[PDF] MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x





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Aula 3 Derivadas Parciais .5cm MA211 - Cálculo II

Considere uma função f que associa x = (x1x2



MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x

g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a



CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx



Cálculo Diferencial e Integral II

(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0





Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas

2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0



Cálculo Diferencial e Integral II

x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0



Aplicações das Integrais Definidas

1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.



DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e

1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...



Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1



1 Factoring Formulas - Department of Mathematics

of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1



Functions)Worksheet) - George Mason University

Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9

What is f(x) = 1x?

Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.

What is the formula for calculating the PDF of X and Y?

Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2

Which function is defined by f (x) = 3x + 2?

Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.

What is PDF/X?

PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.

  • Past day

MAT302-Cálculo 2

Bibliografia:Cálculo volume I,5 edição.James Stewart

Prof. Valdecir Bottega

INTEGRAIS

Integral Indefinida pág.403

Até aqui, nosso problema básico era:

encontrar a derivada de uma função dada. A partir de agora, estudaremos o problema inverso: encontrar uma função cuja derivada é dada. Exemplo: Qual é a função cuja derivada é a funçãoF ??x??2x? f?x??x

2, poisddxx2?2x. A funçãoFé chamada uma antiderivada deF?.

Definição:

Umaantiderivadada funçãofé uma funçãoFtal que F ??x??f?x? em todo ponto ondef?x?é definida.

Observação: Sabemos queF?x??x

3é uma antiderivada deF??x??3x2, assim como:

G?x??x

3?1 eH?x??x3?5.

Na verdade, qualquer função do tipoJ?x??x

3?Cé antiderivada deF??x?.

Teorema:

SeF??x??f?x?em todo ponto do intervalo aberto I, então toda antiderivadaG, defem I, tem a forma

G?x??F?x??C

ondeCé uma constante.

Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da funçãoF

??x?é chamada integral indefinida(ou antidiferencial) defcom relação axe denotada por ?f?x?dx. ?f?x?dx?F?x??C A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear: ?cf?x?dx?c?f?x?dx(ondecé uma constante) e ??f?x??g?x??dx??f?x?dx??g?x?dx 1

A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integração

diretamente das fórmulas de diferenciação.

FÓRMULAS:

?xndx?1 n?1xn?1?C(sen? ?1)?sinxdx??cosx?C?tanudu?ln|secu|?C ?dx?x?C?sec2xdx?tanx?C?cotudu?ln|sinu|?C ?cosxdx?sinx?C?cscxcotxdx??cscx?C

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

sin2x?cos2x?1 1?tan

2x?sec2x

1?cot

2x?csc2x

secx?1cosx cscx?1sinx tanx?sinxcosx cotx?cosxsinx

LISTA DE EXERCÍCIOS 1:

Calcule a integral de:

1? ?1 x

3dx2??5u3/2du3??2

3xdx 4? ?6t23tdt5???4x3?x2?dx6??y3?2y2?3?dy 7? 10? ??x3/2?x?dx11??2 x 3?3 x2?5dx12??x2?4x?4 xdx 13? ?3x?1 16? ?sinx cos

2xdx17??cosx

sin

2xdx18???4cscxcotx?2sec2x?dx

19? cos?d? 2

Respostas:

1)? 1 2x

2?C2?2u5/2?C3?3x2/3?C

4? 9

5t10/3?C5?x4?1

3x3?C6?1

3y6?3 4y4?C

7?3t?t

2?1

3t3?C8?8

5x5?x4?2x3?2x2?5x?C9?2

5x5/2?2

3x3/2?C

10? 2

5x5/2?1

2x2?C11??1

x

2?3x?5x?C12?2

5x5/2?8

3x3/2?8x1/2?C

13? 3

4x4/3?3

2x2/3?C14??3cost?2sint?C15?5sinx?4cosx?C

16?secx?C17??cscx?C18??4cscx?2tanx?C

Integração por Substituição:

Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da

substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a

Regra da Cadeia da diferenciação.

Seja a funçãoy?f?g?x??comy?f?u?eu?g?x?funções diferenciáveis. Para calculary ?devemos utilizar a Regra da

Cadeia e obteremos:

y??ddx?f?g?x????f??g?x??.g??x??f??u?.u? Exemplo: Derive a função compostay??x2?3?3: Sejau?x2?3 . Entãoy?u3. Utilizando a Regra da

Cadeia, obtemos:

y ??3u2.u??3u2.?x2?3???3.?x2?3?2.2x

Teorema:

Sejamfegduas funções tais quef?geg?são contínuas em um intervalo I.

SeFé uma antiderivada defem I, então:

?f?g?x??g??x?dx?F?g?x???C

Ex. 1: Calcule

?ecosxsinxdx. Resp.:?ecosx?C

Ex. 2: Calcule

?cos?3x?1?dx. Resp.:1

3sin?3x?1??C

Ex. 3: Calcule

?2x?1 x

2?xdx. Resp.: ln|x2?x|?C

Ex. 4: Calcule

?e2x?1dx. Resp.:1

2e2x?1?C

Ex. 5: Calcule

?xex2dx. Resp.:1

2ex2?C

Ex. 6: Calcule

?tdt t?3Resp.:2

3?t?3?

