Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Francinou-Gianella-Nicolas Oraux X-ENS Analyse 1
Développement asymptotique de la série harmonique Références
Développement asymptotique de la série harmonique. Références : Oraux XENS Analyse 1 Serge Francinou. Théo. Posons
Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Leçons : 223 224
Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Léo Gayral. 2017-2018 ref : FGN – Oraux X-ENS Analyse 1 – p.156. Lemme 1. Soit ? > 1.
Développement asymptotique de la série harmonique
Sandrine CARUSO. Développement asymptotique de la série harmonique. Référence : Francinou - Gianella - Nicolas exos X-ENS
Formule dEuler–Maclaurin et développement asymptotique de la
Formule d'Euler–Maclaurin et développement asymptotique de la série harmonique. Florian DUSSAP. Agrégation 2018. Définition. On note (Bp) les polynômes de
Développement asymptotique de la série harmonique.pdf
Développement asymptotique de la série harmonique. Lemme — ?? > 1 comparaison série-intégrale
Développement asymptotique des sommes harmoniques
23 janv. 2018 harmoniques indexées par ces bases
1 Développement asymptotique de ? 1 k et une application
est la n-ème somme partielle de la série harmonique ?. 1 n dont on sait qu'elle est divergente. Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
La série harmonique
ment asymptotique. Pour obtenir le terme suivant on utilise un terme de plus dans le développement limité. On écrit avec les notations déjà utilisées :.
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique Francinou-Gianella-Nicolas Oraux X-ENS Analyse 1 page 145 Exercice : On pose Hn =1+
[PDF] 32 Développement asymptotique de la série harmonique
3 2 Développement asymptotique de la série harmonique Référence : S Francinou H Gianella S Nicolas Exercices de mathématiques oraux
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - ENS Rennes
Développement asymptotique de la série harmonique Leçons : 223 224 230 [X-ENS An1] exercice 3 18 On pose pour tout n ? 1 Hn =
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - Agreg-mathsfr
Développement asymptotique de la série harmonique Références : Oraux XENS Analyse 1 Serge Francinou Théo Posons pour tout n ? N?
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - Agreg-mathsfr
DÉMONSTRATION Soit ? > 1 Comme la fonction t ?? 1 t? est intégrable et décroissante d'après le théorème de comparaison série-intégrale la série
[PDF] Développement asymptotique de la série - Sandrine Caruso
Sandrine CARUSO Développement asymptotique de la série harmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas exos X-ENS analyse 1 Théorème
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - Léo Gayral
Développement asymptotique de la série harmonique Léo Gayral 2017-2018 ref : FGN – Oraux X-ENS Analyse 1 – p 156 Lemme 1 Soit ? > 1
[PDF] 1 Développement asymptotique de - AGREGMATHS
est la n-ème somme partielle de la série harmonique ? 1 n dont on sait qu'elle est divergente Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique
Stanislas Thème Développement asymptotique de la série harmonique PSI 2021-2022 ? ? ? Pour tout entier naturel n non nul on pose Hn =
[PDF] Développement asymptotique des sommes harmoniques
23 jan 2018 · De cette façon nous déterminons des développements asymptotiques des sommes harmoniques indexées par ces bases grâce à leur série génératrice
Comment calculer une série harmonique ?
H8 = 1 + 12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ? 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12. et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.- Rappelons que la série harmonique joue un rôle im- portant en Analyse mathématique: c'est l'exemple standard d'une série à termes positifs qui diverge (i.e. en additionnant suffisamment de termes on dépasse n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, donné d'avance) bien que ses termes décroissent vers zéro.
![[PDF] 32 Développement asymptotique de la série harmonique [PDF] 32 Développement asymptotique de la série harmonique](https://pdfprof.com/Listes/17/59266-17serie_harmonique.pdf.pdf.jpg)
Sandrine CARUSO
Développement asymptotique de la sérieharmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas, exos X-ENS, analyse 1Théorème.Pourn?N?, on poseHn=?n
k=11k . AlorsHnadmet le développement asymptotique suivant : H n= lnn+γ+12n-112n2+o?1n 2? oùγest une constante strictement positive appeléeconstante d"Euler. Étape 1.On définit les suites(un)et(vn)parun=Hn-lnnetvn=un-1n (vn=Hn-1-lnnsin >1). Montrons que ces deux suites sont adjacentes, et que leur limite communeγest strictement positive.La suite(un-vn)tend vers0carun-vn=1n
La suite(un)est décroissante. En effet,
u n-un+1=-1n+ 1-lnn+ ln(n+ 1) =-1n+ 1-ln?1-1n+ 1?
