Une méthode va être vu tout de suite, une autre sera développée dans le chapitre « Fonctions usuelles » Méthode : On part de l’inégalité a ≤ b et, en reconstruisant par étapes la fonction f et en utilisant les propriétés des inégalités vues au 2 2, on aboutit à une relation entre f (a) et f (b)
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI Montrer que, pour a réel positif et n entier naturel donnés, (1+a)n >1+na Correction H [005147] Exercice 3 *** On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations + et ) que pour n2N, (1+ 1 n) n
Si on multiplie une in´egalit´e par un nombre positif, on ne change pas le sens de l’in´egalit´e; si on multiplie une in´egalit´e par un nombre n´egatif, on change le sens de l’in´egalit´e Exercice -Montrer que, pour tous les r´eels x, y, z et t tels que x ≤ y et z ≤ t, on a x +z ≤ y +t D’apr`es (v), x + z ≤ y + z
DISTANCE ET VALEUR ABSOLUE
V Valeurs absolues et opérations ♦ La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues Pour tous réels a et b, a × b = a × b ♦ La valeur absolue d'un quotient est égale au quotient des valeurs absolues Pour tous réels a et b, b ≠ 0, a b = a b
De la même façon, en posant h(x) = m x – f(x), on montre l’autre inégalité 2 Théorème des inégalités des accroissements finis avec valeurs absolues Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I S’il existe un réel positif M tel que pour tout x appartenant à I tels que f'(x)⩽M, alors quels que
Exercice n 5 Résoudre des (in)équations avec valeurs absolues a) Géométriquement : Résoudre, sans calcul et en utilisant uniquement la droite numérique, les(in)équationsd’inconnuex2R : jx 1j= 1 jx+ 1j 2 jx 1j jx 2j b) Algébriquement: Résoudre,les(in)équationsd’inconnuex2R : j1 x2j= j1 + xj jx+ 1j j2x+ 1j+ 1 jx2 2j jxj
25 Établir une inégalité 104 26 Résoudre une équation avec des valeurs absolues ou des radicaux 108 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux 112 28 Manipuler la partie entière 116 Fonctions : généralités 29 Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction 119
• Inégalité triangulaire Définition 1 Exemple 3 — Résoudre l’inéquation : j2 xj+j2x+4j 5 d’inconnue x 2R SF 3 : résoudre une inéquation avec des valeurs absolues Soient x;a2R et r 2R+ • jxj r si et seulement si : • jx aj r ssi : Théorème 2 : Interprétation géométrique • Lien avec la racine carrée Soit x 2R et
Pente d’une droite de R2 Soit Dune droite du plan R2 non parallèle à l’axe des ordonnées : Dadmet donc une unique équation de la forme y=ax+b, avec (a,b)∈R2 On appelle penteou coefficient directeur de Dle réel a L’interprétation géo-métrique est claire : si M1 et M2 sont deux points distincts de Dde coordonnées respectives
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Inégalités – Valeur absolue - Free
Opérations portant sur une inégalité : a, b, c et k désignent quatre nombres réels 1 Si a ≤ b alors a+c ≤ b+c Ajouter (ou soustraire) un nombre ne change pas l’ordre 2 Si a ≤ b et k > 0 alors k ×a ≤ k ×b Multiplier (ou diviser) par un nombre strictement positif ne change pas l’ordre 3 Si a ≤ b et k Taille du fichier : 383KB
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Valeurs absolues Partie entière Inégalités
k sont nuls et l’inégalité est immédiate Finalement, dans tous les cas, jån k=1 a kb kj6 q ån k=1 a 2 k q ån k=1 b 2: Cette inégalité est encore valable en remplaçant les a k et les b k par leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités intermédiaires Retrouvons alors l’inégalité de Taille du fichier : 240KB
DISTANCE ET VALEUR ABSOLUE - Mathadoc
VII Équations et valeurs absolues Résoudre x – 2 = 3 Il existe deux façons de déterminer les solutions de cette équation : • en utilisant les distances Puisque x – 2 = d (x; 2), on cherche les nombres x tels que d (x; 2) = 3 On a donc S = {– 1; 5} • en utilisant les propriétés de la valeur absolue
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Première S Exercices valeur absolue 10-11
Partie 1: Additionner deux valeurs absolues en utilisant la droite graduée des réels 1) L’équation s’écrit à l’aide de distances : AM + BM = 11 2) a) Si M ∈ [AB] alors AM + BM = AB = 7 Or 7 ≠ 11 donc pas de solution correspondante pour l’équation (1) Taille du fichier : 218KB