3?6?t?3??C

3

LISTA DE EXERCÍCIOS 2:

Calcule a integral de:

1) ?33x?4dx13)?csc22?d?25)?x3dx 1?2x 2 3) ?3x4?x2dx15)?4sinxdx

1?cosx?

227)?dx3?2x

4)?x?2x2?1?6dx16)?1

t?1dt t

228)?3x

x 2?4dx 5) ?xdx x

2?1?317)?sin2x2?cos2xdx29)?3x2

5x3?1dx

6) ?sds 3s

2?118)?sin3?cos?d?30)?cost1?2sintdt

7) ?x43x5?5dx19)? 1 2cos1 4x sin 1

4xdx31)??cot5x?csc5x?dx

8) ??x2?1?4xdx. 20)?sec23t tdt32)?2?3sin2xcos2xdx 9) x2?4dx 10) ??x3?3?1/4x5dx22)?3?s?s?1?2ds34)?dxxlnx

11)?sin1

3xdx23)??2t2?1?1/3t3dt35)?ln23xxdx

12) ?1

2tcos4t2dt24)?t?1t

3/2t2?1

t

2dt36)?2t?3t?1dt

Respostas

1) 1

43?3x?4?4?C13)?1

2cot2??C25)1

12?1?2x2?3/2?1

4?1?2x2?1/2

2)2

15?5r?1?

3?C14)1

3tanr3?C26)sin?secx??C

3)? ?4?x2?

3?C15)41?cosx?C27) -1

2ln|3?2x|?C

4) 1

28?2x2?1?7?C16)?2

31t?1

3/2?C28)3

2ln?x2?4??C

5)?1 4 ?x

2?1?2?C17)1

3?2?cos2x?3/2?C29)1

5ln|5x3?1|?C

6) 1

3?3s2?1??C18)1

4sin4??C30)1

2ln|1?2sint|?C

7) 2

45?3x5?5?

3?C19)4sin1

2 1

4x?C31)1

5ln?1?cos5x??C

8) 1

10?x2?1?5?C20)2

3tan3t?C32)ln?1?sin2x??1

2ln|cos2x|

9)??2?x

2?13

13??2?x

2?14

28?C21)?1

6?4?2x2?x4?

3?C33)x2?4ln|x2?4|?C

10) 4

27?x3?3?9/4?4

5?x3?3?5/4?C22)2

7?3?s?

7?8

5?3?s?

5?8

3?3?s?

334)ln|lnx|?C

11)?3cos

1

3x?C23)3

56?2t2?1?7/3?3

32?2t2?1?4/3?C35)1

3ln33x?C

12) 1

16sin4t2?C24)2

5t?1t

5/2?C36)2t?ln|t?1|?C

4

Somatório:

Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste momento

trabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas duas noções estão

relacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de escrever somas de

muitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigma

Definição;

A soma dentemosa1,a2,...,ané denotada por

i?1nai?a1?a2?...?an

ondeié o índice do somatório,aié o i-ésimo termo da soma ene 1 são, respectivamente, os limites superior e

inferior do somatório.

Exemplos:

1) i?14i?1?2?3?4 2) j?25j2?22?32?42?52 3)? i?1nf?xi??x?f?x1??x?f?x2??x?...?f?xn??x

Observações:

1) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes.

2) O limite inferior não precisa ser 1. Pode ser qualquer valor inteiromenor ou igual ao limite superior.

3) Qualquer variável (i,jouk) pode ser usada como índice do somatório.

Área de uma região plana:

Definição:

Seja uma função contínua, não-negativay?f?x?. Estudaremos a regiãoAlimitada inferiormente pelo eixox, à esquerda

pela retax?a, à direita pela retax?be superiormente pela curvay?f?x?.

Podemos tentar a aproximação da áreaAtomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cada

retângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada.

A altura de cada retângulo é o valor da funçãof?x?para algum pontotao longo da base do retângulo. Escolhemos?x

para a base de cada retângulo. A área será aproximadamente igual à somatória: S n?f?x1??x?f?x2??x?...?f?xn??x S n?? i?1nf?xi??x quando usamosnretângulos com base?xex icomo um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo. 5 Exemplo: Calcule a área abaixo da funçãoy?x2dex?0 àx?1.

22 2231 1 1 1 1 144 4 4 2 4 4 4

15 321

0.46875R

Observação: Quanto menor escolhermos a largura?x, melhor será a aproximação da área sob a curva. Quando?x?0,

o número de termosnda somatória de aproximaçãoS naumenta. De fato, quando?x?0 ,n??e a somatóriaSnse aproxima da área exataAsob a curva. Este processo pode ser simbolizado por: lim n??Sn?A.

