Aula 3 Derivadas Parciais .5cm MA211 - Cálculo II
Considere uma função f que associa x = (x1x2
MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x
g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a
CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx
Cálculo Diferencial e Integral II
(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0
Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente .5cm MA211
z = f(x)x = (x1
Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas
2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0
Cálculo Diferencial e Integral II
x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0
Aplicações das Integrais Definidas
1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.
DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...
Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1
1 Factoring Formulas - Department of Mathematics
of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1
Functions)Worksheet) - George Mason University
Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9
What is f(x) = 1x?
Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.
What is the formula for calculating the PDF of X and Y?
Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2
Which function is defined by f (x) = 3x + 2?
Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.
What is PDF/X?
PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.
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61Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e GonçalvesDERIVADA
O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e o problema para encontrar a velocidade de um objeto envolvem determinar o mesmo tipo de limite. Este tipo especial de limite é chamado derivada e será interpretado como uma taxa de variaçãoA Reta Tangente
Seja f uma função definida numa vizinhança de a. Para definir a reta tangente de uma curva y = f(x) num ponto P(a, f(a)), consideramos um ponto vizinho Q(x,f(x)), em que x a e calculamos a inclinação (ou coeficiente angular) da reta secante PQ, que é obtida por: Em seguida, fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva y = f(x) ao obrigar x tender ao ponto a. Se mPQ tender a um número m (valor limite), definimos a tangente t como sendo a reta que passa por P e tem inclinação m.Definição: A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(a, f(a)), é a reta por P que tem
a inclinação ax afxfmax )()(lim desde que esse limite existaExercícios:
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1, 1).
2. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x3 no ponto de abcissa x = 1.
62Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e GonçalvesHá outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil de ser usada.
Se h = x a, então x = a + h e, assim, a inclinação da reta secante PQ é: h afhafmPQ)()( Quando x a, h 0 (pois h = x a). Assim a expressão para a inclinação da reta tangente fica: h afhafmh )()(lim0Exercício:
Encontre uma equação da reta tangente a hipérbole ݕൌଷ ௫ no ponto P(3, 1).Velocidades
A Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve o movimento é chamada função de posição do objeto.No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h a variação na posição será de f(a + h) f(a).
A velocidade média neste intervalo é:
PQmh afhaf tempo todeslocamenVm )()( que é o mesmo que a inclinação da reta secante PQ. 63Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e Gonçalves Se a velocidade média for calculada em intervalos cada vez menores [a, a+h], fazemos h 0. Definimos velocidade instantânea v(a) no instante t = a como o limite das velocidades médias: h afhafavh )()(lim)(0Isso significa que a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da reta tangente em P.
Exercício:
Uma bola foi abandonada do posto de observação de uma torre a 450m acima do solo. Utilizando a equação de movimento s = f (t) = 4,9t2, determine a velocidade da bola após 5 segundos?Outras taxas de variação
Se y é uma quantidade que depende de outra quantidade x, então y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Se x varia de x1 para x2, então a variação de x (também chamada de incremento de x) é12xxx '
e a variação correspondente de y é )()(12xfxfy 'O quociente de diferença
1212)()(
xx xfxf x yé chamado de taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x1, x2] e pode ser
interpretado como a variação da reta secante PQ. 64Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e Gonçalves Para considerar a taxa média de variação em intervalos cada vez menores, fazemos x2 tender a x1 e, consequentemente, ǻx tenderá a 0.O limite dessas taxas médias de variação é chamado taxa (instantânea) de variação de
y em relação a x em x = x1, é interpretada como a inclinação da tangente à curva y = f (x) em
P(x1, f (x1)).
Outras taxas de variações envolvem reações químicas, custo marginal, potência, colônia
de bactérias, entre outros. Todas estas taxas podem ser interpretadas como inclinações de tangente.Derivadas
O limite da forma
h afhaf h )()(lim0 surge sempre que calculamos uma taxa devariação em várias ciências (química, física, economia, etc). Como este tipo de limite ocorre
amplamente, ele recebe nome e notação especiais. Definição: A derivada de uma função em um número a, denotado por f a) é h afhafafh )()(lim)('0 se o limite existe. Se escrevermos x = a + h, então h = x a e h 0 x a. Assim, ax afxfafax )()(lim)´(Exercício:
Encontre a derivada da função f(x) = x2 2x + 1 no número a. 65Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e GonçalvesDerivada como a inclinação da reta tangente
A reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) foi definida como sendo a reta que passa em P e tem inclinação h afhafmh )()(lim0 , que por definição é o mesmo que a derivada f a). Logo, Usando a forma ponto-inclinação da equação de uma reta, podemos escrever uma equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) como: y f(a) = f a)(x a)Exercícios:
1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x) = x2 2x + 1 no ponto (2, 1).
2. Encontre uma equação da reta tangente à parábola f(x) = x2 8x + 9 no ponto (3, -6).
3. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)=
x no ponto P da abscissa x = 4.A reta tangente a y = f(x) em (a, f(a)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja inclinação é
igual a f a), a derivada de f em a. 66Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e Gonçalves4. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abcissa é 2.
Derivada como taxa instantânea de variação A taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x em x = x1 é: 1212)()(lim
12xx xfxf xxque por definição é o mesmo que a derivada f x1). Assim, temos uma segunda interpretação
da derivada:Exercício:
A equação de uma partícula é dada pela equação do movimento s = f(t) = 1/(1+t), em que t
é medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade após 2 segundos.A derivada f a) é a taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x quando x = a.
67Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e GonçalvesA derivada como uma função
A derivada de uma função em um número fixo a, é dada por: Entretanto, podemos variar o número a substituindo-o por uma variável x, obtendo:x, f x), pode ser interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico
de f no ponto (x, f(x)). O domínio de f x/f x) existe} e pode ser menor que o domínio de f.Exercícios:
1 - Se f(x) = x3 x, encontre f (x). Determine o domínio de f e f
2 - Se
1)( xxf
, encontre a derivada de f. Determine o domínio de f e f . 68Cálculo II Profa. Adriana Cherri
Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1 James Stewart e Cálculo A Flemming e GonçalvesOutras notações para derivada
Se usarmos a notação y = f(x) para indicar que a variável independente é x enquanto y é
a variável dependente, podemos usar como notações alternativas para a derivada: )()()(')('xfDxDfxfdx d dx df dx dyyxfx Para indica o valor de uma derivada na notação de Leibniz em um ponto específico a, usamos a notação: axaxdx dy dx dy quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] f(x) calculer
[PDF] f(x)=2
[PDF] f(x)=x+1
[PDF] f'(x) dérivé
[PDF] f(x)=x^4
[PDF] f(x)=3
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