn)n∈N est une suite de nombres rationnels telle que rn+1 n ∈ N, o`u λ est un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme
Fiche d correction
Montrer que le nombre 0,ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ▽ [005214] de CAUCHY-SCHWARZ affirme que le produit scalaire de deux vecteurs est
fic
Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires, on multiplie les Deux nombres relatifs sont inverses lorsque leur produit est égal à 1
nombres rationnels produit et quotient
Vous connaissez beaucoup de nombres rationnels : un réel x est dit rationnel Le but de ce problème est, entre autres, de montrer l'irrationalité du nombre e En utilisant la formule de dérivation d'un produit 2, et en apportant toutes les Si u et v sont deux fonctions réelles définies, dérivables et à dérivée continue sur
IrrationaliteE
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs
les nombres entiers et rationnels cours
Définition : un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire pour la forme a b ou − a Remarque : En particulier, pour démontrer que deux nombres en écriture égaux, il suffit de démontrer que leurs produits en croix ne sont pas égaux
cours fractions
Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs La somme Les rationnels et les irrationnels sont intimement mêlés, comme le montre le théo- Si x et y sont deux réels quelconques, la valeur absolue du produit xy est le produit
nr
Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas Définition : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a On montre par exemple que 3 peut se calculer de la façon suivante :
chap cours
Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10?
On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs
Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux en respectant la règle des
soit en langage courant : il existe un nombre rationnel ? > 0 et des Montrer que la suite (rn)n?N de nombres rationnels définie par r0 = 2 et rn+1 = 1+
Montrer que si p a une racine rationnelle Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme `a terme :
(c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est tou- (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un
En déduire une conjecture permettant de calculer le produit de deux Une fraction est un quotient de deux nombres entiers (donc un nombre rationnel)
Montrer que si p a une racine rationnelle ? Exercice 8 Soient A et B deux parties bornées de R On note A+B = {a+b (a b) ? A×B} 1 Montrer que supA
que le nombre 0ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ? [005214] Exercice 7 ** Identité de CATALAN Montrer que pour tout entier
[PDF] Chapitre 1 exercice 3 1 Vrai : la somme dun nombre rationnel et d