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Fonction valeur absolue exercices corrigés pdf
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9782340-026940 001 504
25 Établir une inégalité 104 26 Résoudre une équation avec des valeurs absolues ou des radicaux 108 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux 112 28 Manipuler la partie entière 116 Fonctions : généralités 29 Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction 119
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Des outils pour les suites - prepacomnet
On peut donc appliquer l’inégalité des accroissements finis Soit et deux nombres réels de l’intervalle I Si N , on aura Y NK K NY Et donc en repassant aux valeurs absolues : ZK K ZNY Si N, on aura Y NK K NY Et donc en repassant aux valeurs absolues : ZK K ZNY Dans le premier cas, puisque N , Taille du fichier : 92KB
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Entre la Terminale et les CPGE scientifiques
Pente d’une droite de R2 Soit Dune droite du plan R2 non parallèle à l’axe des ordonnées : Dadmet donc une unique équation de la forme y=ax+b, avec (a,b)∈R2 On appelle penteou coefficient directeur de Dle réel a L’interprétation géo-métrique est claire : si M1 et M2 sont deux points distincts de Dde coordonnées respectives (x1,y1)et (x2,y2),alors a=
o`u les bi et les aj peuvent prendre n'importe quelle valeur parmi {0, 1, 2,3,4,5,6,7 ,8,9} • Par exemple, 34 La valeur absolue d'un nombre réel x est le nombre qui donne la distance qui sépare ce nombre x − y il suffit de démontrer que
valeurabsolue
Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés Exemples : 1 A la calculatrice : 28 9 ≃ 3, 11 et π ≃ 3
inegalites et valeur absolue
On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : −3x + 4 = 0 soit x = 4 3 −5 + x = 0 soit x = 5 On remplit un tableau de forme : x −∞ 4 3 5
Fiche sur equation et inequation avec des valeurs absolues
Méthode Montrer une identité Proposition 2 4 Propriétés de la valeur absolue montrer qu'une égalité est toujours vraie tandis que dans le second cas,
EgalitesInegalites
VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS Démontrer que pour tous réels A et B, on a : A B − On procède de même pour prouver l'égalité min(a, b) = a b
ValAbs nde
Résolutions d'équations et d'inéquations avec des valeurs absolues en utilisant un axe On utilise le signe d'égalité avec trois petits points qui signifient que toutes les décimales sont exactes On veut démontrer que : x ∈ y ∈ xy
C A re S Cours sur la valeur absolue version retir C A e du site le
3 3 Équations etinéquations avecdesvaleurs absolues 4 Encadrements et valeurs approchées 12 On montre de la même façon la seconde inégalité £ ¢ Il existe deux points M1 et M2 vérifiant cette égalité, ils ont
ordre valeur absolue
Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que quels que soient les réels x et y, on a A(x + y) A(x) + A(y) (a) Elever l'égalité précédente au carré
ANALYSE TD
Plus généralement les différents types d'intervalles sont donnés dans le tableau 1 (où a et b représentent deux réels
Exercice 2 *I Inégalité de BERNOULLI. Montrer que pour a réel positif et n entier naturel donnés
On en déduit que : =3 ou =7. Méthode : Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues. Vidéo https://youtu.be/kTJ09D1Bzs0. Résoudre
Équation et inéquation avec des valeurs absolues. 1 Équation On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : ?3x + 4 = 0.
6 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 27 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.
Soit x un nombre réel on définit la valeur absolue de x par : Pour résoudre une équation (ou inéquation) avec des valeurs absolues
Vous ne songez pas aux problèmes de signe ou de valeur absolue. Songez à tester la justesse de vos inégalités avec des valeurs particulières de x!
Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que x est solution de (1) si et seulement si ... Démontrer les égalités et inégalités suivantes.
valeur absolue seront revues spécifiquement dans un chapitre ultérieur et on s'interdira momentanément toute étude de fonction pour démontrer une inégalité.
15 Montrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur 28 Résoudre une inéquation avec des valeurs absolues ou des radicaux.
Inégalités – Valeur absolue