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Aula 6

Derivadas Direcionais e oVetor Gradiente

MA211 - Cálculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática Aplicada

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Universidade Estadual de Campinas

Derivadas Direcionais

Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de z=f(x);x= (x1;x2;:::;xn);no pontoa= (a1;a2;:::;an)na

direção de um vetor unitáriou= (u1;:::;un).Lembre-se que um vetorué unitário sekuk=1.Exemplo 1

Suponha quef(a)é a temperatura no pontoanuma sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir.A taxa de variação dez=f(x)emana direção deué a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do pontoacomo da direçãouna qual afastamos dea.

Definição 2

Derivada Direcional Sejaf:D !Ruma função denvariáveis, isto é,D Rn. Considere um pontoano interior deDeu2Rn um vetor comkuk=1. A derivada direcional defemana direçãoué D uf(a) =limh!0f(a+hu)f(a)h se esse limite existir.Observação A distância entreaea+huéjhj. Logo, o quociente f(a+hu)f(a)h representa a taxa média de variação defpor unidade de distância sobre o segmento de reta deaàa+hu.

Derivada Direcional e as Derivadas Parciais

A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no seguinte sentido. A derivada direcional defemana direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja, e i= (0;:::;0;1|{z} i-ésima componente;0;:::;0) é a derivada parcial defemacom respeito àxi, ou seja, D eif(a) =@f@xi(a) =fxi(a) =Dif(a):

Derivadas Parciais e a Derivada Direcional

Considere a funçãog:R!Rdada por

g(h) =f(a+hu):

Por um lado, note que

g

0(0) =limh!0g(h)g(0)h

=limh!0f(a+hu)f(a)h =Duf(a): Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que g

0(h) =@f@x1dx

1dh +@f@x2dx 2dh +:::+@f@xndx ndh Agora,x(h) =a+hu= (a1+hu1;a2+hu2;:::;an+hun). Logo, dx 1dh =u1;dx2dh =u2;:::;dxndh =un:

Portanto, tem-se

g

0(0) =@f@x1

au

1+@f@x2

au

2+:::+@f@xn

au n=nX j=1@f@xj au j:

Teorema 3

Se f é uma função diferenciável

em a, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitárioue D uf(a) =nX j=1@f@xj au jObservação: Qualquer vetor unitáriou2R2pode ser escrito como u= (cos;sen), para algum angulo. Nesse caso, D uf(x;y) =fx(x;y)cos+fy(x;y)sen:

Teorema 3

Se f é uma função diferenciável, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitárioue D uf(x) =nX j=1@f@xjujObservação: Qualquer vetor unitáriou2R2pode ser escrito como u= (cos;sen), para algum angulo. Nesse caso, D uf(x;y) =fx(x;y)cos+fy(x;y)sen:

Vetor Gradiente

A derivada direcional defna direçãoupode ser escrita em termos do seguinte produto escalar D uf(x) =nX j=1@f@xjuj=@f@x1;@f@x2;:::;@f@xn |{z} vetor gradienteu:Definição 4 (Vetor Gradiente) O gradiente de uma funçãof, denotado porrfougradf, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, rf=@f@x1;@f@x2;:::;@f@xn

Vetor Gradiente

A derivada direcional defna direçãoupode ser escrita em termos do seguinte produto escalar D uf(x) =nX j=1@f@xjuj=@f@x1;@f@x2;:::;@f@xn |{z} vetor gradienteu=rfu:Definição 4 (Vetor Gradiente) O gradiente de uma funçãof, denotado porrfougradf, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, rf=@f@x1;@f@x2;:::;@f@xn

Interpretação do Vetor Gradiente

Sabemos que o produto escalar de dois vetoresaebsatisfaz: ab=kakkbkcos; em queé o angulo entreaeb. Assim, podemos escrever D uf=rfu=krfk kuk|{z} =1cos=krfkcos: O valor máximo de cosé 1, e isso ocorre quando=0. Logo,Teorema 5

O valor máximo da derivada direcional D

uf de uma função diferenciável ékrfke ocorre quandoutem a mesma direção e sentido querf.Em outras palavras, a maior taxa de variação def(x)ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.

