TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0
Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par
Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)
deEs’appellelaclasse d’équivalence dexdansE Onalespropriétés: 7 Exercices complémentaires Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence
Cette relation n’est pas une relation d’équivalence Remarque : il était inutile de montrer que cette relation était réflexive et transitive Allez à : Exercice 7 : 3 Si alors donc cette relation n’est pas réflexive Donc ce n’est pas une relation d’équivalence, on va tout de même regarder les deux autres propriétés
EXERCICES EXERCICE 1 : Montrer que la relation R définie sur par :xy x y xR 2 2 y est une relation d’équivalence Déterminer pour tout réel a , le nombre d’éléments de la classe de a EXERCICE 2 : Montrer que la relation R définie sur par :x y x y xR 3 3 3 y est une relation d’équivalence
Théorème (Classes d’équivalence d’une relation d’équivalence, ensemble quotient) Soit ∼ une relation d’équiva-lence sur E • Pour tout x ∈ E, l’ensemble y ∈ E x ∼ y est appelé la classe d’équivalence de x (pour ∼) Les classes d’équivalences pour ∼ forment une partition de E Cela revient à dire qu’elle
D kD0⇔D estparallèleàD0 1 Vérifionsquekestunerelationd’équivalence: (a) Réflexivité:unedroiteD estbienparallèleàelle-même (b) Symétrie:siD estparallèleàD0,alorsD0estparallèleàD (c) Transitivité:siD estparallèleàD 0,etsiD estparallèleàD 00,alorsD estparallèleàD 2 Soit E 0 l’ensemble des droites passant par l
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TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)
Donc R est une relation d’équivalence (b) Soit x ∈ R Déterminer cl(x) Solution: — Soit y ∈ R On suppose xRy On a donc x = y Donc y = x ou y =−x — Réciproquement, on a évidemment, xRx et xR− x La classe d’équivalence de x est donc {−x,x} Attention Quand x = 0, la classe d’équivalence est alors {0} et dans ce cas uniquement, il n’y a qu’un seul élémen
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Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d
Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par Taille du fichier : 147KB
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Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1 Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d'équivalence Lois de composition (groupes) Logique élémentaire Objectifs : Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser les applications (définition, image d'une partie, image
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Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d
Exercices de mathematiques´ Feuille 3 - Relations binaires sur E Relations d’equivalence´ Relations d’ordre 1 RelationsbinairesdeE dansE :representations,propri´ et´ es´ 1 Exercice corrig´e en amphi Rest une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signifie : (a) Rn’est pas r´eflexive (b) Rn’est pas sym´etrique (c) Rn’est pas antisym´etrique (d) Rn’est pas
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Corrig e du DST - u-bordeauxfr
3 Montrer que la relation t est une relation d’ equivalence La relation t est : { r e exive, puisque pour tout x 2R on a x x = 0 2Z, { sym etrique, puisque pour tous x et y dans R, les nombres x y et y x sont oppos es et donc simultan ement entiers ou non, { transitive, car pour tous x, y et z dans R, on a x z = (x y) (y z), et donc x z est entier d es que x y et y z le sont C’est donc
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RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1
Montrer que est une relation d’équivalence sur 3 Décrire l’ensemble des classes d’équivalence Allez à : Correction exercice 17 : Exercice 18 : On définit sur la relation ( ) ( ) {1 Montrer que est une relation d’ordre 2 On admettra qu’il s’agit d’une relation d’ordre totale Classer par ordre croissant les dix premiers couples de muni de la relation d’ordre AlleTaille du fichier : 1MB
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Planche no 3 Ensembles, relations, applications : corrigé
Par suite, R est une relation d’équivalence sur P On peut montrer que les classes d’équivalences pour la relation R sont des cercles centrés sur l’axe des ordonnées Exercice no 5 Réflexivité Pour tout élément A de P(E), on a A ⊂ A Par suite, la relation ⊂ est réflexive Anti-symétrie Soient A et B deux éléments de P(E)tels que A ⊂ B et B ⊂ A Alors A =B Par
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Corrigé du TD no 7
CPP–2013/2014 AlgèbregénéraleI J Gillibert Corrigé du TD no 7 Exercice 1 Diresichacunedesrelationsci-dessousestréflexive,symétrique,outransitive