?0 car pour toutx >-1,x?lnx. La suite(vn)est croissante pour la même raison. En effet, v n+1-vn=1n+ 1+ lnn-ln(n+ 1)-1n+ 1+1n =1n -ln? 1 +1n ?0. Par conséquent,(un)et(vn)sont adjacentes. De plus, leur limiteγest strictement positive puisquev2= 1-ln2>0.Cette étape montre queHn= lnn+γ+o(1).
Étape 2.Étudions la suitewn=un-γ. Pour en trouver un équivalent, on va d"abord trouver un équivalent de(wn-wn-1)puis utiliser un théorème de sommation des équi- valents. On a w n-wn-1=un-un-1= ln? 1-1n +1n =-1n -12n2+o?1n 2? +1n ≂ -12n2. La série de terme généralwn-wn-1est donc convergente, et le théorème de sommation des équivalents affirme alors que les restes sont équivalents : k=n+1(wn-wn-1) =-wn≂ -+∞? k=n+112k2. 1Pour évaluer un équivalent de
k=n+11k2, nous allons utiliser un théorème de comparai-
son série-intégrale. Mais, dans la suite, nous aurons également besoin d"un équivalent de?∞ k=n+11k3; nous allons par conséquent démontrer le lemme plus général suivant :
Lemme.Pourα >1, on a
k=n+11kα≂1α-11n
α-1.
Démonstration.La fonctiont?→1t
αest décroissante et intégrable sur[1,+∞[. Le théo- rème de comparaison série-intégrale donne alors n+11tαdt?+∞?
k=n+11k n1tαdt.
On a n1tαdt=1α-11n
α. Ainsi, l"égalité précédente s"écrit1α-11(n+ 1)α?+∞?
k=n+11kα?1α-11n
Les termes de gauche et de droite sont tous les deux équivalents à1α-11n
α, et par enca-
drement, c"est également le cas du terme du milieu.En appliquant le lemme àα= 2, on en déduit que?∞
k=n+11k2≂1n
, et par suite, w n≂12n,c"est-à-direHn= lnn+γ+12n+o?1n Étape 3.Posonsxn=wn-12n, et utilisons la même méthode qu"à l"étape 2. On a x n-xn-1= ln? 1-1n +1n -12n+12n-2 =-1n -12n2-13n3+o?1n 3? +1n -12n+12n11-1n =-12n2-13n3+o?1n 3? -12n+12n? 1 +1n +1n2+o?1n
2?? -13 +12 1n3+o?1n
3? ≂16n3. 2 On en déduit que la série de terme généralxn-xn-1converge, et par théorème de sommation des équivalents, k=n+1(xn-xn-1) =-xn≂+∞? k=n+116k3 ce qui est équivalent à112n2en utilisant à nouveau le lemme. On trouve donc finalement
le développement asymptotique annoncé H n= lnn+γ+12n-112n2+o?1n 2? On pourrait continuer le même processus et trouver ainsi, de proche en proche, les termes suivants du développement. 3quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] etude d une suite définie implicitement
[PDF] suite implicite définition
[PDF] équivalents usuels
[PDF] développement psychomoteur de 0 ? 3 ans en image
[PDF] développement psychomoteur 18 mois
[PDF] développement psychomoteur cours
[PDF] developpement psychomoteur de lenfance pdf
[PDF] le developpement psychomoteur de 0 ? 3 ans pdf
[PDF] développement psychomoteur 4 ans
[PDF] developpement communautaire cours
[PDF] quels sont les principes du développement communautaire
[PDF] role d un agent de développement communautaire
[PDF] exemple de developpement construit geographie
[PDF] développement construit sur les espaces productifs