EmR2...

Considere uma funçãofde duas variáveisxeye uma curva de nível dada pelo conjunto dos pontos fr(t) = (x(t);y(t)) :f(x(t);y(t)) =kg: SeP= (x(t0);y(t0)), então pela regra da cadeia, temos que @f@xdxdt +@f@ydydt =0() rf(x0;y0)r0(t0) =0; em quex0=x(t0),y0=y(t0)er0(t0) = (x0(t0);y0(t0))é o vetor tangente a curva de nível emP.Conclusão: O vetor gradienterf(x0;y0), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente à curva de nível def(x;y) =kque passa porP= (x0;y0). EmR3...O vetor gradienterF(x0;y0;z0), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano tangente à superfície de nível deF(x;y;z) =kque passa por

P= (x0;y0;z0).

O plano tangente à superfícieF(x;y;z) =kemP= (x0;y0;z0) é dado por todos os vetores que partem de(x0;y0;z0)e são ortogonais ao gradienterF(x0;y0;z0), ou seja, a equação do plano tangente é: rf(x0;y0;z0)(xx0;yy0;zz0) =0: A reta normal a superfícieF(x;y;z) =kemP= (x0;y0;z0)é dada pelo gradienterF(x0;y0;z0), ou seja, (xx0;yy0;zz0) =rf(x0;y0;z0); 2R: Alternativamente, suas equações simétricas são xx0F x(x0;y0;z0)=yy0F y(x0;y0;z0)=zz0F z(x0;y0;z0):

Exemplo 6

Determine a derivada direcionalDuf(x;y)se

f(x;y) =x33xy+4y2; eué o vetor unitário dado pelo ângulo==6.

Qual seráDuf(1;2)?

Exemplo 6

Determine a derivada direcionalDuf(x;y)se

f(x;y) =x33xy+4y2; eué o vetor unitário dado pelo ângulo==6.

Qual seráDuf(1;2)?Resposta:

D uf(x;y) =12

3p3x23x+ (83p3)y)

e D uf(1;2) =133p3 2

Exemplo 7

Determine a derivada direcional da função

f(x;y) =x2y34y; no pontoP= (2;1)na direção do vetorv=2i+5j.

Exemplo 7

Determine a derivada direcional da função

f(x;y) =x2y34y; no pontoP= (2;1)na direção do vetorv=2i+5j.Resposta: D uf(2;1) =32p29

Exemplo 8

Se f(x;y;z) =xsenyz; a) deter mineo g radientede f, b) deter minea der ivadadirecional de fno ponto(1;3;0)na direçãov=i+2jk.

Exemplo 8

Se f(x;y;z) =xsenyz; a) deter mineo g radientede f, b) deter minea der ivadadirecional de fno ponto(1;3;0)na direçãov=i+2jk.Resposta: a)

O g radientede fé

rf(x;y;z) = (senyz;xzcosyz;xycosyz): b)

A der ivadadirecional é

D uf(x;y;z) =3 1p6 =r3 2

Exemplo 9

Suponha que a temperatura no ponto(x;y;z)do espaço seja dada por

T(x;y;z) =801+x2+2y2+3z2;

em queTé medida em graus Celsius ex;yezem metros. Em que direção no ponto(1;1;2)a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?

Exemplo 9

Suponha que a temperatura no ponto(x;y;z)do espaço seja dada por

T(x;y;z) =801+x2+2y2+3z2;

em queTé medida em graus Celsius ex;yezem metros. Em que direção no ponto(1;1;2)a temperatura aumenta

mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?Resposta:A temperatura aumenta mais rapidamente na

direçãoi2j+6ke a taxa de aumento é 58
p414oC=m:

Exemplo 10

Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto(2;1;3)ao elipsoide x 24
+y2+z29 =3:

Exemplo 10

Determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto(2;1;3)ao elipsoide x 24
+y2+z29 =3:Resposta:A equação do plano tangente é

3x6y+2z+18=0:

As equações simétricas da reta normal são x21=y12 =z+3 23
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