La fonction exponentielle complexe La fonction exponentielle x → ex est d’une grande importance en analyse r´eelle Nous allons introduire ici diff´erentes g´en´eralisations de cette fonction au cas complexe et voir les analogies mais aussi les diff´erences, entre les exponentielles r´eelles et complexes Cette introduction est
Da forme exponentielle est donc j=ei 2π 3 Formule du cours Dans le cours, il y a la formule ¡ eix ¢n =einx valable pour tout x ∈R et n N On en déduit : a) j3 = ³ ei2 π 3 ´3 ei(2 3 ×3) =ei2π 1 b) j2 = ³ ei2π 3 ´)2 ei4π 3 =ei(4π 3 −2π) e−i2π 3 =j Forme exponentielle d’un nombre complexe
Soit =[ ,????] un complexe non nul, on a : = ( ????+ ????)= ???????? Cette écriture s’appelle la forme exponentielle du complexe non nul ???? 1 2 Conséquence de la notation : Tous les résultats qu’on a vus au paravent concernant les modules et les arguments des nombres complexes non nuls
l’exponentielle complexe Donner un argument de x +i 2 Montrer que (x,y) ∈ Cm ⇔ (x +i)m(y +i)e−i π 4 ∈ R 3 Montrer que π 4 = 2arctan 1 2 − arctan 1 7 4 Formule de Dodgson2 Soit p, q, r trois r´eels positifs tels que 1+p2 = qr Montrer que arctan 1 p = arctan 1 p+r +arctan 1 p+q Partie II Etude d’une famille de polynomes´
e est la fonction exponentielle Exercice 4 1 5 Donnez la forme exponentielle des nombres complexes 1−i, i et −1 Notations on ´ecrit que 2 r´eels x et y sont ´egaux modulo 2π x ≡ y[2π] s’il existe k ∈ Z tel que x = y +2kπ Th´eor`eme 4 1 2 Deux nombres complexes non nuls sont ´egaux ssi ils ont mˆeme module et
Chapitre 13 : Intégration et loi exponentielle Terminale S 6 SAES Guillaume Propriété : Une variable aléatoire ???? suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : Pour tous réels et ℎ positifs, ????????≥????(???? R +ℎ)=????(???? Rℎ)
nombres 0 et 1, le tout dans une formule simple et élégante Elle fait intervenir les 5 constantes les plus fondamentale des mathématiques : C'est l'identité d'Euler Fondamental Tout complexe non nul z s'écrit donc où Notation exponentielle 15
On appelle nombre complexe tout élément zpouvant s'écrire sous la forme z= a+ib; avec (a;b) un couple de réels et iune solution de l'équation i2 = 1 L'ensemble des nombres complexes est noté C Dé nition (Nombre complexe) L'écriture du nombre complexe zsous la forme z= a+ ibavec aet bdes réels est appelée l'écriture algébrique de z
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La fonction exponentielle complexe
162 15 LA FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE Pour tout (t,t0) ∈ R2 on a : ϕ(t+t0) = cos(t+t0)+isin(t+t0) = costcost0 −sintsint0 +i(sintcos t0 +sint0 cost) = (cost+isint)(cost0 +isint0) = ϕ(t)ϕ(t0) On voit donc que la fonction ϕ v´erifie la mˆeme ´equation fonctionnelle que les fonctionsTaille du fichier : 156KB
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Forme exponentielle d'un nombre complexe
3 La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques : eiπ =−1 (car elle fait intervenir les nombres i (nombre imaginaire), e et π (nombres transcendants, c’est-à-dire solutions d’aucune équation algébrique) et qui donne avec ces trois nombres combinés, une expression simple Forme exponentielle d’un nombre complexe
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Forme exponentielle des nombres complexes
Forme exponentielle des nombres complexes page 1 de 3 Forme exponentielle des nombres complexes 1 Soit a= e i5ˇ=8 et b= 1 + e 4 D emontrer que b a est un r eel et en d eduire l’argument de b Ne pas d evelopper sous forme alg ebrique Diviser par arevient a multiplier par son inverse e i5ˇ=8 b a = i= e 5ˇ=8 + ei5ˇ=8 C’est la somme de deux nombres conjugu es, donc c’est
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Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules
Cela provient des r`egles de calcul de la fonctions exponentielle : e i θeiθ = e ( + ),1/eiθ = e− iθ, eiθ eiθ = e i(θ− θ),(e )n = ein Proposition 4 1 3 1 Formule de De Moivre (cosθ +isinθ)n =cos(nθ)+isin(nθ) 2 Formules d’Euler cosθ = eiθ +e−iθ 2 et sinθ = eiθ −e−iθ 2i 4 1 4 Nombres complexes et transformations du planTaille du fichier : 222KB
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Formulaire de trigonométrie circulaire
Exponentielle complexe ∀x ∈ R, eix = cosx+isinx Valeurs usuelles e0 = 1, eiπ/2 = i, eiπ = −1, e−iπ/2 = −i, e2iπ/3 = j = − 1 2 +i √ 3 2, √ 2eiπ/4 = 1 +i Propriétés algébriques ∀x ∈ R, eix = 1 ∀(x,y) ∈ R2, eix ×eiy = ei(x+y), eix eiy = ei(x−y), 1 eix = e−ix = eix Formules d’Euler ∀x ∈
