Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Francinou-Gianella-Nicolas Oraux X-ENS Analyse 1
Développement asymptotique de la série harmonique Références
Développement asymptotique de la série harmonique. Références : Oraux XENS Analyse 1 Serge Francinou. Théo. Posons
Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Leçons : 223 224
Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique. Léo Gayral. 2017-2018 ref : FGN – Oraux X-ENS Analyse 1 – p.156. Lemme 1. Soit ? > 1.
Développement asymptotique de la série harmonique
Sandrine CARUSO. Développement asymptotique de la série harmonique. Référence : Francinou - Gianella - Nicolas exos X-ENS
Formule dEuler–Maclaurin et développement asymptotique de la
Formule d'Euler–Maclaurin et développement asymptotique de la série harmonique. Florian DUSSAP. Agrégation 2018. Définition. On note (Bp) les polynômes de
Développement asymptotique de la série harmonique.pdf
Développement asymptotique de la série harmonique. Lemme — ?? > 1 comparaison série-intégrale
Développement asymptotique des sommes harmoniques
23 janv. 2018 harmoniques indexées par ces bases
1 Développement asymptotique de ? 1 k et une application
est la n-ème somme partielle de la série harmonique ?. 1 n dont on sait qu'elle est divergente. Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
La série harmonique
ment asymptotique. Pour obtenir le terme suivant on utilise un terme de plus dans le développement limité. On écrit avec les notations déjà utilisées :.
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique
Développement asymptotique de la série harmonique Francinou-Gianella-Nicolas Oraux X-ENS Analyse 1 page 145 Exercice : On pose Hn =1+
[PDF] 32 Développement asymptotique de la série harmonique
3 2 Développement asymptotique de la série harmonique Référence : S Francinou H Gianella S Nicolas Exercices de mathématiques oraux
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - ENS Rennes
Développement asymptotique de la série harmonique Leçons : 223 224 230 [X-ENS An1] exercice 3 18 On pose pour tout n ? 1 Hn =
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - Agreg-mathsfr
Développement asymptotique de la série harmonique Références : Oraux XENS Analyse 1 Serge Francinou Théo Posons pour tout n ? N?
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - Agreg-mathsfr
DÉMONSTRATION Soit ? > 1 Comme la fonction t ?? 1 t? est intégrable et décroissante d'après le théorème de comparaison série-intégrale la série
[PDF] Développement asymptotique de la série - Sandrine Caruso
Sandrine CARUSO Développement asymptotique de la série harmonique Référence : Francinou - Gianella - Nicolas exos X-ENS analyse 1 Théorème
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique - Léo Gayral
Développement asymptotique de la série harmonique Léo Gayral 2017-2018 ref : FGN – Oraux X-ENS Analyse 1 – p 156 Lemme 1 Soit ? > 1
[PDF] 1 Développement asymptotique de - AGREGMATHS
est la n-ème somme partielle de la série harmonique ? 1 n dont on sait qu'elle est divergente Par le théorème de sommation des équivalents on va donc
[PDF] Développement asymptotique de la série harmonique
Stanislas Thème Développement asymptotique de la série harmonique PSI 2021-2022 ? ? ? Pour tout entier naturel n non nul on pose Hn =
[PDF] Développement asymptotique des sommes harmoniques
23 jan 2018 · De cette façon nous déterminons des développements asymptotiques des sommes harmoniques indexées par ces bases grâce à leur série génératrice
Comment calculer une série harmonique ?
H8 = 1 + 12 + (13 + 14) + (15 + 16 + 17 + 18) ? 1 + 12 + (14 + 14) + (18 + 18 + 18 + 18) = 1 + 12 + 12 + 12. et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.- Rappelons que la série harmonique joue un rôle im- portant en Analyse mathématique: c'est l'exemple standard d'une série à termes positifs qui diverge (i.e. en additionnant suffisamment de termes on dépasse n'importe quel nombre, aussi grand soit-il, donné d'avance) bien que ses termes décroissent vers zéro.
