CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS PDF

Considere uma função f que associa x = (x1x2

MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x

g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a

CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx

Cálculo Diferencial e Integral II

(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente .5cm MA211

z = f(x)x = (x1

Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas

2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0

Cálculo Diferencial e Integral II

x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0

Aplicações das Integrais Definidas

1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.

DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e

1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1

1 Factoring Formulas - Department of Mathematics

of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1

Functions)Worksheet) - George Mason University

Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9

What is f(x) = 1x?

Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.

What is the formula for calculating the PDF of X and Y?

Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2

Which function is defined by f (x) = 3x + 2?

Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.

What is PDF/X?

PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.

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CÁLCULO 3

PROF.: VALDECIR BOTTEGA

1.FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

1.1 Funções de Duas Variáveis

DEFINIÇÃO 1:Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais.Uma função de duas variáveis é uma

correspondência que associa a cada par?x,y?em D exatamente um número real,denotado porf?x,y?.O conjunto

D é o domínio def.O contradomínio defconsiste em todos os números reaisf?x,y?,com?x,y?em D.

Exemplo 1: Índice de sensação térmica. por exemplo, se a temperatura é de50oCe a velocidade do vento

é50km/h, então a sensação térmica seráf??5,50???15 oC.

Exemplo 2: Sejafa função dada porf?x,y??9?x2?y2. Esboce o gráfico defe exiba os traços nos

planosz?0,z?2,z?4,z?6ez?8.

Solução: domínio D???x,y?:x

2?y2?9?, pode ser representado por todos os pontos do círculox2?y2?9.

O gráfico deftem a equaçãoz?9?x

2?y2.Elevendo ao quadrado ambos os lados da equação

temosz

2?9?x2?y2ouz2?x2?y2?9uma esfera de raio 3 mas comz?0. Para achar o traço no plano

xy, concideramosz?0e temosx

2?y2?9um círculo de raio3. No planoxzconcideramosy?0e temos

2?z2?9um semi círculo de raio3.No planoyzconcideramosx?0e temosy2?z2?9um semi círculo de

raio3. 1 Unindo os três planos temos um esboço do gráfico. -4-224 -4 -2 2 4 xy x

2?y2?9

z?9?x2?y2

1.2 Curvas de Nível

Projetando o traço do gráfico defno planox?kpara o planoxy, obtemos uma curvaCde equação

f?x,y??k. Se um ponto?x,y,0?se move ao longo deC, os valoresf?x,y?são sempre iguais ak.Cé chamada

decurva de níveldef. Exemplo 3: Esboce algumas curvas de nível da função do exemplo 2:

Solução: As curvas de nível são gráficos, no planoxy, de equações da formaf?x,y??k, isto é,

9?x

2?y2?koux2?y2?9?k2. Essas curvas são círculos, desde que0?k?3.Fazendok?0, 5e8,

obtemos os círculos de raios3,2e1. -4-224 -4 -2 2 4 xy

Exemplo 4: Descreva o domínio def, ache os valores indicados, faça um esboço do gráfico e de três

curvas de nível: a)f?x,y??4x

2?y2,f??2,5?,f?5,?2?,f?0,?2?.

b)f?u,v??6?3u?2v,f?2,3?,f??1,4?. 2 a)f?x,y??4x2?y2 b)f?u,v??6?3u?2v

1.3 Funções com Três Variáveis

DEFINIÇÃO 2: Uma função de três variáveis (reais) é definida analogamente, com a diferença que o

domínio D é agora um subconjunto de?

3. Para cada?x,y,z?em D está associado um número realf?x,y,z?.

Exemplo 5. Determine as curvas de superfície da funçãof?x,y,z??x

2?y2?z2.(exemplo 15 página 895)

1.4 LISTA DE EXERCÍCIOS 1

1) sejaf?x,y??ln?x?y?1?.a) Estimef?1,1?.b) Estimef?e,1?.c) Determine o domínio e a imagem def.

2) sejaf?x,y??x

2e3xy.a) Estimef?2,0?.b) Determine o domínio e a imagem def.

3) Descreva a regiãoRno planoxyque corresponde ao domínio da função dada e encontre a imagem da

função: a)f?x,y??4?x

2?y2R.:D???x,y?\x2?y2?4?;Im??0,2?

b)f?x,y??4?x

2?4y2R.:D???x,y?\x

4?y2?1?;Im??z??\0?z?2?

c)z?x?yxy

R.:D???x,y?\x?0,y?0?;Im? ?

d)f?x,y??ln?4?x?y?R.:D???x,y?\y?4?x?;Im? ? e)f?x,y??ex y

R.:D???x,y?\y?0?;Im? ?????z??\z?0?

4) Descreva as curvas de nível de cada função, correspondentes aos níveiscdados:

a)f?x,y??25?x

2?y2c?0,c?3,c?5

b)f?x,y??xy c? ?1,?3,?6 3 c)f?x,y,z??x2?y2?z2c?9

5) Esboce o gráfico da superfície definida pela função:

a)z?4?x

2?y2;b)z?y2;c)z?6?2x?3y;d)f?x,y??3; e)f?x,y??1?x?y;f)f?x,y??y;g)

f?x,y??x

2?y2;h)f?x,y??cosx.

6) Trace as curvas de nível dez?1?x

2?y2.Esboce o gráfico da superfície definida por esta função. Dê

o domínio e a imagem:

7) Trace as curvas de nível dez?

1 2x2?1

2y2.Esboce o gráfico da superfície definida por esta função:

1.5 Limites e Continuidade de funções de Duas Variáveis

DEFINIÇÃO 3:lim?x,y???a,b?f?x,y??Lse para todo??0existe??0tal que|f?x,y??L|??sempre que?x,y??D e0??x?a?

