fest M-lipschitzienne donc uniformément continue sur I • La réciproque est fausse : La fonction h : x−→ √ x est continue sur le segment [0,1], donc y est uniformément continue (théorème de Heine) Elle est donc uniformément continue sur l'intervalle ]0,1] Elle est de classe C1 sur ]0,1] , mais sa dérivée h0: x−→ 1 2 √ x
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur Iest uniformément ontinuec sur I (3)(a) Montrer que ourp tous elsér xet yon a : jxjj yj jx yj (b) Montrer que la fonction dé nie sur R arp f(x) = 1 1+jxj est uniformément ontinuec sur R (4)(a) Montrer que ourp tous elsér osiptifs xet yon a : p x+y p x+ y et p x y jx yj1=2: (b) Montrer que la
continue sur Kalors elle est uniformément continue sur K 13 onctionF lipschitzienne Rappeler la dé nition d'une fonction -lipschitzienne et montrer qu'une telle fonction est uniformément continue sur R 14 Dérivabilité Soit f: IR une fonction dé nie sur un intervalle de R Soit aun point de I Rappeler la dé nition de fest
On considère la fonction f(x) = x2 1 Montrer que f est lipschitzienne et uniformément continue sur [0;a], quel que soit a > 0 2 En raisonnant par l'absurde, montrer qu'elle n'est pas uniformément continue sur R + 3 Montrer que f n'est pas non plus lipschitzienne sur R + EX 4 Donner la dérivée n-ième de la fonction f(x) = exp(x)cos(x)
Toute fonction réelle continue sur une partie fermée bornée est bornée et atteint ses bornes Démonstration non exigible Fonction lipschitzienne Toute fonction lipschitzienne est continue Toute application linéaire sur un espace de dimension finie est lipschitzienne La notion de norme subordonnée est hors programme
Par rapport à la dé nition de la continuité, on a remplacé 8x 2 X 9 > 0 par 9 > 0 8x 2 X : dépend toujours de ", mais ne dépend plus de x Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x 7 x2 n'est pas uniformément continue sur R Exercice 2 4
Dé nition 1 2 Une fonction f dé nie sur un intervalle ontenantc a est dite dis-ontinuec en a s'elle 'estn asp ontinuec en a Remarque : Si f tend vers f(a) seulement quand x tend vers a+ ( resp a −), on dit que la fonction f n'est continue qu'à droite ( resp à gauche ) en a
Dé nition 3 15 Soit (X;d ),(Y;D ) deux espaces métriques Une fonction f :X Y est un homéomorphisme si f est une bijection telle que les fonctions f et f 1 soient continues Proposition 3 16 Soit (X;d ), (Y;D ) deux espaces métriques compacts, et f :X Y une bijection continue
La fonction f(x) = ax+ ba-t-elle une fonction réciproque? Si oui, quelle est-elle? Exercice 19 Soit n2N (a) Si npair, montrer que la fonction n p est bien dé nie sur R+, et qu'elle est continue sur R+ (b) Si nimpair, montrer que la fonction n p est bien dé nie sur R, et qu'elle est continue sur R Exercice 20 (*) Soit f: R R continue
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Représentation des fonctions lipschitziennes
Une application f: R R est lipschitzienne si et seulement si il existe une fonction g2L1(R) telle que : 8x;y2R; f(y) f(x) = Z y x g(t)dt: Démonstration : Le sens réciproque est immédiat : montrons le sens direct On note D(R) = C1 c (R) etonconsidèreladérivéedistributionnelleTdef: T: 8
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FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE
Exercice : si ƒ est u-continue, elle admet une limite finie 5 2 2 Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues 6 2 3 CNS pour qu'une fonction dérivable soit lipschitzienne 8 2 4 Théorème de Heine Exercice : si ƒ continue sur [a, +∞[ admet une limite finie en +∞, alors ƒ est u-continue 8 3 Applications 10 3 1 Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses Taille du fichier : 133KB
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MAT311, Cours 2 : Continuite et compacit´ e´ 114
deux espaces metriques, est´ lipschitzienne de rapport k > 0 (ou encore k-lipschitzienne) si d0(f(x); f(y))6kd(x;y) pour tous x;y2X ement continue car la´ distance entre deux points images est dans ce cas majoree par une´ fonction lineaire de la distance des points´ a la source ` 1 2 3 La fonction distance est 1-lipschitzienne
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Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la
3 L’estimation de 2) est optimale : il existe une fonction lipschitzienne f pour laquelle kf−B nk ∞≥√δ n,oùδestuneconstantenumérique Définition5 Soit k∈N∗ On dit que f: I→R est de classe Ck+1 si f0est de classe Ck On note alors f00,f(3), ,f(k+1) lesdérivéessuccessivesdef 1 3 Stabilitédesnotionsderégularité Proposition3
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Fonctions convexes - quentinmrgtfr
linéaire f sur E est continue en l'origine si et seulement si elle est globalement lipschitzienne Un des sens est évident (globalement lipschitzienne =)continue en l'origine) Pour l'autre il faut remarquer que si fest continue en l'origine, alors elle est bornée à son voisinage et (par la proposition) L-lipschitzienne sur une boule B(0;r) Alors, pour x
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Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
La fonction d :X X R est continue lorsqu'on munit X de la distance produit D ; en e et, elle est lipschitzienne : jd(x 1;x2) d(x0 1;x 0 2)j = jd(x ;x2) d(x1;x0 2)+ d(x ;x0 2) d(x0 1;x )j j d(x1;x2) d(x1;x0 2)j+ jd(x1;x0 2) d(x0 1;x2)j d(x 2;x0)+ d(x 1;x0) 2D ((x1;x2);(x0 1;x 0 2)):
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Applications linéaires continues et dualité
