[PDF] 1 Développement asymptotique de ? 1 k et une application

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Développement asymptotique de

nP k=11k et une application. Théorème 1.Un développement asymptotique de la suite nP k=11k n2Nest donné par : n P k=11k = ln(n) + +12n112n2+o1n 2 où désigne la constante d"Euler.

Démonstration.:

Méthode :nP

k=11k est lan-ème somme partielle de la série harmoniqueP1n dont on sait qu"elle

est divergente. Par le théorème de sommation des équivalents on va donc chercher à trouver un

équivalent denP

k=11k en cherchant d"abord un équivalent du terme général de cette série.

Etape 1 :Naturellement posantun= ln

1 +1n etvn=1n , on aunvn, ce qui donne par le théorème de sommation des équivalents : n P k=11k nP k=1ln 1 +1k =nP k=1lnk+ 1k =nP k=1ln(k+ 1)ln(k) = ln(n+ 1) et on en déduit donc nP k=11k ln(n). Etape 2 :on considère désormais la suite de terme généralAn=nP k=11k ln(n)définie surN et on considère Panla série associéei:ela série dont lan-ème somme partielle est exactement A n. Elle est définie par : a

1=A1etan=AnAn1pourn2.

Or, a n=1n ln(n) + ln(n1) =1n + ln 11n =1n 1n

12n2+o1n

2 =)an 12n2

Cette fois,anest le terme général d"une série convergente et le théorème de sommation des

équivalents, nous permet de comparer le reste de la sériePanau reste de la sérieP12n2. Dé-

terminons dans le lemme suivant les équivalents des restes des séries de Riemmann convergentesP1k

2etP1k

3.

Lemme 1.

1P k=n+11k 21n
et1P k=n+11k 312n2

Démonstration.

P1k

2etP1k

3sont deux séries convergentes. On a1k

1k+ 1=1k(k+ 1)1k

2 et 1k

21(k+ 1)2=2kk

2(k+ 1)22k

3. D"après le théorème de sommation des équivalents, il vient

naturellement : 1 P k=n+11k 21P
k=n+1 1k 1k+ 1 =1n+ 11n et 1P k=n+12k 31P
k=n+1 1k

21(k+ 1)2

=1(n+ 1)21n 2=)1P k=n+11k

3=12n2.Par le lemme précédent, on déduit donc immédiatement :

1 P k=n+1(ak)1P k=n+112k2=)1P k=n+1a k 12n=)1P k=n+1a k=12n+o1n 2

On obtient alors naturellement

nP k=1a k=1P k=1a k1P k=n+1a k=1P k=1a k+12n+o1n et donc : n P k=1a k=An=nP k=11k ln(n) =1P k=1a k+12n+o1n =)nP k=11k = ln(n) + +12n+o1n où on a noté =1P k=1a kla constante d"Euler.

Etape 3 :On pose alorsBn=An

12net on on considèrePbnla série associéei:ela série

dont lan-ème somme partielle est exactementBn. Elle est définie par : b 1=12 etbn=BnBn1pourn2.

On a alors pourn2,bn=1n

+ln 11n

12n+12(n1). Un développement asymptotique

debnà l"ordre3en1n est donné par : b n=1n 1n

12n213n312n+12(n1)+o1n

3 Après mise au même dénominateur, on en déduit : b n=n+ 26n3(n1)+o1n 3 =16n3+o1n 3 On en conclut donc par le théorème de sommation des équivalents que : 1 P k=n+1b k1P k=n+116n3112n2=)1P k=n+1b k=112n2+o1n 2

Concluison :on a :

n P k=1b k=Bn=1P k=1b k1P k=n+1b k=1P k=1b k112n2+o1n 2 Comme 1P k=1b k= limk7!1Bk= 0, on a donc : B n=112n2+o1n 2 =)nP k=11k = ln(n) + +12n112n2+o1n 2 .Application 1.Soita0etun=n!(a+ 1)(a+ 2):::(a+n), alors,unkn apour unk >0. Démonstration.Commeun>0, étudionsln(un). Or on a : ln(un) = ln(n!)nP k=1ln(a+k) =nP k=1ln(k)ln(a+k) =nP k=1ln 1 +ak Or,ln 1 +ak =ak a22k2+o1k 2 , ce qui nous donne : ln 1 +ak ak a22k2

Par comparaison,

P kln 1 +ak ak est convergente et on noteLsa somme. D"après le théorème de sommations des équivalents, on a alors : 1 P k=n+1 ln 1 +ak ak 1P k=n+1a22k2 a22n=)1P k=n+1 ln 1 +ak ak =a22n+o1n d"après le lemme. On en déduit que : n P k=1 ln 1 +ak ak =L1P k=n+1 ln 1 +ak ak =L+a22n+o1n 3 D"après le développement asymptotique de la série harmonique à l"ordre1en1n , on a : n P k=1ln 1 +ak =anP k=11k +L+a22n+o1n =aln(n) +a +a2n+L+a22n+o1n et donc : ln(un) =aln(n)a a2nLa22n+o1n

Notantwn=aln(n)a

L, on a :

lim k7!1ln(un)wn= 0 =)eln(un)ewn

Or,ewn=eLa

1n a, nous donne posantk=eLa >0: u n=n!(a+ 1)(a+ 2):::(a+n)kn

apoura0.Rappel 1.SoitPunune série d"éléments deKetPvnune série à termes positifs que l"on

suppose convergente. On peut alors comparer les restes respectifsrnetr0nde ces séries : Siun=o(vn)alors la sériePvnest absolument convergente etrn=o(r0n). Siun=O(vn), alors la sériePvnest absolument convergente etrn=O(r0n). Siunvn, alors la sériePunest une séries à termes positifs convergente etrnr0n. Rappel 2.SoitPunune série d"éléments deKetPvnune série à termes positifs que l"on suppose divergente. On peut alors comparer les sommes partielles respectivessnets0nde ces séries :

Siun=o(vn)alorssn=o(s0n).

Siun=O(vn), alorssn=O(s0n).

Siunvn, alors la sériePunest une séries à termes positifs divergente etsns0n.quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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