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Formulaire sur les nombres complexes
1 formule du binome de Newton (a+b)n = Xn p=0 Cp n a pbn−p 2 somme des termes d’une suite g´eom´etrique : 1+a +···+an = an+1 −1 a −1 si a 6= 1 3 trigonom´etrie sin2 x +cos2 x = 1 sin(a+b) = sinacosb+sinbcosa cos(a +b) = cosacosb−sinasinb Nombres complexes Si z = x +iy et z′ = x′ +iy′, ou` x, y, x′, y′ sont r´eels on a :Taille du fichier : 35KB
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Chapitre 8 : Nombres complexes, polynômes et fractions
On identifie le nombre complexe (x,0) (dont la 2ème composante est nulle) au réel x On note i le nombre complexe (0,1), on a donc i2 ˘ ¡1, c’est à dire i est une des racines de l’équation z2 ¯1 ˘0 On a d’autre part : (x,y) ˘(x,0)¯(0,y) ˘(x,0)¯(0,1)£(y,0) On peut donc écrire un nombre complexe z ˘(x,y) sous la forme dite canonique: z ˘x ¯i y
On écrit ainsi les nombres complexes sous la forme a`bi ou a`ib L'addition et la multiplication sont alors données par les formules : (a') pa ` ibq`pc ` idq“pa ` cq
M ch nombrescomplexes
nus, sinus, exponentielle, et même le nombre π qui est au départ de cette aventure, sont Par ailleurs, en utilisant la formule du binôme, ∑ p+q=n sp p tq q =
exp paysage
Ainsi : cos sin cos sin Exemple : 2) Formules d'Euler Leonhard Euler (1707- 1783) mathématicien et physicien
complexes
Écriture exponentielle 1 Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose eiθ = cosθ + isin θ On montre que U = {eiθ θ ∈ R} Formules d'Euler
complexes
On déduit de ces propriétés, les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours □ Notation exponentielle des nombres complexes
extrait
En utilisant la formule d'addition (1), on établit alors plus généralement (sans invoquer le théorème général) que exp est dérivable au sens complexe en tout point,
agregexpcomplexenombrepi
formule directe de cos ( π 12 ) ? Indication : c'est Re(a) a 9 Soit M le
ComplexesFormeExp
Le module du nombre complexe z est le réel positif ou nul noté z et défini par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l' exponentielle imaginaire Dire que le réel θ avec la formule établie pour l' exponentielle
vtsargumentmodule
formules trigonométriques 4 1 Nombres complexes Donnez la forme exponentielle des nombres complexes 1 − i, i et −1 Notations on écrit que 2 réels x et
chapitre
4 2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe 4 3 Exponentielle complexe et la multiplication sont alors données par les formules :
Dans ce paragraphe on va utiliser les facilités offertes par la notation exponentielle pour établir des formules de calcul qui s'utilisent surtout pour
Formules d'Euler et de Moivre Ecriture exponentielle Notation Le nombre cos ? + isin? est noté ei? donc tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme
Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :
On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes
nus sinus exponentielle et même le nombre ? qui est au départ de cette aventure sont apparus de Par ailleurs en utilisant la formule du binôme
1 on utilise la formule d'Euler pour exprimer l'expression trigonométrique à l'aide de l'exponentielle complexe ; 2 on développe la puissance grâce à la
3 notation exponentielle de la forme trigonométrique Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
Proposition et Définition 4 1 On définit sur R2 des opérations d'addition et de multiplication par les formules suivantes : (a) pa bq`pc dq“pa ` c b ` dq ;
La forme exponentielle de z de module r et d'argument ? est z = r ei? Exemples : Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
Les règles de calculs avec l'exponentielle complexe sont analogues à celles des règles avec les puissances : expo- nentielle i?=e puissance i ? Proposition 12
(2) sin(a + b) = sin(a) cos(b) ? sin(b) cos(a) Démonstration : Ces formules découlent de la multiplicativité de l'exponentielle et nous laissons la
trouvée pour la fonction exponentielle d'un réel Forme exponentielle d'un La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques :
Partie 2 : Forme exponentielle d'un nombre complexe 1) Définition Définition : Pour tout réel on a : = cos + sin Remarque :
On déduit de ces propriétés les formules de trigonométrie rappelées `a la fin du résumé de cours ? Notation exponentielle des nombres complexes
Groupe des nombres complexes de module 1 noté U On pose ei? = cos? + isin ? On montre que U = {ei? ? ? R} Formules d'Euler
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[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe