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Développement asymptotique

de la série harmonique

Léo Gayral

2017-2018

ref : FGN - Oraux X-ENS, Analyse 1 - p.156 Lemme 1.Soitα >1. Par le critère de convergence de Riemann, la famille?1n

α?est sommable. Le reste vérifie alors :

k=n+11k

α≂1(α-1)nα-1.

Démonstration.

On considère la fonctiont?→tα? C0([1,∞[,R)positive décroissante, inté- grable, de primitive

1(1-α)tα-1. On a donc :

ndxx

α=?1(1-α)tα-1?

n =1(α-1)nα-1 et on a le même équivalent pour l"intégrale partant den+ 1. Comme n+1? ndxx n-1dxx

α, en passant à la somme, on en déduit

l"encadrement : n+1dxx k=n+11k ndxx d"où l"équivalent voulu.Théorème 1.SoitHn=n? k=11k . Alors il existeγ >0telle que : H n= ln(n) +γ+12n+112n2+o?1n 2? 1

Démonstration.

Par comparaison série-intégrale, on a :

1n >n+1? ndxx = ln(n+ 1)-ln(n)>1n+ 1=1n +O?1n 2? d"oùHn-(ln(n+ 1)-ln(1)) =O? n? k=11k 2? , et doncHn≂ln(n).

Posons maintenantun=Hn-ln(n)etvn=un-1n

. On a : u n+1-un= (Hn+1-Hn)-(ln(n+ 1)-ln(n))

1n+1-n+1?

ndxx <0 et de même : v n+1-vn=1n+1-n+1? ndxx +?1n -1n+1? 1n -n+1? ndxx >0 orun-vn=1n →0donc par critère de convergence des suites adjacentes, il existeγ?Rtel quelimun= limvn=γ. On a en particulierγ≥v1> v0= 0.

Autrement dit :

H n= ln(n) +γ+o(1). Pour passer à l"ordre suivant, on considère la suite décroissante définie partn=un-γ, de sorte quetn→0+. On a : t n-tn-1=un-un-1 1n + ln?1-1n =-12n2-13n3+O?1n 4? donc la série de terme général est sommable(tn+1-tn)est sommable, et par

équivalence des restes :

k=n(tk+1-tk) =-tn≂ -12 k=n+11k 2. donc par le lemme technique,tn≂12

×1n

d"oùHn= ln(n) +γ+tn= ln(n) +γ+12n+o?1n 2 Pour passer à l"ordre suivant, on considèresn=tn-12n. On a : s n-sn-1= (tn-tn-1) +?12n-2-12n? = (tn-tn-1) +12n? 11-1n -1? = (tn-tn-1) +12n? 1n +1n

2+O?1n

3?? =-13n3+12n3+O?1n 4? 16

×1n

3 donc comme ci-dessus on en déduitsn≂16

×12n2et donc :

H n= ln(n) +γ+12n+112n2+o?1n 2? On peut alors itérer ce processus indéfiniment, pour monter en précision

dans le développement asymptotique.Corollaire 1.Si on considèrekn= min{k?N,Hk≥n}, alorskn+1k

n-→n→∞e.

Démonstration.

On aHn= ln(n)+γ+tnavectn→0. Par définition deknon a l"encadrement H k n+1k n≂en+1-γ-(n-γ)=e.3quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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