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INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés
tion réflexive, relation anti-réflexive, relation symétrique, relation antisymétrique, relation transitive, relation d’équivalence, classe d’équivalence 2 Donner un exemple pour chacun des éléments mentionnés dans la question précédente Exercice 4 Considérons la relation
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Module B03 Feuille d’exercices N 5 - univ-rennes1fr
Feuille d’exercices N 5 Relations binaires Exercice n 1 Soit R une relation sym´etrique et transitive sur un ensemble E Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant : R ´etant sym´etrique, xRy ⇒ yRx ; comme R est transitive, (xRy et yRx) ⇒ xRx On en d´eduit que R est r´eflexive Exercice n 2 Soit E = {1,2,3,4,5,6,7,8} On d´efinit sur l’ensemble produit E ×E la relation R
Exercice 9 : Dans , on définit une relation en posant pour tout ( ) : 1 Montrer que est une relation d'ordre partiel
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges relations binaires
Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l'
TD corrige
Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
selcor
Donc, R est réflexive et est, par conséquent, une relation d'équivalence Heumez, G Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI,
TD
1 Exercice corrigé en amphi 고 est une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signifie : (a) 고 n'est
Feuille
25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9
Corrigé du DST Exercice 1 Exercice 2 On consid`ere la relation binaire ≈ sur R, définie par : Montrer que la relation ≈ est une relation d'équivalence
corrige web
Exercice n◦3 Soient E un ensemble et A ∈ P(E) ; on définit sur P(E) la relation R par XRY si X ∩ A = Y ∩ A Montrer que c'est une relation d'équivalence
B TD
2 1 6 Exercices sur les ensembles 3 2 Relation d'équivalence NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE Corrigés Corrigé 1 5 1 (1) (n = 2) ∧ (n pair)
AL MS
Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
td
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
Exercice 1. Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique
25 sept. 2018 ? f(x) = f(y). 1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur E. 2. Thierry Sageaux ...
et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient
Ensembles applications. Relations d'équivalence. Lois de composition (groupes). Logique élémentaire. Objectifs : ? Démontrer que
Exercice 120. Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d'une relation d'équivalence préciser les classes; dans le cas d'une relation
1. Exercice corrigé en amphi. ? est une relation binaire sur un ensemble E. Ecrire ce que signifie : (a) ? n'est
(b) Décrire la classe d'équivalence d'une fonction donnée f ? F(EE). Exercice 4 [ 02984 ] [Correction]. Soit R une relation binaire réflexive et transitive.
Exercices de Mathématiques. Relations d'équivalence (I). Corrigés. Corrigés des exercices. Corrigé de l'exercice 1 [ Retour `a l'énoncé ].
Exercice 2896 Parties saturées pour la relation d'équivalence associée à f. Soit f : E ? F une application et S = {X ? E tq f?1(f(X)) = X}.
Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre Relations Exercice 1 - Nature des relations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille
Exercice 2 : 1 Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d'équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne
Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique ou transitive 1 La relation R sur Q définie par : xRy ? xy = 0
Montrer que S est une relation d'équivalence et que R permet de définir une relation d'ordre sur les classes d'équivalences de S Exercice 5 [ 02985 ] [
25 sept 2018 · Exercice 14 Soient E et F deux ensembles et f ? FE Soit R la relation définie sur E par xRy
Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz ? z = z 1 Montrer que R est une relation d'équivalence 2 Déterminer la classe d'équivalence
Exercice corrigé en amphi Soit ? la relation binaire définie sur l'ensemble des entiers relatifs par : a?b si et seulement si a - b est pair (a) Montrer que
Voici un cours avec des exercices corrigés sur la notion de relation d'équivalence C'est un cours de première année dans le supérieur
Relation d'équivalence Relation d'ordre Exercice 1 1 Soit E = N × N on définit R par : (a b)R(a b ) ? a + b = b + a Montrer que R est une relation
TD2 : Relations d'ordre et d'équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ? a ? b est un multiple de 5 est une relation
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RELATION BINAIRE