Développement asymptotique de la série harmonique
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Formule d'Euler–Maclaurin et développement asymptotique de la série harmonique. Florian DUSSAP. Agrégation 2018. Définition. On note (Bp) les polynômes de
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23 janv. 2018 harmoniques indexées par ces bases
1 Développement asymptotique de ? 1 k et une application
est la n-ème somme partielle de la série harmonique ?. 1 n dont on sait qu'elle est divergente. Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
La série harmonique
ment asymptotique. Pour obtenir le terme suivant on utilise un terme de plus dans le développement limité. On écrit avec les notations déjà utilisées :.
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DÉMONSTRATION Soit ? > 1 Comme la fonction t ?? 1 t? est intégrable et décroissante d'après le théorème de comparaison série-intégrale la série
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Sandrine CARUSO Développement asymptotique de la série harmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas exos X-ENS analyse 1 Théorème
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Développement asymptotique de la série harmonique Léo Gayral 2017-2018 ref : FGN – Oraux X-ENS Analyse 1 – p 156 Lemme 1 Soit ? > 1
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est la n-ème somme partielle de la série harmonique ? 1 n dont on sait qu'elle est divergente Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
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Stanislas Thème Développement asymptotique de la série harmonique PSI 2021-2022 ? ? ? Pour tout entier naturel n non nul on pose Hn =
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23 jan 2018 · De cette façon nous déterminons des développements asymptotiques des sommes harmoniques indexées par ces bases grâce à leur série génératrice
Comment calculer une série harmonique ?
H8 = 1 + 12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ? 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12. et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.- Rappelons que la série harmonique joue un rôle im- portant en Analyse mathématique: c'est l'exemple standard d'une série à termes positifs qui diverge (i.e. en additionnant suffisamment de termes on dépasse n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, donné d'avance) bien que ses termes décroissent vers zéro.
Développement asymptotique de la
série harmoniqueLemme -8 >1;+1X
k=n+11k n!+1111n 1:DÉMONSTRATION
Soit >1.
Comme la fonctiont7!1t
est intégrable et décroissante, d"après le théorème de comparaison série-intégrale, la sérieX1n converge et vérifie :8n>1;Z
+1 n+1dtt 6+1X k=n+11k 6Z +1 ndtt soit8n>1;111(n+ 1)16+1X
k=n+11k 6111n1 donc +1X k=n+11k n!+1111n 1:
Proposition -Hn=n!+1ln(n) +
+12n112n2+o1n 2Pour toutn2N, on posekn= mink2N= Hk>n.
Alorslimn!+1k
n+1k n=e.20-sided dice12020-2021DÉMONSTRATION
Pour toutn>1, on poseun=Hnln(n)etvn=Hnln(n)1n
Soitn>1.
u n+1un=1n+ 1ln(n+ 1) + ln(n) =1n+ 1+ ln11n+ 1
60et v n+1vn=1n+ 1ln(n+ 1) + ln(n)1n+ 1+1n =1n ln 1 +1n >0 et u nvn=1n !n!+10: Donc les suites(un)n>1et(vn)n>1sont adjacentes et donc une limite finie
On conclut queHn=n!+1ln(n) +
+o(1).Pour toutn>1, on posetn=un
. Alors t n+1tn=1n+ 1+ ln11n+ 1
n!+11n+ 11n+ 112(n+ 1)2+o1(n+ 1)2 n!+112(n+ 1)2:Comme la série
P12(n+1)2est à termes positifs et convergente, par équivalence des restes, tn=+1X k=n(tk+1tk)n!+1+1X k=n12(k+ 1)2=+1X k=n+112k2n!+112n Donc t n=Hnln(n) =n!+112n+o1n :20-sided dice22020-2021Pour toutn>1, on posewn=tn12n.
w n+1wn=1n+ 1+ ln11n+ 1
12(n+ 1)+12n
1n+ 11n+ 112(n+ 1)213(n+ 1)3+o1(n+ 1)3
12(n+ 1)+12n
=12(n+ 1)213(n+ 1)3+o1(n+ 1)3 +12n(n+ 1)12n(n+ 1)213(n+ 1)3+o1(n+ 1)3
3(n+ 1)6n(n+ 1)32n6n(n+ 1)3+o1(n+ 1)3
n+ 36n(n+ 1)3+o1(n+ 1)316(n+ 1)3+o1(n+ 1)3
16(n+ 1)3
Comme la série
P16(n+1)3est à termes positifs et convergente, par équivalence des restes, wn=+1X k=n(wk+1wk)n!+1+1X k=n16(n+ 1)3n!+1112n2:20-sided dice32020-2021 Donc w n=Hnln(n)12n=n!+1112n2+o1n
2Pour toutn>1, on pose"n=Hnln(n)
!n!+10.Par définition dekn,
ln(kn) + +"kn>n >ln(kn1) + +"kn1:D"où
k ne +"kn>enet(kn1)e +"kn1< en: Donc e ne "kn1+ 1> kn>ene "kn: Ainsi k nn!+1ene ce qui implique que lim n!+1k n+1k n=e:20-sided dice42020-2021quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] etude d une suite définie implicitement
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