[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique

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Sandrine CARUSO

Développement asymptotique de la sérieharmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas, exos X-ENS, analyse 1

Théorème.Pourn?N?, on poseHn=?n

k=11k . AlorsHnadmet le développement asymptotique suivant : H n= lnn+γ+12n-112n2+o?1n 2? oùγest une constante strictement positive appeléeconstante d"Euler. Étape 1.On définit les suites(un)et(vn)parun=Hn-lnnetvn=un-1n (vn=Hn-1-lnnsin >1). Montrons que ces deux suites sont adjacentes, et que leur limite communeγest strictement positive.

La suite(un-vn)tend vers0carun-vn=1n

La suite(un)est décroissante. En effet,

u n-un+1=-1n+ 1-lnn+ ln(n+ 1) =-1n+ 1-ln?

1-1n+ 1?

?0 car pour toutx >-1,x?lnx. La suite(vn)est croissante pour la même raison. En effet, v n+1-vn=1n+ 1+ lnn-ln(n+ 1)-1n+ 1+1n =1n -ln? 1 +1n ?0. Par conséquent,(un)et(vn)sont adjacentes. De plus, leur limiteγest strictement positive puisquev2= 1-ln2>0.

Cette étape montre queHn= lnn+γ+o(1).

Étape 2.Étudions la suitewn=un-γ. Pour en trouver un équivalent, on va d"abord trouver un équivalent de(wn-wn-1)puis utiliser un théorème de sommation des équi- valents. On a w n-wn-1=un-un-1= ln? 1-1n +1n =-1n -12n2+o?1n 2? +1n ≂ -12n2. La série de terme généralwn-wn-1est donc convergente, et le théorème de sommation des équivalents affirme alors que les restes sont équivalents : k=n+1(wn-wn-1) =-wn≂ -+∞? k=n+112k2. 1

Pour évaluer un équivalent de

k=n+11k

2, nous allons utiliser un théorème de comparai-

son série-intégrale. Mais, dans la suite, nous aurons également besoin d"un équivalent de?∞ k=n+11k

3; nous allons par conséquent démontrer le lemme plus général suivant :

Lemme.Pourα >1, on a

k=n+11k

α≂1α-11n

α-1.

Démonstration.La fonctiont?→1t

αest décroissante et intégrable sur[1,+∞[. Le théo- rème de comparaison série-intégrale donne alors n+11t

αdt?+∞?

k=n+11k n1t

αdt.

On a n1t

αdt=1α-11n

α. Ainsi, l"égalité précédente s"écrit

1α-11(n+ 1)α?+∞?

k=n+11k

α?1α-11n

Les termes de gauche et de droite sont tous les deux équivalents à

1α-11n

α, et par enca-

drement, c"est également le cas du terme du milieu.En appliquant le lemme àα= 2, on en déduit que?∞

k=n+11k

2≂1n

, et par suite, w n≂12n,c"est-à-direHn= lnn+γ+12n+o?1n Étape 3.Posonsxn=wn-12n, et utilisons la même méthode qu"à l"étape 2. On a x n-xn-1= ln? 1-1n +1n -12n+12n-2 =-1n -12n2-13n3+o?1n 3? +1n -12n+12n11-1n =-12n2-13n3+o?1n 3? -12n+12n? 1 +1n +1n

2+o?1n

2?? -13 +12 1n

3+o?1n

3? ≂16n3. 2 On en déduit que la série de terme généralxn-xn-1converge, et par théorème de sommation des équivalents, k=n+1(xn-xn-1) =-xn≂+∞? k=n+116k3 ce qui est équivalent à

112n2en utilisant à nouveau le lemme. On trouve donc finalement

le développement asymptotique annoncé H n= lnn+γ+12n-112n2+o?1n 2? On pourrait continuer le même processus et trouver ainsi, de proche en proche, les termes suivants du développement. 3quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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