No exemplo anterior,

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

3

1 1 1 2 1 3 1...

1 1 (1 2 3 ... ) 1 (1 2 3 ... ) nnRn n n n n n n n nn n n n

2 2 2 2( 1)(2 1)1 2 3 ...6

n n nn+ ++ + + + = 3

21 ( 1)(2 1)

6 ( 1)(2 1) 6 nn n nRn n n n

2( 1)(2 1)lim lim6

1 1 2 1lim6

1 1 1lim 1 26

11 26 1 3n n n n nn n Rn n n n n n n

A Integral Definida:

A área definida acima é chamada a integral defno intervalo?a,b?, a qual é indicada com o símbolo

?a bf?x?dx 6

Por definição:

?abf?x?dx?limn??? i?1 nf?ti??x. Quando este limite existe, dizemos que a funçãofé integrável no intervalo?a,b?. Nota: Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo.

A integral no intervalo?a,b?é lida como " integral de a até b" e esses númerosaebsão chamados os limites de

integração (inferior e superior, respectivamente), a funçãofé chamada integrando. O símbolo

?de integral é devido a

Leibniz, uma antiga grafia da letra S de soma, usado para lembrar que estamos trabalhando com o limite de uma

seqüência de somas (soma de Riemann).

Observação:

Dada uma funçãof:

Observe que quandof?x??0 o retângulo está "acima" do eixoxe quandof?x??0 o retângulo está "abaixo" do eixo

x. A soma de Riemann é a soma das áreas, considerando os sinais dos retângulos, isto é, se o retângulo está para cima do

eixoxa soma das áreas é "positiva" e se o retângulo está para baixo do eixox, a soma das áreas é "negativa". Isto sugere

que a

?abf?x?dxserá a soma das áreas dos retângulos acima do eixox, mais a soma das áreas dos retângulos abaixo do

eixox(A acima?Aabaixo).

Por exemplo,f?x??2x.

??21f?x?dx??3 , pois a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixoxé?4 e a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixoxé 1. Portanto,A acima?Aabaixo??4?1??3. Note que

??21f?x?dxnão representa a área da região limitada pela curva, pelo eixoxe pelas retasx??2 ex?1. Para que a integral

represente a área, a funçãofdeverá verificar as seguintes condições:

1)fé contínua no intervalo fechado?a,b?;

2)fé não-negativa no intervalo fechado?a,b?.

Aí sim, a área da região limitada pelo gráfico da funçãof, o eixo dosxe as retas verticaisx?aex?bé dada por

Área??abf?x?dx

Atenção:

1) Quandof?x??0, a Área??

?abf?x?dx.

2) É importante notar que, a integral definida é um número e a integral indefinida é uma família de funções.

Exercício:

Calcule

?03?x?1?dxe construa os gráficos das funções envolvidas: 7 31 1

1 2 2 20( 1) (2 2) (1 1) 1.5x dx A A- = - = ? - ? =∫

Integrais Particulares:

?aaf?x?dx?0 , parafdefinida emx?a. ?abf?x?dx???baf?x?dx, parafintegrável em?a,b?.

Propriedades da Integral Definida:

1)

?abf?x?dx??acf?x?dx??cbf?x?dx, parafintegrável nos três intervalos fechados determinados pora,bec.

2) ?abkf?x?dx?k?abf?x?dx, parafintegrável em?a,b?ek??. 3) ?ab?f?x??g?x??dx??abf?x?dx??abg?x?dx, parafegintegráveis em?a,b?. 4) ?abf?x?dx?0 , parafintegrável e não-negativa no intervalo fechado?a,b?. 5) ?abf?x?dx??abg?x?dx, parafegintegráveis no intervalo fechado?a,b?ef?x??g?x?para todoxem?a,b?.

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO:

Parte 1:

Sejafcontínua no intervalo fechado?a,b?eFuma função tal queF??x??f?x? para todox??a,b?. Então, F?x?? ?axf?t?dt

Exemplo 1: Ache a derivada da funçãoF?x??

?0 xt3dt.

Exemplo 2: Ache a derivada da funçãoF?x??

?0 x?t2?2t?dt.

Parte 2:

Sejafcontínua no intervalo fechado?a,b?eFuma função tal queF??x??f?x? para todox??a,b?. Então, ?abf?x?dx??F?x??ab?F?b??F?a?

Ex. 1: Calcule

?12x3dx. Resposta:15 4

Ex. 2: Calcule?36?x2?2x?dx. Resposta:36

8

LISTA DE EXERCÍCIOS 3:

quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
[PDF] f(x) = x^3

[PDF] f(x) calculer

[PDF] f(x)=2

[PDF] f(x)=x+1

[PDF] f'(x) dérivé

[PDF] f(x)=x^4

[PDF] f(x)=3

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