2??y?b?2??ou sejaf?x,y??Lquando?x,y???a,b?.

Exemplo 6: Achelim?x,y???2,?3??x3?4xy2?5y?7?.Resp.: -86

Observação: Sef?x,y??L

1quando?x,y???a,b?ao longo do caminhoC1ef?x,y??L2quando?x,y???a,b?

ao longo do caminhoC

2,comL1?L2,entãolim?x,y???a,b?f?x,y?não existe.

Exemplo 7: Mostre quelim

?x,y???0,0? x2?y2 x2?y2não existe. Solução: Aproximando?x,y???0,0?ao longo do eixox tomandoy?0,?f?x,0??x 2 x2?1?;posteriormente?x,y???0,0?ao longo do eixoytomando x?0.?f?0,y???y 2 y2??1?.

Exemplo 8: Mostre quelim

?x,y???0,0? xy x

2?y2não existe. (use a retax?y).

DEFINIÇÃO 4: Uma funçãof?x,y?é dita contínua em?a,b?selim ?x,y???a,b?f?x,y??f?a,b?.Dizemos quefé contínua emDseffor contínua em todo ponto?a,b?deD.

Exemplo 9: verifique sef?x,y??x

3?4xy2?5y?7é contínua em?x,y???2,?3?.

Exemplo 10: Onde a funçãof?x,y??x

2?y2 x2?y2é contínua?

Exemplo 11: Onde a funçãog?x,y??

x2?y2 x2?y2,se?x,y???0,0?

0se?x,y???0,0?é descontínua?

1.7 Lista de Exercícios 2:Calcule os limites:

a)lim?x,y???0,0?x 2?2

3?xyR.:?2

3g)lim?x,y???0,0?x

2 x2?y2R.: Não existe b)lim ?x,y????

2,1?y?1

2?cosxR.:1h)lim?x,y???0,0?xycosy

3x2?y2R.: Não existe

c)lim ?x,y???0,0? x4?y4 x2?y2R.:0i)lim?x,y???0,0?xy x2?y2R.:0 d)lim ?x,y???0,0?3x

3?2x2y?3y2x?2y3

x2?y2R.:0j)lim?x,y???0,0?2x 2y x

4?y2R.: Não existe

e)lim ?x,y,z???2,3,1?y

2?4y?3

2z?y?3?R.:1

2k)lim?x,y???0,0?x

2?y2 ?x2?y2?1??1R.: 2 f)lim ?x,y???5,?2??x5?4x3y?5xy2?R.:2025

2.DERIVADAS PARCIAIS

Da definição de derivadaf??x?para uma função de uma variável, temos: f ??x??df?x? dx?lim?x?0 f?x? ?x??f?x? ?x. Exemplo 1: Calcule a derivada da funçãoy?1?x

2. Calcule o valor dessa derivada parax?1. Esboce o

gráfico da funçãoye interprete o valor da derivada no ponto?1,2?.

Bem, como estamos estudando funções de duas variáveis, o que representa a derivada de uma função de

duas variáveis?? Consideremosu?x,y?, para?x,y?que varia numa determinada região do planoxy, uma função que representa a temperatura de uma placa retangular. Observe que atemperatura em cada ponto da placa,

depende da posição do ponto. Observe também, quexeypodem ambas variar ou pode uma variar e a

outra ficar fixa. Assim podemos considerar a taxa de variação em relação a cada uma das variáveis

independentes. Ou seja, podemos considerar a taxa de variação de u em relação àx, enquantoy

permanece constante e a taxa deuem relação ay, enquantoxpermanece constante. Essa idéia conduz ao

conceito de derivadas parciais. Definição de derivadas parciais (primeiras) defem relação axey, como as funçõesf xefytais que f x?x,y???f ?x?lim?x?0 f?x? ?x,y??f?x,y? ?x e f y?x,y???f ?y?lim?y?0 f?x,y? ?y??f?x,y? ?y

Exemplo 2: Sef?x,y??3x2?2xy?y2, ache:

a)f x?x,y?efy?x,y? b)f x?3,?2?efy?3,?2?

2.1 Interpretação das Derivadas Parciais

Exemplo 3: Sejaf?x,y??4?x2?2y2;achefx?1,1?efy?1,1?. 5

Observação 1: Valem para derivadas parciais fórmulas análogas às das funções de uma variável. Por

exemplo, seu?f?x,y?ev?g?x,y?, então: ?x ?u.v??u?v?x?v?u?xe??x?uv??v?u?x ?u?v?x v2

Exemplo 4: Encontre?w?ysew?xy2exy:

Aplicando a regra do produto parau?xy

2ev?exy, obtemos?w?y??x2y2?2xy?exy

Exemplo 5: Sew?x2y3sinz?exz, ache?w?x,?w?ye?w?z:

Resp.:

?w?x

2.2 Derivadas Parciais Segundas

NOTAÇÃO:fxx???x?f

?x?? 2f ?x

2efyy???y?f

?y?? 2f ?y 2

2.2.1DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS

TEOREMA 1: Sejafuma função de duas variáveisxey.Sef,f x,fy,fxyefyxsão contínuas em uma região aberta R, entãof xy?fyxem toda região R. f yx???x?f ?y?? 2f ?x?yefxy???y?f ?x?? 2f ?y?x Exemplo 6: Determine as derivadas parciais de segunda ordem def?x,y??x3?x2y3?2y2.

2.3 Equações Diferenciais Parciais

Exemplo 7: Uma função de temperatura de estado estacionárioz?z?x,y?para uma placa plana satisfaz a

equação de Laplace quando 2z ?x 2?? 2z ?y

2?0. Determine se as funções, a seguir, satisfazem a equação de

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