(i) u est continue en 0 ∈ X (ii) u est continue partout sur X (iii) u est globalement lipschitzienne, autrement dit il existe C > 0 t q u(x)−u(x ) Y ≤ C x−x X ∀x,x ∈ X Démonstration Il nous suffit bien sûr de démontrer que le premier énoncé im-plique le troisième Si
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Cours de Calcul Différentiel
On voit assez facilement que toute fonction lipschitzienne est continue sur son domaine de défini-tion Propriété 1 Toute fonction construite à partir de fonctions continues par combinaison linéaire, multiplication, quotient (par exemple f=g mais alors il faut que le dénominateur ne soit pas nul) ou composition est encore continue
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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT - Christophe Bertault
Théorème (Théorème de Heine) Toute fonction continue sur un SEGMENT y est uniformément continue Démonstration Soit f ∈ C [a,b],C Raisonnons par l’absurde en supposant f NON uniformément continue sur [a,b] Alors pour un certain ǫ>0 : ∀α>0, ∃ x, y ∈ [a,b], x − y
Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur un intervalle I (∃k ∈ +, ∀(x, y) ∈ I2 : ƒ(x) − ƒ(y) kx − y) Alors ƒ est uniformément continue sur I Démonstration
fc f abfd fdd a e b e c
15 fév 2013 · Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I Démonstration C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ⩽ f(x)
continuite
Une conséquence de ce résultat est que l'image par une fonction continue Et c' est justement le point 0 qui était le point important dans la démonstration du La première qu'on va voir concerne la notion de fonction Lipschitzienne
PolyAn ITD
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I (11) En écrivant R+ = [0,1] ∪ [1,+∞[, donnez une autre démonstration de
CAPESdevoir
3 2 Fonctions lipschitziennes Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I de R à valeurs dans K = R ou C 1) Pour tout (λ, µ) ∈ K2, On reprend les mêmes notations que dans la première démonstration : on se donne
continuite
Démonstration (pour le quatrième) : Soit R → Df La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une Soit f lipschitzienne sur D Soit
Dém : C'est la même démonstration que celle que l'on vient de faire □ L' ensemble des fonctions lipschitziennes de F(A, F) est un sous-espace vectoriel de C(A) ensemble des fonctions continues `a valeurs dans K = R ou C est une sous-
Xch long
une fonction continue sur A B , à valeurs dans R , telle ue On trouvera une démonstration très élémentaire, due à SHIFMAN, de ce lemme, dans le livre de
SC A
Une fonction lipschitzienne est continue. En effet étant donnés un a ? X et un ? > 0
Alors ƒ est uniformément continue sur I. Démonstration. Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur I. Soit ? ? +. ? .
15 févr. 2013 Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I. Démonstration. C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ?
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
a) Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est continue sur I. b) Soient a et b deux réels tels que a<b. montrer que toute fonction de classe C1 sur
existe même des fonctions qui sont continues sur tout Démonstration Si f est dérivable en a : ... La fonction f est K-lipschitzienne sur D si.
Démonstration Le fait que .2 soit une une norme a été prouvé dans la Sur l'espace E = C ([ab]) des fonctions continues sur le segment [a
(ii) Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle y est uniformément continue. Démonstration. (i) Évident ! S'il existe un ? UNIFORME valable pour tout
18 avr. 2011 Dans ce chapitre on donnera la démonstration du théor`eme de ... o`u f:U ? R × Rn ? Rn est une fonction lipschitzienne définie sur un.
?. ? f (x)? f (y)?. ?. C ·
Démonstration Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur I Soit ? ? + ? Posons ? = k ?
15 fév 2013 · Une fonction Lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I Démonstration C'est une conséquence du théorème des gendarmes : 0 ? f(x)
Exercices 4 3 24 à 4 3 26 La notion d'application lipschitzienne est plus facile à appréhender que celle d'application uniformément continue car
Démonstration : Le sens réciproque est immédiat : montrons le sens direct Par le théorème de prolongement des applications uniformément continues sur
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I (3) (a) Montrer que pour tous réels x et y on a : ? ?x?
Démonstration La fonction f étant continue et l'intervalle [a b] fermé et borné d'après le théorème de Weierstrass on sait que f admet un maximum et un
Alors ¦ est uniformément continue sur I Démonstration Soit ¦ une fonction lipschitzienne sur I e Soit e Î *+ Posons h = Soient x et y dans I tels
THÉORÈME 12 41 Une fonction lipschitzienne est continue Si une fonction f : I ? R est lipschitzienne sur l'intervalle I alors f est continue sur l'intervalle
a) Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est continue sur I b) Soient a et b deux réels tels que a
Comment montrer que f est lipschitzienne ?
Une fonction f définie sur un intervalle I est lipschitzienne sur I s'il existe un réel k tel que : ?(x, y) ? I2, f(x) ? f(y) ? kx ? y. On dit aussi que f est k-lipschitzienne.Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.- Propriétés : 1) Les fonctions x xn (n ?N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .
Chapitre 2 Continuité