Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Francinou-Gianella-Nicolas Oraux X-ENS Analyse 1
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Développement asymptotique de la série harmonique. Références : Oraux XENS Analyse 1 Serge Francinou. Théo. Posons
Développement asymptotique de la série harmonique
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Formule d'Euler–Maclaurin et développement asymptotique de la série harmonique. Florian DUSSAP. Agrégation 2018. Définition. On note (Bp) les polynômes de
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23 janv. 2018 harmoniques indexées par ces bases
1 Développement asymptotique de ? 1 k et une application
est la n-ème somme partielle de la série harmonique ?. 1 n dont on sait qu'elle est divergente. Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
La série harmonique
ment asymptotique. Pour obtenir le terme suivant on utilise un terme de plus dans le développement limité. On écrit avec les notations déjà utilisées :.
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3 2 Développement asymptotique de la série harmonique Référence : S Francinou H Gianella S Nicolas Exercices de mathématiques oraux
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Développement asymptotique de la série harmonique Leçons : 223 224 230 [X-ENS An1] exercice 3 18 On pose pour tout n ? 1 Hn =
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DÉMONSTRATION Soit ? > 1 Comme la fonction t ?? 1 t? est intégrable et décroissante d'après le théorème de comparaison série-intégrale la série
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Sandrine CARUSO Développement asymptotique de la série harmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas exos X-ENS analyse 1 Théorème
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Développement asymptotique de la série harmonique Léo Gayral 2017-2018 ref : FGN – Oraux X-ENS Analyse 1 – p 156 Lemme 1 Soit ? > 1
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est la n-ème somme partielle de la série harmonique ? 1 n dont on sait qu'elle est divergente Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
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Stanislas Thème Développement asymptotique de la série harmonique PSI 2021-2022 ? ? ? Pour tout entier naturel n non nul on pose Hn =
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23 jan 2018 · De cette façon nous déterminons des développements asymptotiques des sommes harmoniques indexées par ces bases grâce à leur série génératrice
Comment calculer une série harmonique ?
H8 = 1 + 12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ? 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12. et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.- Rappelons que la série harmonique joue un rôle im- portant en Analyse mathématique: c'est l'exemple standard d'une série à termes positifs qui diverge (i.e. en additionnant suffisamment de termes on dépasse n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, donné d'avance) bien que ses termes décroissent vers zéro.
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Développement asymptotique de
nP k=11k et une application. Théorème 1.Un développement asymptotique de la suite nP k=11k n2Nest donné par : n P k=11k = ln(n) + +12n112n2+o1n 2 où désigne la constante d"Euler.Démonstration.:
Méthode :nP
k=11k est lan-ème somme partielle de la série harmoniqueP1n dont on sait qu"elleest divergente. Par le théorème de sommation des équivalents on va donc chercher à trouver un
équivalent denP
k=11k en cherchant d"abord un équivalent du terme général de cette série.Etape 1 :Naturellement posantun= ln
1 +1n etvn=1n , on aunvn, ce qui donne par le théorème de sommation des équivalents : n P k=11k nP k=1ln 1 +1k =nP k=1lnk+ 1k =nP k=1ln(k+ 1)ln(k) = ln(n+ 1) et on en déduit donc nP k=11k ln(n). Etape 2 :on considère désormais la suite de terme généralAn=nP k=11k ln(n)définie surN et on considère Panla série associéei:ela série dont lan-ème somme partielle est exactement A n. Elle est définie par : a1=A1etan=AnAn1pourn2.
Or, a n=1n ln(n) + ln(n1) =1n + ln 11n =1n 1n12n2+o1n
2 =)an 12n2Cette fois,anest le terme général d"une série convergente et le théorème de sommation des
équivalents, nous permet de comparer le reste de la sériePanau reste de la sérieP12n2. Dé-
terminons dans le lemme suivant les équivalents des restes des séries de Riemmann convergentesP1k
2etP1k
3.Lemme 1.
1P k=n+11k 21net1P k=n+11k 312n2
Démonstration.
