Aula 3 Derivadas Parciais .5cm MA211 - Cálculo II
Considere uma função f que associa x = (x1x2
MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x
g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a
CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx
Cálculo Diferencial e Integral II
(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0
Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente .5cm MA211
z = f(x)x = (x1
Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas
2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0
Cálculo Diferencial e Integral II
x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0
Aplicações das Integrais Definidas
1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.
DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...
Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1
1 Factoring Formulas - Department of Mathematics
of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1
Functions)Worksheet) - George Mason University
Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9
What is f(x) = 1x?
Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.
What is the formula for calculating the PDF of X and Y?
Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2
Which function is defined by f (x) = 3x + 2?
Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.
What is PDF/X?
PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.
Past day
MAT302-Cálculo 2
Bibliografia:Cálculo volume I,5 edição.James StewartProf. Valdecir Bottega
INTEGRAIS
Integral Indefinida pág.403
Até aqui, nosso problema básico era:
encontrar a derivada de uma função dada. A partir de agora, estudaremos o problema inverso: encontrar uma função cuja derivada é dada. Exemplo: Qual é a função cuja derivada é a funçãoF ??x??2x? f?x??x2, poisddxx2?2x. A funçãoFé chamada uma antiderivada deF?.
Definição:
Umaantiderivadada funçãofé uma funçãoFtal que F ??x??f?x? em todo ponto ondef?x?é definida.Observação: Sabemos queF?x??x
3é uma antiderivada deF??x??3x2, assim como:
G?x??x
3?1 eH?x??x3?5.
Na verdade, qualquer função do tipoJ?x??x
3?Cé antiderivada deF??x?.
Teorema:
SeF??x??f?x?em todo ponto do intervalo aberto I, então toda antiderivadaG, defem I, tem a formaG?x??F?x??C
ondeCé uma constante.Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da funçãoF
??x?é chamada integral indefinida(ou antidiferencial) defcom relação axe denotada por ?f?x?dx. ?f?x?dx?F?x??C A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear: ?cf?x?dx?c?f?x?dx(ondecé uma constante) e ??f?x??g?x??dx??f?x?dx??g?x?dx 1A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integração
diretamente das fórmulas de diferenciação.FÓRMULAS:
?xndx?1 n?1xn?1?C(sen? ?1)?sinxdx??cosx?C?tanudu?ln|secu|?C ?dx?x?C?sec2xdx?tanx?C?cotudu?ln|sinu|?C ?cosxdx?sinx?C?cscxcotxdx??cscx?CRELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
sin2x?cos2x?1 1?tan2x?sec2x
1?cot2x?csc2x
secx?1cosx cscx?1sinx tanx?sinxcosx cotx?cosxsinxLISTA DE EXERCÍCIOS 1:
Calcule a integral de:
1? ?1 x3dx2??5u3/2du3??2
3xdx 4? ?6t23tdt5???4x3?x2?dx6??y3?2y2?3?dy 7? 10? ??x3/2?x?dx11??2 x 3?3 x2?5dx12??x2?4x?4 xdx 13? ?3x?1 16? ?sinx cos2xdx17??cosx
sin2xdx18???4cscxcotx?2sec2x?dx
19? cos?d? 2Respostas:
1)? 1 2x2?C2?2u5/2?C3?3x2/3?C
4? 95t10/3?C5?x4?1
3x3?C6?1
3y6?3 4y4?C7?3t?t
2?13t3?C8?8
5x5?x4?2x3?2x2?5x?C9?2
5x5/2?2
3x3/2?C
10? 25x5/2?1
2x2?C11??1
x2?3x?5x?C12?2
5x5/2?8
3x3/2?8x1/2?C
13? 34x4/3?3
2x2/3?C14??3cost?2sint?C15?5sinx?4cosx?C
16?secx?C17??cscx?C18??4cscx?2tanx?C
Integração por Substituição:
Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da
substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a
Regra da Cadeia da diferenciação.
Seja a funçãoy?f?g?x??comy?f?u?eu?g?x?funções diferenciáveis. Para calculary ?devemos utilizar a Regra daCadeia e obteremos:
y??ddx?f?g?x????f??g?x??.g??x??f??u?.u? Exemplo: Derive a função compostay??x2?3?3: Sejau?x2?3 . Entãoy?u3. Utilizando a Regra daCadeia, obtemos:
y ??3u2.u??3u2.?x2?3???3.?x2?3?2.2xTeorema:
Sejamfegduas funções tais quef?geg?são contínuas em um intervalo I.SeFé uma antiderivada defem I, então:
?f?g?x??g??x?dx?F?g?x???CEx. 1: Calcule
?ecosxsinxdx. Resp.:?ecosx?CEx. 2: Calcule
?cos?3x?1?dx. Resp.:13sin?3x?1??C
Ex. 3: Calcule
?2x?1 x2?xdx. Resp.: ln|x2?x|?C
Ex. 4: Calcule
?e2x?1dx. Resp.:12e2x?1?C
Ex. 5: Calcule
?xex2dx. Resp.:12ex2?C
Ex. 6: Calcule
?tdt t?3Resp.:23?t?3?
