[PDF] Aplicações das Integrais Definidas





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Aula 3 Derivadas Parciais .5cm MA211 - Cálculo II

Considere uma função f que associa x = (x1x2



MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x

g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a



CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx



Cálculo Diferencial e Integral II

(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0





Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas

2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0



Cálculo Diferencial e Integral II

x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0



Aplicações das Integrais Definidas

1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.



DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e

1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...



Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1



1 Factoring Formulas - Department of Mathematics

of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1



Functions)Worksheet) - George Mason University

Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9

What is f(x) = 1x?

Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.

What is the formula for calculating the PDF of X and Y?

Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2

Which function is defined by f (x) = 3x + 2?

Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.

What is PDF/X?

PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.

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Aplicações das Integrais Definidas 128
CAPÍTULO 8 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

8.1- A Integral Definida para Cálculo de Área

A integral definida de uma função f(x), num intervalo [a,b] é igual à área entre a curva de f(x) e o eixo dos x.

b a dx)x(f xa a 1 dxf x2a xa2 dxf dxf 1 dxf 2 pois, o i f para um dado retângulo é constante = xf 1 + xf 2 + ... = A 1 + A 2 + ... = A

Adx)x(f

b a

área sob a curva

Exercícios

1) Determinar a área limitada pela curva

2 xx5ye pelo eixo x. 0xx5 2

0)x5(x

2 xx5y 5x0x

0 5

2) Dada a função

xy calcular a área sob o gráfico de 0x a 3x. A = 3 0 dx)x(f 3 0 dxx 3 02

2x = 29

Por geometriax

129A =

21
base altura = 21

3 3 =

29
que é o mesmo resultado obtido por integração.

3) Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva f(x) =

81
(x 2 - 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.

O gráfico da curva é:

A = dx8x2x81 24
2 4 2 2 3 x8x3x 81
4 223
x8x 24x
244
3 84
2 + 4 - 28)2(
24)2(
23

2464 - 816 + 4 +

4) Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y = x

2 - 3x + 2 e o eixo x que é y = 0. A 2 b a dx)x(f 2 1 2 dx2x3x 2 123
x22x3 3x A 2 223

314243

38 = +

65
32 =

61 unidades de área

8.1.1- A Integral Definida para Cálculo de Área de Funções Pares e Impares

Quando uma função é par ou impar o cálculo de sua área é feito dobrando a área calculada no primeiro

quadrante, isto é, quando se possui uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existe uma simetria da função que

permite que a área a a dx)x(fA seja e dada por a 0 dx)x(f2A.

Exemplo: Se tivermos uma curva gerada por funções pares ou ímpares, existirão simetrias do tipo

y = 0 x 2 - 3x + 2 =

0 fornece x

1 = 1 e x 2 = 2. b a dx)x(f = A , então aa a dxxfdxxf 0 )(2)( y f(x)=x 2 X a 0 130
2 2 2 dxx = 2 23
3x

38 + 38 = 316

2 2 0 2 dxx = 2 2 03

3x = 2 38 = 316

Observação: Note que a curva é simétrica em relação a y. No entanto, a função a seguir é ímpar e gera um gráfico assimétrico.

A integral

0dx)x(f

2 2 porque a curva é assimétrica, e portanto, de sinal contrário em relação à origem. 2 02 04 2 04 3 .a.u8082x

4x2dxx2A

ou 0444xdxx 2 24
2 2 3 (integral nula) "A área deve ser considerada sempre positiva."

8.1.2- A Integral Definida para Cálculo de Área entre Duas Funções

Teorema: A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por:

dx)x(g)x(fA b a e é sempre positiva. A = 2 2 0 3 dxx -2 2 f(x) g(x)

131Exercícios

1) Determinar a área limitada pelas curvas y = 5x - x

2 e y = 2x. - Pontos de interseção - Área x = 4 - y 2

2y0y4y4x

22
.a.u332A8.32.2A3

2.x42Adx)1.()x4(.2Adxx4.2A

4 0 2 34
0 211A4
0 ou .a.u332A388.2A3 yy4.2Ady)y4(2A 2 032
0 2 y = 5x - x 2

3x0x0)3x(x0x3xxx5x2x2yxx5y

222
x4y A1

1323) Determinar a área limitada pelas curvas y

2 = 4ax; x + y = 3a; y = 0; primeiro quadrante e "a" positivo. - Pontos de interseção - Área y = x 3 e y =

Solução: Primeiro resolva o sistema y = x

3 = para achar os limites de integração. x 6 = x x(x 5 - 1) = 0x = 0 e x = 1 satisfazem a equação. A = dxxx 1 0 3 pode integrar e depois tomar o módulo. A = dxxx 1 0 32/1
1 042/3
4x 3x2 = 32 - 41 = 1238 = 125 x ya3x -2

22222222

y = x 3 y =

1335) Calcule a área entre os gráficos de y = x + 2 e y = x

2 Resolve-se o sistema de equações para achar P 1 e P 2 y = x 2 = x + 2 x 2 - x - 2 = 0 x = -1 e x = 2 A = dxx2x 2 1 2 A =

31221 =

6) Achar a área da região limitada pelos gráficos x = y

2 - 2y e x = 2y - 3. x = y 2 - 2y = 2y - 3 y' - 4y + 3 = 0 y 1 = 1 e y 2 = 3 e x 1 = -1 e x 2 = 3

A integração é feita em y, porque as funções estão resolvidas para x e não para y.

A = dy)y(g)y(f 3 1 3 13 y3y23y 34
y=x 2 -1 0 2 x

134Exercícios Propostos

Calcule a área da curva com o eixo x nos intervalos:

1) y =

x1 entre x = 1 e x = 2,718

2) y = 4 - x

2 (só a parte acima de x)

3) y = x

2 - 3x entre x = 0 e x = 3

4) Calcular a área entre a reta y = 4 e y = x

2 no intervalo de x = 0 a x = 2 A = a 0 1 dx)x(f a 0 2 dx)x(f

5) Achar a área entre as curvas y = x

3 e y = x 2 no intervalo x = 0 a x = 1. A= a 0 21
dx)x(f)x(f f 1 (x) f 2 (x) Y X)(xf

135 8.1.3- A Integral Definida para Cálculo do Centróide

O centróide de uma região plana (R) é definido como o centro de massa da região. O centro de massa é o

ponto pelo qual esta região R pode ser suspensa sem girar.

As coordenadas (

x, y) do centróide são dadas por 2 1 x x dxx)]x(g)x(f[A1x 2 1 x x 22
dx)]x(g)x(f[A21y

Exercícios

1) Achar as coordenadas do centróide da região limitada pela curva y

2 = 2x e o eixo x, no intervalo [0,3].

Solução: Acha-se a área A

A = 3 0 dxx2 3 0 2/1 dxxquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
[PDF] f(x) = x^3

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[PDF] f(x)=2

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[PDF] f(x)=x^4

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