Méthode du pivot de Gauss On veut écrire un algorithme qui: 1 Renvoie l’unique solution de AX = B, si A est inversible 2 Sinon, indique que A n’est pas inversible (il peut donc exister aucune solution ou une infinité de solutions)
On considère un système linéaire de la forme AX = B avec A matrice carrée de taille n et B vecteur colonne de taille n La matrice A est supposée inversible donc le système admet une unique solution But : R ésolution de ce type de système linéaire par la méthode du pivot de Gauss -Jordan Principe : 1
Le théorème précédent nous donne un algorithme de résolution d'un système linéaire de n équations à minconnues C'est la méthode des pivots de Gauss Cette méthode nous donne aussi un moyen de calculer le rang de la matrice A,c'est le rang de la matrice échelonnée PA Précisément, pour A= ((aij))1≤i≤n 1≤j≤m
D’où l’algorithme 1 Algorithme 1: Algorithme d’élimination de Gauss Entrées: A,b pour k = 1, ,n 1 faire // On teste si le pivot est nul si ja kkj< # alors Afficher un message d’erreur fin sinon //Calcul de A(k) pour i = k+1, ,n faire c a ik a kk b i b i c b k a ik 0 pour j = k+1, ,n faire a ij a ij c a kj fin fin
Méthode de Gauss Le but de ce chapitre est de résoudre des problèmes discrets multidi-mensionnels linéaires conduisant à la résolution d’un système linéaire inver-sible (ou de Cramer) par la méthode du pivot de Gauss avec recherche partielle du pivot I RAPPELS SUR LA MÉTHODES DE GAUSS On résout un système Ax ˘b par la méthode
L’algorithme du pivot de Gauss A x = b fait problème" " sinon fait fait à jusqu' 1 pour à jusqu' 1 pour alors 0 si *) pivot de stratégie (* 1 à jusqu' 1 pour kj ik ij ij k ik i i kk a pivot a a a n k j b pivot a b b n k i pivot a pivot n k − ← + = − ← + = ≠ ← − = Fonction A,b =descent(A,b)
3 Algorithme du pivot de Gauss-Jordan L’algorithme du pivot de Gauss-Jordan permet de résoudre le système (S) par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes Il procède en deux étapes principales : ⋄La première qui consiste à échelonner le système c’est-à-dire le rendre triangulaire
Le nombre d’op erations est de l’ordre de n3 au lieu de 2n 3 3 A v eri er en exercice Donc moins int eressant que l’algorithme de Gauss Mais application int eressante pour le calcul de l’inverse d’une matrice 6 Calcul de l’inverse d’une matrice La formule th eorique (A 1)ij = cofacteur(aij) d et(A) est inutilisable pratiquement
MÉTHODE DU SIMPLEXE : PHASE II 7 Algorithme du simplexe Étape0:Onformeletableauinitial B x 1 x MÉTHODE DU SIMPLEXE élimination de Gauss-Jordan autour du pivot a
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Analyse numérique matricielle Élimination de Gauss
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TD n°3,4,5 - METHODE DU PIVOT DE GAUSS ALGORITHME DE
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METHODE DU PIVOT DE GAUSS
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Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss d’un
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METHODE DU PIVOT DE GAUSS - {toutes les Maths}
METHODE DU PIVOT DE GAUSS La mØthode du pivot de Gauss permet la rØsolution gØnØrale des systŁmes d™Øquations linØaires à nØquations et p inconnues Elle s™utilise notamment pour leur rØsolution numØrique à l™aide d™un programme informatique, et permet laTaille du fichier : 114KB
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A propos des méthodes de décomposition de type GAU[]
Dans la méthode dite d'élimination de GAUSS, on réalise simultanément la factorisation de A et la résolution de L y=b L'algorithme suivant réalise l'élimination de GAUSS et la résolution de L y=b à l'étape (p+1) nous avons a ij p 1 =a ij p −a ij p a pp p −1 a pj p pour p 1≤i≤n p 1≤ j≤n 1 a ij
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MéthodesitérativesdeGauss-SeideletJacobi Théorème 1 On
1 1 Méthode de Jacobi et Gauss-Seidel PourA2GL n(K) ondésignepar: E,lamatricetriangulairestrictementinférieureissuedeA D,lamatricediagonaleissuedeA F,lamatricetriangulairestrictementsupérieureissuedeA méthode décomposition B= M 1N Jacobi A= M N= D (E+F) D 1(E+F) Gauss-Seidel A= M N= (D E) F (D E) 1F
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Comment faire la méthode de Gauss ?
La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont : échange de deux lignes. multiplication d'une ligne par un nombre non nul.Quelle est la formule du pivot de Gauss ?
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. ? 2x + 3y + z = 1 ?7y + 7z = 1 ?7y ? 3z = ?2. on résout le syst`eme dérivé (par combinaison linéaire) et on conclut avec l'équation facile.Qu'est-ce qu'un pivot maths ?
Définition - Une matrice est échelonnée si le nombre de 0 au début de chaque ligne est strictement croissant quand on passe d'une ligne à la suivante. Le premier élément non nul de chaque ligne dans une matrice échelonnée s'appelle le pivot.- La transformation de Gauss-Jordan consiste à transformer ce système en un système équivalent dont le bloc gauche est l'identité, c'est-à-dire qu'il faut modifier la matrice (A I) pour qu'elle devienne de la forme (I A ? 1) en utilisant les propriétés de l'algorithme.
1.3 Les méthodes directes
Algorithme de la résolution par le pivot de Gauss dun système 3x3