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Lycée du ParcClasse MPSI

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La série harmonique

On pose pour toutn?N?, la somme partielle harmonique : Hn=n? k=11k.

Calcul d"un équivalent deHn

On effectue une comparaison série / intégrale. On pose la fonction f:?????]0,+∞[-→R t?-→1 t qui est continue et décroissante sur]0,+∞[.On obtient l"encadrement classique : ?k+1 k f?f(k)?? k k-1f,

l"inégalité de gauche étant valable pour toutk?N?et celle de droite étant valableseulement pour les entiers

k?2.En procédant à une sommation - à l"aide de la relation de Chasles, on obtient ainsipour tout

n?N?: ?n+1 1 f= ln(n+ 1)?Hn=n? k=1f(k)?f(1) +? n 1 f= 1 + lnn.

Or,ln(n+ 1) = lnn+ ln?

1 +1n?

= lnn+◦(1) = lnn+◦(lnn).Par conséquent, on dispose d"un encadrement du type : lnn+◦(lnn)?Hn?lnn+◦(lnn). En divisant le tout parlnnpuis en utilisant le théorème des gendarmes, on conclutque :

Hn≂n-→+∞lnn.

Calcul du terme suivant dans le développe-ment asymptotique

On utilise cette fois-ci les séries télescopiques. Ce paragraphe démontre égalementle paragraphe précédent.On pose

vn=Hn-lnn, de sorte que : vn+1-vn=Hn+1-Hn-ln?

1 +1n?

1 n+ 1-1n+O?1n2? =O?1 n2?, de série absolument convergente.Conclusion, la série télescopique n(vn+1-vn)converge, donc la suite(vn)n?N? converge.On note γ, sa limite, appelée constante d"Euler, de sorte quevn=γ+◦(1)et :

Hn= lnn+γ+◦(1).

Calcul du terme suivant dans le développe-ment asymptotique

Pour obtenir le terme suivant, on utilise un terme de plus dans le développementlimité. On écrit avec les notations déjà utilisées :

vn+1-vn=1n+ 1-ln?

1 +1n?

1 n+ 1-1n+12n2+◦?1n2? =-1 n(n+ 1)+12n2+◦?1n2? =-1n2+12n2+◦?1n2? =-1

2n2+◦?1n2?

On en déduit en effectuant la sommation de ces termes dont les séries associéessont bien absolument convergentes, donc convergentes :

γ-vn=+∞?

k=n(vk+1-vk) =+∞? k=n? -12k2+◦?1k2?? Soitε >0. Il existe un rangn0à partir duquel : ?n?n0,? -12-ε?1n2?? -12n2+◦?1n2?? -12+ε?1n2.

Par sommation, on obtient pourn?n0:

-1

2-ε?

k=n1k2?γ-vn?? -12+ε? k=n1k2.

Ceci montre avec lesεque :

γ-vn≂n-→+∞-12+∞?

k=n1k2.

Il ne reste plus qu"à calculer à un équivalent de cette dernière somme, en utilisantune comparaison série / intégrale.On pose la fonction

g:?????]0,+∞[-→R t?-→1 t2 , qui est continue et décroissante.De l"encadrement : ?k+1 k g?g(k)?? k k-1g, en fixantn?2, on somme sur les entiersk?n, ce qui donne : limN-→+∞N k=n? k+1 k g?limN-→+∞N k=ng(k) =+∞? k=n1k2?limN-→+∞N k=n? k k-1g.

Or,limN-→+∞N

k=n? k+1 k g= limN-→+∞? N n g=1n, donc : 1 n?+∞? k=n1k2?1n-1 et k=n1 k2≂n-→+∞1n.Conclusion,

γ-vn≂n-→+∞-12net :

Hn= lnn+γ+12n+◦?1n?.

Calcul du terme suivant dans le développe-ment asymptotique

On réitère le processus. On pose :

wn=Hn-lnn-γ-12n=vn-γ-12n de façon à avoir tous calculs faits : wn+1-wn=16n3+◦?1n3?

La suite(wn)n?Ntend vers0donc :

wn=-+∞? k=n16k3≂n-→+∞-112n2 en utilisant un encadrement série / intégrale avec la fonction continue décroissante h:t?-→1t3.Conclusion :

Hn= lnn+γ+12n-112n2+◦?1n2?.

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