Cálculo Diferencial e Integral II PDF

Considere uma função f que associa x = (x1x2

MAT302 - Cálculo 2 INTEGRAIS Integral Indefinida pág. 403 Þ f x

g x dx para f e g integráveis no intervalo fechado a

CÁLCULO 3 1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

x2 e fyy y f y. 2f y2. 2.2.1 DERIVADAS PARCIAS SEGUNDAS MISTAS. TEOREMA 1: Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se ffx

Cálculo Diferencial e Integral II

(x2 + y2)2. fy = x5 - xy4 - 4x3y2. (x2 + y2)2. (1). (b) fx(0

Aula 6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente .5cm MA211

z = f(x)x = (x1

Aula de Exercícios - Variáveis Aleatórias Contínuas

2e?2x . Resta mostrar que sua integral é 1. Mas sabemos a (c) Determine P(X ? 1/2) P(X > 1/2) e P(1/4 ? X ? 3/4). ... P(X < m)=0

Cálculo Diferencial e Integral II

x2+y2+z4. (b) (4 pontos). lim. (xy)?(0

Aplicações das Integrais Definidas

1) Determinar a área limitada pela curva. 2 xx5y. -. = e pelo eixo x. 0xx5. 2= -. 0)x5(x 0 1. 2. ?. ?. = - a a a dxxf dxxf. 0. )(2. )( y f(x)=x2. X.

DERIVADA O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e

1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1 1). 2. Determinar a equação da reta tangente à curva f(x)= x no ponto P da ...

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Deter- mine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado por 36 pares. S = {(1

1 Factoring Formulas - Department of Mathematics

of change of f as x varies between x 1 and x 2 is the quotient average rate of change = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 = f(x 2) f(x 1) x 2 x 1 (6 1) It’s a linear approximation of the behavior of f between the points x 1 and x 2 7 Quadratic Functions The quadratic function (aka the parabola function or the square function) f(x) = ax2 + bx+ c (7 1

Functions)Worksheet) - George Mason University

Functions)Worksheet) Domain)Range)and)Function)Notation) 1 #Find#the#domain# ####a € f(x)= x?4 x?2 #####b € g(x)= x2+5 x+1 # #####c € h(x)= x x2?9

What is f(x) = 1x?

Key Point. A function of the form f(x) = ax (where a > 0) is called an exponential function. The function f(x) = 1x is just the constant function f(x) = 1. The function f(x) = ax for a > 1 has a graph which is close to the x-axis for negative x and increases rapidly for positive x.

What is the formula for calculating the PDF of X and Y?

Y. S. Han Multiple Random Variables 111 • Marginal pdfs of X and Y are fX(x) = e?(x?m1)2/2?2 1 ? 2??1 , fY(y) = e?(y?m2)2/2?2 2

Which function is defined by f (x) = 3x + 2?

Prove the function f: R ? R defined by f ( x) = 3 x + 2 is one-to-one. Assume f ( x 1) = f ( x 2), which means 3 x 1 + 2 = 3 x 2 + 2. so x 1 = x 2.

What is PDF/X?

PDF/X was the first ISO standard based on PDF technology. A subset of the PDF specification, PDF/X was designed to enable PDF files to meet specific user needs. For example, the relevant files must be complete, i.e., self-sufficient.

Past day

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ci

encias Exatas - ICEx

Departamento de Matem

´atica

C´alculo Diferencial e Integral II

Resolu¸c˜ao da 3aprova - 16/11/2011 - Turma A1

1. Calcule o limite, se existir, ou mostre que o limite n˜ao existe.

(a) (4 pontos).lim (x,y,z)→(0,0,0)xy+yz2+xz2 x2+y2+z4 (b) (4 pontos).lim (x,y)→(0,0)e -x2-y2-1 x2+y2

Solu¸c˜ao.

(a)Quandoy=xez= 0,lim(x,y,z)→(0,0,0)xy+yz2+xz2 x2+y2+z4= limx→0x

22x2=12,

e quandoy= 2xez= 0, lim (x,y,z)→(0,0,0)xy+yz2+xz2 x2+y2+z4= limx→02x25x2=25. Como 2

5´e diferente de12,temos queo limite n˜ao existe.

