Cálculo Diferencial e Integral II PDF

Considere uma função f que associa x = (x1x2

MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x

g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a

CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx

Cálculo Diferencial e Integral II

(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente .5cm MA211

z = f(x)x = (x1

Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas

2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0

Cálculo Diferencial e Integral II

x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0

Aplicações das Integrais Definidas

1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.

DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e

1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1

1 Factoring Formulas - Department of Mathematics

of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1

Functions)Worksheet) - George Mason University

Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9

What is f(x) = 1x?

Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.

What is the formula for calculating the PDF of X and Y?

Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2

Which function is defined by f (x) = 3x + 2?

Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.

What is PDF/X?

PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.

Past day

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ci

encias Exatas - ICEx

Departamento de Matem

´atica

C´alculo Diferencial e Integral II

Resolu¸c˜ao da 3aprova - 16/11/2011 - Turma B3

1. Definaf(x,y) =x3y-xy3

x2+y2se (x,y) n˜ao ´e o ponto (0,0) ef(0,0) = 0. (a) (3 pontos).Determinefx(x,y) efy(x,y) quando (x,y) n˜ao ´e o ponto (0,0). (b) (3 pontos).Determinefx(0,0) efy(0,0) usando limites. (c) (3 pontos).Mostre quefxy(0,0) =-1 efyx(0,0) = 1.

Solu¸c˜ao.

(a)f(x,y) =x3y-xy3 Comof(x,y) =-f(y,x),a outra derivada parcial sai facilmente e temos f x=x4y+ 4x2y3-y5 (x2+y2)2, fy=x5-xy4-4x3y2(x2+y2)2(1) (b) f x(0,0) = limh→0f(h,0)-f(0,0) h= 0, fy(0,0) = 0 (2) (c)Tamb´em, usando (1) e (2), f xy(0,0) = limh→0f x(0,h)-fx(0,0) h= limh→0- h5 h4 h=-1 f yx(0,0) = limh→0f y(h,0)-fy(0,0) h= limh→0h 5 h4 h= 1

2.(10 pontos).Sez=f(x,y) ondex=rcosθey=rsenθ, mostre que

?∂z ∂x? 2 +?∂z∂y? 2 =?∂z∂r? 2 +1r2? ∂z∂θ? 2

Solu¸c˜ao.Pela Regra da Cadeia,

∂z ∂z ∂θ=∂z∂x(-rsenθ) +∂z∂y(rcosθ)

Donde,

?∂z ∂r? 2 =?∂z∂x? 2

·cos2θ+?∂z∂y?

2 ·sen2θ+ 2∂z∂x·∂z∂ycosθsenθ e, 1 r2? ∂z∂θ? 2 =1r2? r

2?∂z∂x?

·cos2θ+r2?∂z∂y?

2 ?∂z ∂x? 2 cos

2θ+?∂z∂y?

2 sen

E somando,

∂z ∂r? 2 +1r2? ∂z∂θ? 2 =?∂z∂x? 2 +?∂z∂y? 2

3.(8 pontos).Determine os valores m´aximo e m´ınimo absolutos de

Solu¸c˜ao.f(x,y) = 2x2+ 3y2-4x-5

(i) No bordo do disco,g(x,y) =x2+y2= 16.Por Lagrange,?????f x=λgx f y=λgy g= 16??????4x-4 =λ2x

6y=λ2y

2+y2= 16?

y= 0 ouλ= 3

Sey= 0, x=±4?(x,y) = (4,0),(-4,0)

Seλ= 3, x=-2, y=±2⎷3?(x,y) = (-2,2⎷3),(-2,-2⎷3) (ii) No interior do disco,os pontos cr´ıticos defs˜ao, f x= 0, fy= 0?4x-4 = 0,6y= 0 e (x,y) = (1,0)´e o ´unico ponto cr´ıtico. (iii)Comparando os valores, f(4,0) = 2(16) + 0-4(4)-5 = 11 f(-4,0) = 2(16) + 0-4(-4)-5 = 43 f(-2,±2⎷3) = 2(4) + 3(12)-4(-2)-5 = 47Valor m´aximo f(1,0) = 2 + 0-4-5 =-7Valor m´ınimo

4.(7 pontos).Determine os m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela da fun¸c˜ao

f(x,y) =xye-x2-y2. Solu¸c˜ao.f(x,y) =xye-x2-y2.Calculamos as derivadas parciais at´e a 2a ordem, f x=ye-x2-y2+xye-x2-y2(-2x) =ye-x2-y2(1-2x2), fy=xe-x2-y2(1-2y2),(3) f xx=ye-x2-y2(-2x)(1-2x2) +ye-x2-y2(-4x) = 2xye-x2-y2(2x2-3),(4) f yy= 2xye-x2-y2(2y2-3), fxy=e-x2-y2(1-2x2)(1-2y2) (5)

Procuramos os pontos cr´ıticos paraf,

f x=ye-x2-y2(1-2x2) = 0, fy=xe-x2-y2(1-2y2) = 0 ?(x,y) = (0,0)ou(x,y) = (±1⎷2,±1⎷2) De acordo com (4) e (5),e lembrando queD=fxxfyy-f2xy,temos,

D(0,0) =-1<0?

(0,0)´e um ponto de sela.

Por outro lado,D(±1

⎷2,±1⎷2) =e-2>0.E f xx(1 ⎷2,1⎷2) =-e-1=fxx(-1⎷2,-1⎷2)<0 (1⎷2,1⎷2)), e(-1⎷2,-1⎷2)s˜ao m´aximos locais.

Tamb´em,

f xx(1 ⎷2,-1⎷2) =e-1=fxx(-1⎷2,1⎷2)>0 (1⎷2,-1⎷2)), e(-1⎷2,1⎷2)s˜ao m´ınimos locais.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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