Développement asymptotique
de la série harmoniqueLéo Gayral
2017-2018
ref : FGN - Oraux X-ENS, Analyse 1 - p.156 Lemme 1.Soitα >1. Par le critère de convergence de Riemann, la famille?1nα?est sommable. Le reste vérifie alors :
k=n+11kα≂1(α-1)nα-1.
Démonstration.
On considère la fonctiont?→tα? C0([1,∞[,R)positive décroissante, inté- grable, de primitive1(1-α)tα-1. On a donc :
ndxxα=?1(1-α)tα-1?
n =1(α-1)nα-1 et on a le même équivalent pour l"intégrale partant den+ 1. Comme n+1? ndxx n-1dxxα, en passant à la somme, on en déduit
l"encadrement : n+1dxx k=n+11k ndxx d"où l"équivalent voulu.Théorème 1.SoitHn=n? k=11k . Alors il existeγ >0telle que : H n= ln(n) +γ+12n+112n2+o?1n 2? 1Démonstration.
Par comparaison série-intégrale, on a :
1n >n+1? ndxx = ln(n+ 1)-ln(n)>1n+ 1=1n +O?1n 2? d"oùHn-(ln(n+ 1)-ln(1)) =O? n? k=11k 2? , et doncHn≂ln(n).Posons maintenantun=Hn-ln(n)etvn=un-1n
. On a : u n+1-un= (Hn+1-Hn)-(ln(n+ 1)-ln(n))1n+1-n+1?
ndxx <0 et de même : v n+1-vn=1n+1-n+1? ndxx +?1n -1n+1? 1n -n+1? ndxx >0 orun-vn=1n →0donc par critère de convergence des suites adjacentes, il existeγ?Rtel quelimun= limvn=γ. On a en particulierγ≥v1> v0= 0.Autrement dit :
H n= ln(n) +γ+o(1). Pour passer à l"ordre suivant, on considère la suite décroissante définie partn=un-γ, de sorte quetn→0+. On a : t n-tn-1=un-un-1 1n + ln?1-1n =-12n2-13n3+O?1n 4? donc la série de terme général est sommable(tn+1-tn)est sommable, et paréquivalence des restes :
k=n(tk+1-tk) =-tn≂ -12 k=n+11k 2. donc par le lemme technique,tn≂12×1n
d"oùHn= ln(n) +γ+tn= ln(n) +γ+12n+o?1n 2 Pour passer à l"ordre suivant, on considèresn=tn-12n. On a : s n-sn-1= (tn-tn-1) +?12n-2-12n? = (tn-tn-1) +12n? 11-1n -1? = (tn-tn-1) +12n? 1n +1n2+O?1n
3?? =-13n3+12n3+O?1n 4? 16×1n
3 donc comme ci-dessus on en déduitsn≂16×12n2et donc :
H n= ln(n) +γ+12n+112n2+o?1n 2? On peut alors itérer ce processus indéfiniment, pour monter en précisiondans le développement asymptotique.Corollaire 1.Si on considèrekn= min{k?N,Hk≥n}, alorskn+1k
n-→n→∞e.Démonstration.
On aHn= ln(n)+γ+tnavectn→0. Par définition deknon a l"encadrement H k n+1k n≂en+1-γ-(n-γ)=e.3quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] etude d une suite définie implicitement
[PDF] suite implicite définition
[PDF] équivalents usuels
[PDF] développement psychomoteur de 0 ? 3 ans en image
[PDF] développement psychomoteur 18 mois
[PDF] développement psychomoteur cours
[PDF] developpement psychomoteur de lenfance pdf
[PDF] le developpement psychomoteur de 0 ? 3 ans pdf
[PDF] développement psychomoteur 4 ans
[PDF] developpement communautaire cours
[PDF] quels sont les principes du développement communautaire
[PDF] role d un agent de développement communautaire
[PDF] exemple de developpement construit geographie
[PDF] développement construit sur les espaces productifs