(b)Usando coordenadas polares,x=rcosθ, y=rsenθ?x2+y2=r2e lim (x,y)→(0,0)e -x2-y2-1 x2+y2= limr→0e -r2-1r2= limr→0e -r2(-2r)2r= limr→0(-e-r2) =-1

2.(10 pontos).A temperatura em um ponto (x,y) ´eT(x,y) medida em graus

Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posi¸c˜ao depois detsegundos seja dada porx=⎷

1 +t, y= 2 +13t,ondexeys˜ao medidas em cent´ımetros. A fun¸c˜ao

temperatura satisfazTx(2,3) = 4 eTy(2,3) = 3.Qu˜ao r´apido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de trˆes segundos?

Solu¸c˜ao.Set= 3,ent˜ao,x=⎷

1 + 3 = 2, y= 2 +133 = 3.E assim, o inseto passa

pelo ponto (2,3) depois de trˆes segundos. Sabemos que∂T ∂x(2,3) = 4 e∂T∂y(2,3) = 3.E quandot= 3,calculando as derivadas, obtemos que,dx dt=12⎷1+t=14,dydt=13.

E como, pela Regra da Cadeia, temos,

dT em particular, parat= 3 obtemos que a taxa de varia¸c˜ao deT´e dT dt= 4·14+ 3·13=2

3.(8 pontos).Determine os valores m´aximo e m´ınimo absolutos def(x,y) =

Solu¸c˜ao.f(x,y) =e-x2-y2(x2+ 2y2)

?fx=-2xe-x2-y2(x2+ 2y2) +e-x2-y2(2x) = 2xe-x2-y2(-x2-2y2+ 1) e, analogamente,fy= 2y e-x2-y2(-x2-2y2+ 2). (i)Primeiro, paraf(x,y) restrita `afronteira do disco,g(x,y) =x2+y2= 4.Os pontos (x,y) de m´aximo ou de m´ınimo devem satisfazer, f x= 2xe-x2-y2(-x2-2y2+ 1) =λ2x f y= 2ye-x2-y2(-x2-2y2+ 2) =λ2y

Dai que sexeys˜ao n˜ao nulos,

λ=e-x2-y2(-x2-2y2+ 1) =e-x2-y2(-x2-2y2+ 2)?1 = 2,absurdo.

Ent˜ao, temos duas op¸c˜oes,

x= 0,ouy=0

Sex= 0, y=±2?f(0,±2) =e-4(8)

Sey= 0, x=±2?f(±2,0) =e-4(4)

(ii)Em segundo lugar, os pontos cr´ıticos defnointerior do discodevem satisfazer f x= 0, fy= 0?x= 0 ouy= 0 (Caso contr´ario, nos teriamos,1 = 2, um absurdo).

Sex= 0, ent˜aoy= 0 e o valor def´e

f(0,0) = 0ou -2y2+ 2 = 0?y=±1 e o valor ´e f(0,±1) =2e

Sey= 0, ent˜aox= 0 e o valor ´ef(0,0) = 0ou

-x2+ 1 = 0, x=±1 e o valor ´e f(±1,0) =1e

E como

0<4 e4<8e4<1e<2e(a desigualdade do meio ´e devido a que 8 = 23< e3) o valor m´ınimo def´e f(0,0) = 0eo valor m´aximo def´ef(0,±1) =2e

4.(8 pontos).Determine os m´aximos e m´ınimos locais e os pontos de sela da fun¸c˜ao

f(x,y) = (x2+y)ey/2. Solu¸c˜ao.f(x,y) = (x2+y)ey/2.Calculamos as derivadas parciais at´e a 2a ordem, f x= 2xey/2, fy=ey/2+1

2(x2+y)ey/2=12(x2+y+ 2)ey/2(1)

f xx= 2ey/2, fxy=xey/2, fyy=1

2ey/2+14(x2+y+ 2)ey/2=14(x2+y+ 4)ey/2(2)

E temos um ´unico ponto cr´ıtico parafpois f x= 2xey/2= 0, fy=1

2(x2+y+ 2)ey/2= 0?(x,y) = (0,-2)

De acordo com (2),

f xx(0,-2) = 2e-1, fyy(0,-2) =1

2e-1, fxy(0,-2) = 0

D=D(0,-2) =fxx(0,-2)fyy(0,-2)-(fxy(0,-2))2=e-2>0

e f xx(0,-2) = 2e-1>0 e o ponto (0,-2)´e um m´ınimo local.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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