[PDF] Aula 3 Derivadas Parciais .5cm MA211 - Cálculo II





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Aula 3 Derivadas Parciais .5cm MA211 - Cálculo II

Considere uma função f que associa x = (x1x2



MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x

g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a



CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx



Cálculo Diferencial e Integral II

(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0





Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas

2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0



Cálculo Diferencial e Integral II

x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0



Aplicações das Integrais Definidas

1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.



DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e

1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...



Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1



1 Factoring Formulas - Department of Mathematics

of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1



Functions)Worksheet) - George Mason University

Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9

What is f(x) = 1x?

Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.

What is the formula for calculating the PDF of X and Y?

Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2

Which function is defined by f (x) = 3x + 2?

Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.

What is PDF/X?

PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.

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Aula 3

Derivadas Parciais

MA211 - Cálculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática Aplicada

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Universidade Estadual de Campinas

Derivadas Parciais

Definição 1 (Derivada Parcial ema)Considere uma funçãofque associax= (x1;x2;:::;xn)a um número realf(x). Aderivada parcialdefem relação a i-ésima variável ema= (a1;:::;an), denotada por@f@xi(a), é @f@xi(a) =limh!0f(a1;:::;ai+h;:::;an)f(a1;:::;ai;:::;an)h se o limite existir.Observação:

Em outras palavras,

@f@xi(a)é a derivada usual defcom respeito ai-ésima variável obtida considerando todas as outras variáveis como constantes.

Derivadas Parciais

Definição 2 (Derivada Parcial como uma nova função) Considere uma funçãofque associax= (x1;x2;:::;xn)a um número realf(x). Aderivada parcialdefem relação a i-ésima variável, denotada por@f@xi, é a função de várias variáveis dada por @f@xi(x) =limh!0f(x1;:::;xi+h;:::;xn)f(x1;:::;xi;:::;xn)h nos pontosxpara os quais o limite existe.Notação: A derivada parcial defcom respeito ai-ésima variável é também denotada porfxiouDif.

Exemplo 3

Determine as derivadas parciaisfx(2;1)efy(2;1)da função f(x;y) =x3+x2y32y2:

Exemplo 3

Determine as derivadas parciaisfx(2;1)efy(2;1)da função f(x;y) =x3+x2y32y2:Resposta: f x(x;y) =3x2+2xy3;fx(2;1) =16: e f y(x;y) =3x2y24y;fy(2;1) =8:

Interpretação das Derivadas Parciais

Sefé uma função de duas variáveis, os pontos(x;y;z)tais quez=f(x;y)representa uma superfícieSemR3.As derivadas parciaisfx(a;b)efy(a;b)representam as inclinações das retas tangentes à superfícieSemP(a;b;c), comc=f(a;b), com os cortesC1eC2dos planosy=be x=a, respectivamente.

Derivadas Parciais de Ordem Superior

I As derivadas parciaisD1f;:::;Dnfde uma funçãofden variáveis são também funções denvariáveis. I As derivadas deD1f;:::;Dnfsão chamadasderivadas de segunda ordem def. Por exemplo, D j(Dif) =@@xj @f@xi =@2f@xj@xi= (fxi)xj=fxixj; denota aj-ésima derivada parcial deDif. I Derivadas de ordem superior são obtidas derivando as derivadas parciais. Por exemplo,

3f@xk@xj@xi=Dk(Dj(Dif)) =fxixjxk;

é uma derivada de ordem 3 def.

Existem 4 derivadas parciais de segunda ordem para funções de duas variáveis: f xx=@2f@x2;fxy=@2f@y@x;fyx=@2f@x@y;efyy=@2f@y2:Exemplo 4 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x;y) =x3+x2y32y2: Existem 4 derivadas parciais de segunda ordem para funções de duas variáveis: f xx=@2f@x2;fxy=@2f@y@x;fyx=@2f@x@y;efyy=@2f@y2:Exemplo 4 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x;y) =x3+x2y32y2:Resposta: f xx=6x+2y3; f xy=6xy2; f yx=6xy2; f yy=6x2y4:

Cuidado!

Podemos ter

f xy6=fyx:

Um exemplo é a função

f(x;y) =(xyx2y2x

2+y2;(x;y)6= (0;0);

0;(x;y) = (0;0):

em que f xy(0;0) =1 efyx(0;0) =1:Teorema 5 (Teorema de Clairaut) Suponha que f seja definida em uma bola aberta B que contenha o ponto(a;b). Se as funções fxye fyxsão ambas contínuas em B, então f xy(a;b) =fyx(a;b):

Exemplo 6

Calculefxxyzse

f(x;y;z) =sen(3x+yz):Observação: Leia no livro texto as subseções sobre equações diferenciais parciais e a função de produção de Cobb-Douglas.

Exemplo 6

Calculefxxyzse

f(x;y;z) =sen(3x+yz):Resposta: f xxyz=9cos(3x+yz) +9yzsen(3x+yz):Observação: Leia no livro texto as subseções sobre equações diferenciais parciais e a função de produção de Cobb-Douglas.

Exemplo 7

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x;y) =senx1+y

Exemplo 7

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x;y) =senx1+y :Resposta: @f@x=cosx1+y 11+y @f@y=cosx1+y x(1+y)2

Exemplo 8

Determine

@z@xe@z@ysezé definido de forma implícita como uma função dexeypela equação x

3+y3+z3+6xyz=1:

Exemplo 8

Determine

@z@xe@z@ysezé definido de forma implícita como uma função dexeypela equação x

3+y3+z3+6xyz=1:Resposta:

@z@x=x2+2yzz

2+2xy;

e @z@y=y2+2xzz

2+2xy:

Exemplo 9

Determinefx,fyefzsef(x;y;z) =exylnz.

Exemplo 9

Determinefx,fyefzsef(x;y;z) =exylnz.Resposta:

f x=yexylnz;fy=xexylnzefz=exyzquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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