Dé nition 8 ( [dSP] p 51 ) Une forme quadratique qest non-dégénérée lorsque kerq= 0 Exemple 5 ( [dSP] p 51 ) La forme quadratique rT : M n(K) K A 7 rT (A2) est non-dégénérée Proposition 5 ( [dSP] p 51 ) La forme quadratique qest non-dégénérée si et seulement si l'application b g: E E x 7 b(x;) est un isomorphisme de K
Soient k un corps de caractéristique di érente de 2, E un espace vectoriel de dimension nie non réduit à 0 et H un hyperplan de E Soient q une forme quadratique non dégénérée sur E de et u un élément de O(q) véri ant u H = id H a) Si q H est non dégénérée, montrer que u est soit l'identité, soit la ré exion orthogonale d'hy
1 2 matrice d'une forme quadratique,rang Dé nition 2 On appelle matrice d'une forme quadratique Qla matrice de la forme bilinéaire associée , ie (’(e i;e j) où B= (e i) est une ase b Le angr de Qest alors le angr de la matrice Exemple 2 La matrice de la forme quadratique denteprécé est I n Proposition 3 Changement de ases:b Si P= M
Montrer que q est une forme quadratique La forme q est-elle dé nie? Si ec 'estn asp le as,c exhiber un vecteur isotrope non nul 3 (1,2) et q est non
n ≥ 2 Soit q une forme quadratique non dégénérée sur E, possédant des vecteurs isotropes a) Rappeler la dé nition de la norme spinorielle N : SO(q) → F×/F×2 b) Supposons n = 2 Montrer que le noyau de N est Ω(q) Soient P un plan hyperbolique de E et u un élément de O(q)
2forme quadratique 2 1def Une forme quadratique sur un espace vectoriel Eest une application q: EF telle qu'il existe une forme bilinéaire symétrique B: E EFtelle que 8u2E;q(u) = B(u;u) La forme Bs'appelle la forme bilinéaire associée à Q, ou encore la forme polaire de q q est dite dé nie si : 8x6= 0 ;q(x) 6= 0
a) Une forme bilinéaire non dégénérée n'a pas de vecteurs isotropes b) Une forme bilinéaire anisotrope est non dégénérée c) Sur R, une forme est anisotrope ssi elle est dé nie positive ou négative d) Sur Q, une forme est anisotrope ssi elle est dé nie positive ou négative e) Une forme quadratique qest dé nie positive si q(e
Dans toute la suite, qdésignera une forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel E de dimension n Dé nition 1 Soit Psous-espace vectoriel de dimension 2 de E On dit que c'est un plan hyperbolique ourp qs'il existe xet ydans Etels que (x;y) soit une aseb de Eet q(x) = q(y) = 0 et f(x;y) = 1 Dé nition 2
Une forme quadratique est positive si sa signature autv (r;0), dé nie positive si sa signature autv (n;0) La forme bilinéaire symétrique qui lui est associée est non dégénérée si le rang de qest r= n
4) On note qla forme quadratique sur R4 dont la matrice dans la base canonique est A Que autv q(x) pour x2R4? Quelle est la signature de q? Exercice 16 Soient T2M n(R) une matrice antisymétrique non nulle, et S2M n(R) une matrice symétrique dé nie positive 1) (a) La matrice Test-elle diagonalisable dans M n(R)? et S? (b) Montrer que det
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Formes quadratiques - wimsuniv-mrsfr
1 q est non dégénérée si b est non dégénérée c’est-à-dire (8y 2E; b(x;y)=0)=)x =0: 2 q est positive si b est positive 3 q est définie positive si b est définie positive La proposition suivante donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une forme qua-dratique soit non dégénérée
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UFR MATH EMATIQUES - univ-rennes1fr
Une forme quadratique s’ ecrit donc sous la forme : q(x) = X 1 i;j n m ijx ix j = Xn i=1 m iix 2 i + 2 X 1 i
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Leçon 170 : Formes quadratiques sur un espace vectoriel de
La forme quadratique rT : M n(K) K A 7 rT (A2) est non-dégénérée Proposition 5 ( [dSP] p 51 ) La forme quadratique qest non-dégénérée si et seulement si l'application b g: E E x 7 b(x;) est un isomorphisme de K-espaces vectoriels Démonstration: Il su t de remarquer que kerq= kerb g Ainsi : qest non dégénérée ,rg (q) = dimE,rg (b g) = dimE= dimE
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Formes quadratiques, orthogonalité (TD6)