3?6?t?3??C
3LISTA DE EXERCÍCIOS 2:
Calcule a integral de:
1) ?33x?4dx13)?csc22?d?25)?x3dx 1?2x 2 3) ?3x4?x2dx15)?4sinxdx1?cosx?
227)?dx3?2x
4)?x?2x2?1?6dx16)?1
t?1dt t228)?3x
x 2?4dx 5) ?xdx x2?1?317)?sin2x2?cos2xdx29)?3x2
5x3?1dx
6) ?sds 3s2?118)?sin3?cos?d?30)?cost1?2sintdt
7) ?x43x5?5dx19)? 1 2cos1 4x sin 14xdx31)??cot5x?csc5x?dx
8) ??x2?1?4xdx. 20)?sec23t tdt32)?2?3sin2xcos2xdx 9) x2?4dx 10) ??x3?3?1/4x5dx22)?3?s?s?1?2ds34)?dxxlnx11)?sin1
3xdx23)??2t2?1?1/3t3dt35)?ln23xxdx
12) ?12tcos4t2dt24)?t?1t
3/2t2?1
t2dt36)?2t?3t?1dt
Respostas
1) 143?3x?4?4?C13)?1
2cot2??C25)1
12?1?2x2?3/2?1
4?1?2x2?1/2
2)215?5r?1?
3?C14)1
3tanr3?C26)sin?secx??C
3)? ?4?x2?3?C15)41?cosx?C27) -1
2ln|3?2x|?C
4) 128?2x2?1?7?C16)?2
31t?13/2?C28)3
2ln?x2?4??C
5)?1 4 ?x2?1?2?C17)1
3?2?cos2x?3/2?C29)1
5ln|5x3?1|?C
6) 13?3s2?1??C18)1
4sin4??C30)1
2ln|1?2sint|?C
7) 245?3x5?5?
3?C19)4sin1
2 14x?C31)1
5ln?1?cos5x??C
8) 110?x2?1?5?C20)2
3tan3t?C32)ln?1?sin2x??1
2ln|cos2x|
9)??2?x
2?1313??2?x
2?1428?C21)?1
6?4?2x2?x4?
3?C33)x2?4ln|x2?4|?C
10) 427?x3?3?9/4?4
5?x3?3?5/4?C22)2
7?3?s?
7?85?3?s?
5?83?3?s?
334)ln|lnx|?C
11)?3cos
13x?C23)3
56?2t2?1?7/3?3
32?2t2?1?4/3?C35)1
3ln33x?C
12) 116sin4t2?C24)2
5t?1t5/2?C36)2t?ln|t?1|?C
4Somatório:
Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste momento
trabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas duas noções estão
relacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo.O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de escrever somas de
muitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigmaDefinição;
A soma dentemosa1,a2,...,ané denotada por
i?1nai?a1?a2?...?anondeié o índice do somatório,aié o i-ésimo termo da soma ene 1 são, respectivamente, os limites superior e
inferior do somatório.Exemplos:
1) i?14i?1?2?3?4 2) j?25j2?22?32?42?52 3)? i?1nf?xi??x?f?x1??x?f?x2??x?...?f?xn??xObservações:
1) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes.
2) O limite inferior não precisa ser 1. Pode ser qualquer valor inteiromenor ou igual ao limite superior.
3) Qualquer variável (i,jouk) pode ser usada como índice do somatório.
Área de uma região plana:
Definição:
Seja uma função contínua, não-negativay?f?x?. Estudaremos a regiãoAlimitada inferiormente pelo eixox, à esquerda
pela retax?a, à direita pela retax?be superiormente pela curvay?f?x?.Podemos tentar a aproximação da áreaAtomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cada
retângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada.A altura de cada retângulo é o valor da funçãof?x?para algum pontotao longo da base do retângulo. Escolhemos?x
para a base de cada retângulo. A área será aproximadamente igual à somatória: S n?f?x1??x?f?x2??x?...?f?xn??x S n?? i?1nf?xi??x quando usamosnretângulos com base?xex icomo um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo. 5 Exemplo: Calcule a área abaixo da funçãoy?x2dex?0 àx?1.22 2231 1 1 1 1 144 4 4 2 4 4 4
15 3210.46875R
Observação: Quanto menor escolhermos a largura?x, melhor será a aproximação da área sob a curva. Quando?x?0,
o número de termosnda somatória de aproximaçãoS naumenta. De fato, quando?x?0 ,n??e a somatóriaSnse aproxima da área exataAsob a curva. Este processo pode ser simbolizado por: lim n??Sn?A.No exemplo anterior,
2 2 2 2
2 2 2 2
22 2 2 2
31 1 1 2 1 3 1...