P1k2etP1k
3sont deux séries convergentes. On a1k
1k+ 1=1k(k+ 1)1k
2 et 1k21(k+ 1)2=2kk
2(k+ 1)22k
3. D"après le théorème de sommation des équivalents, il vient
naturellement : 1 P k=n+11k 21Pk=n+1 1k 1k+ 1 =1n+ 11n et 1P k=n+12k 31P
k=n+1 1k
21(k+ 1)2
=1(n+ 1)21n 2=)1P k=n+11k3=12n2.Par le lemme précédent, on déduit donc immédiatement :
1 P k=n+1(ak)1P k=n+112k2=)1P k=n+1a k 12n=)1P k=n+1a k=12n+o1n 2On obtient alors naturellement
nP k=1a k=1P k=1a k1P k=n+1a k=1P k=1a k+12n+o1n et donc : n P k=1a k=An=nP k=11k ln(n) =1P k=1a k+12n+o1n =)nP k=11k = ln(n) + +12n+o1n où on a noté =1P k=1a kla constante d"Euler.Etape 3 :On pose alorsBn=An
12net on on considèrePbnla série associéei:ela série
dont lan-ème somme partielle est exactementBn. Elle est définie par : b 1=12 etbn=BnBn1pourn2.On a alors pourn2,bn=1n
+ln 11n12n+12(n1). Un développement asymptotique
debnà l"ordre3en1n est donné par : b n=1n 1n12n213n312n+12(n1)+o1n
3 Après mise au même dénominateur, on en déduit : b n=n+ 26n3(n1)+o1n 3 =16n3+o1n 3 On en conclut donc par le théorème de sommation des équivalents que : 1 P k=n+1b k1P k=n+116n3112n2=)1P k=n+1b k=112n2+o1n 2Concluison :on a :
n P k=1b k=Bn=1P k=1b k1P k=n+1b k=1P k=1b k112n2+o1n 2 Comme 1P k=1b k= limk7!1Bk= 0, on a donc : B n=112n2+o1n 2 =)nP k=11k = ln(n) + +12n112n2+o1n 2 .Application 1.Soita0etun=n!(a+ 1)(a+ 2):::(a+n), alors,unkn apour unk >0. Démonstration.Commeun>0, étudionsln(un). Or on a : ln(un) = ln(n!)nP k=1ln(a+k) =nP k=1ln(k)ln(a+k) =nP k=1ln 1 +ak Or,ln 1 +ak =ak a22k2+o1k 2 , ce qui nous donne : ln 1 +ak ak a22k2Par comparaison,
P kln 1 +ak ak est convergente et on noteLsa somme. D"après le théorème de sommations des équivalents, on a alors : 1 P k=n+1 ln 1 +ak ak 1P k=n+1a22k2 a22n=)1P k=n+1 ln 1 +ak ak =a22n+o1n d"après le lemme. On en déduit que : n P k=1 ln 1 +ak ak =L1P k=n+1 ln 1 +ak ak =L+a22n+o1n 3 D"après le développement asymptotique de la série harmonique à l"ordre1en1n , on a : n P k=1ln 1 +ak =anP k=11k +L+a22n+o1n =aln(n) +a +a2n+L+a22n+o1n et donc : ln(un) =aln(n)a a2nLa22n+o1nNotantwn=aln(n)a
L, on a :
lim k7!1ln(un)wn= 0 =)eln(un)ewnOr,ewn=eLa
1n a, nous donne posantk=eLa >0: u n=n!(a+ 1)(a+ 2):::(a+n)knapoura0.Rappel 1.SoitPunune série d"éléments deKetPvnune série à termes positifs que l"on
suppose convergente. On peut alors comparer les restes respectifsrnetr0nde ces séries : Siun=o(vn)alors la sériePvnest absolument convergente etrn=o(r0n). Siun=O(vn), alors la sériePvnest absolument convergente etrn=O(r0n). Siunvn, alors la sériePunest une séries à termes positifs convergente etrnr0n. Rappel 2.SoitPunune série d"éléments deKetPvnune série à termes positifs que l"on suppose divergente. On peut alors comparer les sommes partielles respectivessnets0nde ces séries :Siun=o(vn)alorssn=o(s0n).
Siun=O(vn), alorssn=O(s0n).
Siunvn, alors la sériePunest une séries à termes positifs divergente etsns0n.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] etude d une suite définie implicitement
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