Si n = 1, montrer que toute forme quadratique non dégénérée sur E est équivalente à x2 ou αx2 b) Soient a,b ∈ F× Montrer que l'équation ax2 +by2 = 1 possède une solution dans F2 c) Montrer que toute forme quadratique non dégénérée sur E est équialenvte à q 1(x 1, ,x n) = x 2 1 +···+x2n ou q α(x 1, ,x n) = x21 +···+x2n −1 +αx2n
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C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { } Sinon on dit qu’elle est dégénérée Ex : si En particulier , ( ) ()() donc q est régulière 5 Cône isotrope et conique projective DEFINITION 21 : ISOTROPETaille du fichier : 504KB
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131: formes quadratiques; orthogonalité, isotropie
Proposition 6 Si une forme quadratique est non dégenereé on a??A= E, dim(A)+dim(?A) = dimEmais A et?Ane sont asp néessaircement en somme dircte e 1 4 Isotropie Dé nition 6 un vecteur est dit isotrope ssi q(x) = 0 le ônec isotrope est l'ensemble des vecteurs isotropes Une fq est dite dé nie ssi son ônec isotrope est trivial Dé nition 7 Un sev est dit totalement isotrope ssi tous ses vecteurs sont isotropes
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Formes quadratiques r eelles Exemples et applications
D e nition 2 On appelle forme quadratique sur E toute application q de la forme q: E R x 7 ’(x;x) ou ’est une forme bilin eaire sym etrique sur E Exemples {Dans R3, q(x;y;z) = 3x2 + y2 + 2xy 3xzest une forme quadratique {En dimension in nie, q : R[X] Rd e nie par q(P) = R 1 0 P(x)P00(x)dx est une forme quadratique sur R[X] Proposition 3 Soit q une forme quadratique sur E Il existe une unique
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MATHÉMATIQUES Corrigé du TD Formes quadratiques
Les valeurs propres étant de signes opposés, la forme quadratique est de signe in-déterminé Elle est non dégénérée puisque 0 n’est pas valeur propre Matrice A 2 = 5 2 2 2 La forme quadratique associée est Q(x 1;x 2) = 5x2 +4x 1x 2 +2x2 2 La matrice de passage Ppermet d’obtenir les coordonnées (y 1;y 2) par la formule Y = tPX On a trouvé dans l’exercice 41
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Formes bilinéaires symétriques Formes quadratiques Gram
Une forme quadratique est dite non dégénérée si rad(q) = 0 Une forme quadratique est non dégénérée ssi 9x2E;x6= 0 ;8y2E;˚(x;y) = 0 Si q est non dégénérée, dimW+dimW?= dimE, mais E n'est pas toujours la somme directe de W et de son orthogonal, comme la situation euclidienne pourrait le faire croire
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Remarque - Si q est non dégénérée, alors son noyau est réduit au vecteur nul 5 2 Construire une base orthogonale Soit q une forme quadratique définie sur un
V formes quadratiques
La forme bilinéaire symétrique b est dite non dégénérée quand son noyau est réduit `a {0} Si E est de dimension finie, le rang de b est le rang de l'application ϕb,
Bil
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { } Sinon on dit qu'elle est
fetch.php?media=p :algiv:chapitre vf
On dit que b est non dégénérée si son noyau est réduit à {0} Dans ce cas, la matrice Aq est inversible Plus généralement, on appelle rang de q, le rang de l'
Formes Quad
2 nov 2014 · n ⩾ 3, la forme quadratique q(x)=f(x)g(x) est dégénérée En effet, son rang est inférieur ou égal `a 2 donc son noyau est non réduit `a 0
memoire
est de rang 2 et de noyau Vect(1, 1, −1) Définition 8 ([dSP] p 51) Une forme quadratique q est non-dégénérée lorsque ker q = 0
ruffini memoire
e) Montrer que le noyau de L(B1) n'est pas réduit `a 0, en en exhibant un vecteur (ici un polynôme `a exposants dans I) non nul On consid`ere l'application D
quadrati
13 déc 2019 · NB : les deux premières sont de même rang, de même discriminant, mais ne sont pas congruentes Définition Soit q une forme quadratique sur
cours bilineaire dec
18 mai 2017 · Elle est dégénérée sinon – Pro : q est non-dégénérée ⇔ det(A) = 0 – Def : Une forme quadratique q est définie ssi
Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalite, isotropie. Applications.