1 1 (1 2 3 ... ) 1 (1 2 3 ... ) nnRn n n n n n n n nn n n n2 2 2 2( 1)(2 1)1 2 3 ...6
n n nn+ ++ + + + = 321 ( 1)(2 1)
6 ( 1)(2 1) 6 nn n nRn n n n2( 1)(2 1)lim lim6
1 1 2 1lim6
1 1 1lim 1 26
11 26 1 3n n n n nn n Rn n n n n n nA Integral Definida:
A área definida acima é chamada a integral defno intervalo?a,b?, a qual é indicada com o símbolo
?a bf?x?dx 6Por definição:
?abf?x?dx?limn??? i?1 nf?ti??x. Quando este limite existe, dizemos que a funçãofé integrável no intervalo?a,b?. Nota: Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo.A integral no intervalo?a,b?é lida como " integral de a até b" e esses númerosaebsão chamados os limites de
integração (inferior e superior, respectivamente), a funçãofé chamada integrando. O símbolo
?de integral é devido aLeibniz, uma antiga grafia da letra S de soma, usado para lembrar que estamos trabalhando com o limite de uma
seqüência de somas (soma de Riemann).Observação:
Dada uma funçãof:
Observe que quandof?x??0 o retângulo está "acima" do eixoxe quandof?x??0 o retângulo está "abaixo" do eixo
x. A soma de Riemann é a soma das áreas, considerando os sinais dos retângulos, isto é, se o retângulo está para cima do
eixoxa soma das áreas é "positiva" e se o retângulo está para baixo do eixox, a soma das áreas é "negativa". Isto sugere
que a?abf?x?dxserá a soma das áreas dos retângulos acima do eixox, mais a soma das áreas dos retângulos abaixo do
eixox(A acima?Aabaixo).Por exemplo,f?x??2x.
??21f?x?dx??3 , pois a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixoxé?4 e a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixoxé 1. Portanto,A acima?Aabaixo??4?1??3. Note que??21f?x?dxnão representa a área da região limitada pela curva, pelo eixoxe pelas retasx??2 ex?1. Para que a integral
represente a área, a funçãofdeverá verificar as seguintes condições:1)fé contínua no intervalo fechado?a,b?;
2)fé não-negativa no intervalo fechado?a,b?.
Aí sim, a área da região limitada pelo gráfico da funçãof, o eixo dosxe as retas verticaisx?aex?bé dada por
Área??abf?x?dx
Atenção:
1) Quandof?x??0, a Área??
?abf?x?dx.2) É importante notar que, a integral definida é um número e a integral indefinida é uma família de funções.
Exercício:
Calcule
?03?x?1?dxe construa os gráficos das funções envolvidas: 7 31 11 2 2 20( 1) (2 2) (1 1) 1.5x dx A A- = - = ? - ? =∫
Integrais Particulares:
?aaf?x?dx?0 , parafdefinida emx?a. ?abf?x?dx???baf?x?dx, parafintegrável em?a,b?.Propriedades da Integral Definida:
1)?abf?x?dx??acf?x?dx??cbf?x?dx, parafintegrável nos três intervalos fechados determinados pora,bec.
2) ?abkf?x?dx?k?abf?x?dx, parafintegrável em?a,b?ek??. 3) ?ab?f?x??g?x??dx??abf?x?dx??abg?x?dx, parafegintegráveis em?a,b?. 4) ?abf?x?dx?0 , parafintegrável e não-negativa no intervalo fechado?a,b?. 5) ?abf?x?dx??abg?x?dx, parafegintegráveis no intervalo fechado?a,b?ef?x??g?x?para todoxem?a,b?.TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO:
Parte 1:
Sejafcontínua no intervalo fechado?a,b?eFuma função tal queF??x??f?x? para todox??a,b?. Então, F?x?? ?axf?t?dtExemplo 1: Ache a derivada da funçãoF?x??
?0 xt3dt.Exemplo 2: Ache a derivada da funçãoF?x??
?0 x?t2?2t?dt.Parte 2:
Sejafcontínua no intervalo fechado?a,b?eFuma função tal queF??x??f?x? para todox??a,b?. Então, ?abf?x?dx??F?x??ab?F?b??F?a?Ex. 1: Calcule
?12x3dx. Resposta:15 4Ex. 2: Calcule?36?x2?2x?dx. Resposta:36
8LISTA DE EXERCÍCIOS 3:
quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] f(x) calculer
[PDF] f(x)=2
[PDF] f(x)=x+1
[PDF] f'(x) dérivé
[PDF] f(x)=x^4
[PDF] f(x)=3
[PDF] livre mécanique appliquée pdf
[PDF] mécanique appliquée définition
[PDF] mécanique appliquée cours et exercices corrigés pdf
[PDF] mecanique appliquée bac pro
[PDF] pdf mecanique general
[PDF] mécanique appliquée et construction
[PDF] z+1/z-1 imaginaire pur
[PDF] z+1/z-1=2i