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DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Développement asymptotique de la série harmonique

Leçons :223,224,230

[X-ENS An1], exercice 3.18

On pose, pour toutn>1,Hn=nå

k=11k ; cherchons le développement asymptotique deHnquandntend vers l"infini. 1.

Posons, pour n2N,un=Hnlnnetvn=un1n

; on va montrer que(un)et(vn)sont adjacentes.

En effet :

Déjà, 8n2N,unvn=1n

>0 etunvn!n!¥0. D"une par t,l"inégalité ln (1+x)6x(valable pourx>1) fournit la décroissance de(un): u nun1=1n lnn+ln(n1) =1n +ln 11n 60.

D"autr ep art,la suite

(vn)croît, carvn+1vn=1n ln(n+1) +lnn=1n ln 1+1n >0.

Donc, en tant que suites adjacentes,

(un)et(vn)convergent, vers la même limite; cette limite, qu"on notera g, s"appelle la constante d"Euler1. 2. Du coup, on a montré que Hn=lnn+g+o(1)quandn!¥.

On pose, pourn2N,tn=ung.

Lorsquen!¥, on a :tntn1=ln

11n +1n =1n

12n2+o1n

2 +1n n!¥12n2.

Ainsi, la série

k>2( tktk1)converge. Par théorème de sommation des équivalents, on obtient : t n=¥å k=n+1( tktk1)n!¥¥å k=n+112k2=12 k=n+11k 2 3. On va justement cher cherun équivalent simple de la quantité k=n+11k a, oùa>1.

Commet7!1t

aest décroissante et intégrable sur[1,+¥[, on a :

8k>2,8t2[k,k+1],1t

a61k a61(t1)a.

En intégrant, on en déduit que :8k>2,Z

k+1 kdtt a61k a6Z k k1dtt a. Z n+1dtt a6¥å k=n+11k a6Z ndtt a. Comme les deux intégrales sont équivalentes à 1a11n a1, le casa=2 fournit alors :tnn!¥12n.

Désormais, on a montré queHn=lnn+g+12n+o1n

4. Continuons, et posons désormais, pour n2N,wn=ung12n; on a doncwn!n!¥0.

En conséquence, la somme

k=n+1( wkwk1)vautwn.1. Valeur approchée par défaut :g'0,577215.Florian LEMONNIER1 Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1

DÉVELOPPEMENTS POUR L"AGRÉGATION EXTERNE

Or8n2N,wnwn1=unun1+12n12n2=ln

11n +1n +12n12n2.

Donc, quandn!¥,

w nwn1=1n

12n213n3+1n

+12n 1111n
+o1n 3 =12n213n3+12n 1n +1n 2+o1n 2 +o1n 3 n!¥16n3 Ensuite, par sommation des équivalents,wnn!¥16 k=n+11k

3n!¥16

12n2=112n2.

Donc, on va s"arrêter

2avec le développement suivant :Hn=lnn+g+12n112n2+o1n

2 5. Pour finir ,notons pour n2N,kn=minfk2NjHk>ng(le rang auquel la série harmonique dépasse la valeurn). On va déduire du développement asymptotique deHnla valeur de limn!¥k n+1k n.3

On poseHn=lnn+g+#n, où#n!n!¥0.

Par définition dekn, on a : lnkn+g+#kn>net ln(kn1)+g+#kn1Puiskn>exp(ng#kn)etkn1

D"où l"encadrement exp

(ng#kn)6knAinsi,kn!n!¥engpuis limn!¥k n+1k n=e.

Références

[X-ENS An1] S. FRANCINOU, H. GIANELLAet S. NICOLAS-Oraux X-ENS Analyse 1, 3eéd., Cassini,

2014.2. C"est déjà assez chiant comme ça...

3. On s"occupe comme on peut!Florian LEMONNIER2

Diffusion à titre gratuit uniquement.ENS Rennes - Université Rennes 1quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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