Réciproquement, toute forme quadratique q sur E pro- vient d'une seule forme bilinéaire symétrique : celle dé- terminée, lorsque la caractéristique de k n'est pas 2
c
Remarque - Si q est non dégénérée alors son noyau est réduit au vecteur nul. 5.2. Construire une base orthogonale. Soit q une forme quadratique définie sur un
2 nov 2014 = 0 donc q est non-dégénérée. – Soit f et g deux formes linéaires sur E de dimension n alors pour n ? 3 la forme quadratique q(x)= ...
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE. On dit que q est régulière (ou non dégénérée). Si. { }. Sinon on dit qu'elle est dégénérée.
En dimension finie une forme bilinéaire symétrique b sur E ×E est donc non dégénérée si et seulement si sa matrice dans une base de E est inversible.
Un plan hyperbolique est un espace vectoriel P de dimension 2 muni d'une forme bilinéaire symétrique b non dégénérée
Une forme quadratique sur un espace vectoriel E de dimension finie est tout La restriction d'une forme quadratique non dégénérée à un sous-espace.
socier à E une forme quadratique non dégénérée (de rang n ou n+1 ) ; c'est et de caractéristique résiduelle 2 et la forme Q non dégénérée.
les formes quadratiques avant les formes bilinéaires c'est l'approche
espace de dimension minimale avec forme quadratique non dégénérée Qi contenant E et induisant Q sur E où F' est un espace de dimension 1.
voir être expliqué sur une forme quadratique de R3 ; le lien avec la des coniques affines non dégénérées doit être connue et les propriétés clas-.
Corollaire 16 – Une forme bilinéaire ? est non dégénérée si et seulement si Ker q = {0} o`u q est la forme quadratique associée `a ?
Une forme quadratique q est dite non dégénérée quand sa forme polaire l'est On définit le noyau et le rang d'une forme quadratique comme ceux de sa forme
Définitions 1 12 Soit q une forme quadratique sur E On dit que q est dégénérée (resp non-dégénérée) si la forme bilinéaire associée est dégénérée
2 nov 2014 · Remarque : det(M) = 0 ? q est non-dégénérée o`u M est la matrice associée `a la forme quadratique q Exemples : – Dans l'exemple précédent M=
DEFINITION 20 : FORME QUADRATIQUE REGULIERE OU DEGENEREE On dit que q est régulière (ou non dégénérée) Si { } Sinon on dit qu'elle est dégénérée
On dit que b est non dégénérée si son noyau est réduit à {0} Dans ce cas la matrice Aq est inversible Plus généralement on appelle rang de q le rang de
On l'ap- pelle le rang de la forme bilinéaire b (resp de la forme quadratique associée) Lorsque b est non dégénérée (i e de rang n i e de noyau
On dit d'un sous-espace F de E qu'il est totalement isotrope si la restriction de q `a F est nulle Lemme 12 Si q est une forme quadratique définie et non-
Une fbs/fq de rang n est dite non dégénérée III Cas des réels : positivité • Définition : Soit R ? EQ : une forme quadratique sur le R-ev E
1 4 Formes quadratiques non dégénérées Définition 1 5 Soit q : E ? R une forme quadratique de forme polaire b On dit que 1 q est non dégénérée si b
Comment montrer qu'une forme quadratique est non dégénérée ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .Quand Dit-on qu'une forme quadratique est dégénérée ?
Elle est dégénérée si et seulement s'il existe x = 0 tel que, pour tout y ? E, ?(x, y) = 0. Définition 14 – On appelle noyau de la forme quadratique q, et on note Ker q, l'ensemble {y ? E ; ?(x, y)=0}.Comment déterminer la forme quadratique ?
Caractérisation des formes quadratiques
L'application définie par ? ( x , y ) ? E × E , f ( x , y ) = 1 2 [ Q ( x + y ) ? Q ( x ) ? Q ( y ) ] est bilinéaire symétrique. Si ces conditions sont satisfaites, est la forme quadratique associée à et la forme bilinéaire symétrique est souvent appelée forme polaire associée à- Pour montrer que ?1 ? 1 et ?2 ? 2 sont des formes quadratiques, il faut trouver pour chacune une forme bilinéaire symétrique que nous noterons ?1 ? 1 ou ?2 ? 2 telle que ?1(A,A)=?1(A) ? 1 ( A , A ) = ? 1 ( A ) et ?2(A,A)=?2(A) ? 2 ( A , A ) = ? 2 ( A ) .
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