Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par : xRy()xey =yex est une relation d’équivalence Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments de la classe de x modulo R Indication H Correction H Vidéo [000212] 2 Relation d’ordre Exercice 3 Soit (E;6) un ensemble ordonné On définit sur P(E)nf0/gla relation ˚par X
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0
(a;b) ˘(c;d) ssiad bc= 0: 1 Prouvez que la relation ˘est une relation d’équivalence, et que l’ensemble quotient E=˘est en bijection avecl’ensembleQ desnombresrationnels 2 Prouvez que les opérations et sont compatibles avec ˘, et que leurs quotients sont les opérations d’additionetdemultiplication(classiques)surQ 5
Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence Définition Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai
Feuille d’exercice n° 08 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels Exercice 1 SoitEunensembleetAunepartiedeE OndéfinitlarelationRsurP(E) par :XRY siX∪A= Y∪A 1) MontrerqueRestunerelationd’équivalence 2) Décrirelaclassed’équivalencedeX∈P(E)
2 Pour toute relation d’équivalence Rsur E, le sous-ensemble des parties U R est une partition de E 3 U7R Uet R7U R sont des bijections inverses l’une de l’autre entre les partitions de Eet les relations d’équivalence sur E Autrement dit, se donner une relation d’équivalence sur E est “la même chose” que se donner
Est une relation d’équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a exactement classes d’équivalentes distinctes Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : Sur , on considère la relation définie par ( ) ( ) 1 Montrer que est une relation d’équivalence 2
Exercice n 6 Soir T la relation d´efinie dans R par : xT y si x3 −y3 = 3(x−y) Montrer que T est une relation d’´equivalence et d´eterminer les classes Exercice n 7 On d´efinit la relation ∼ sur Z par x ∼ y ⇔ x2 ≡ y2 [5] 1) Montrer que ∼ est une relation d’´equivalence et d´eterminer l’ensemble quotient
2 2 Représentant canonique et relation d’équivalence induite Dés qu’ils ont choisi une représentation des données A Les informaticiens définissent une fonction canon : A -> A qui à chaque élément a:A associe
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Relation d’équivalence, relation d’ordre 1 Relation d
1 Relation d’équivalence Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz0,jzj=jz0j: 1 Montrer que R est une relation d’équivalence 2 Déterminer la classe d’équivalence de chaque z2C Indication H Correction H Vidéo [000209] Exercice 2 Montrer que la relation R définie sur R par : xRy()xey =yex est une relation d’équivalence Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d Taille du fichier : 147KB
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Exercices - Relations d’ordre - relations d’équivalence
Exercices - Relations d’ordre - relations d’équivalence: corrigé Exercice 1 - Nature des relations-L1/Math Sup-? 1 Larelationn’estpasréflexive,car1 n’estpasenrelationaveclui-même Eneffet,1 6= −1 La relation est symétrique, car x= −y ⇐⇒ y= −x Elle n’est pas antisymétrique, car 1R−1 et −1R1, alors que 1 6= −1 Elle n’est pas transitive, sinon, comme elle est
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1 Exemples simples de relations d’équivalence
Exercice 3 (Relationssurl’ensembleEdesdroitesduplan) 1 d 1 ˘d 2 ssid 1 jjd 2 2 d 1 ˘d 2 ssid 1?d 2 Exercice 4 (Relationssurl’ensembleEdesapplicationsf: R R) 1 f˘gssi l’ensembleE f;g:= fx2R : f(x) 6= g(x)gestfini 2 f˘gssi l’ensembleE f;g estvideouaunseulélément 2 Construction de relations d’équivalence à partir des applications ou d’autres relations
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TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé)
TD2 : Relations d’ordre et d’équivalence (avec corrigé) Exercice 1: (a) Prouvez que la relation sur Z aRb ⇔ a −b est un multiple de 5 est une relation d’équivalence Solution: On vérifie les 3 conditions : — Réflexivité : Soit x ∈ Z On veut prouver xRx, c’est à dire x− est un multiple de 5 On a x − x = 0 = 5 ×0 Par conséquent, x − x est un
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Relations d’équivalence
1 10 Exercice Si G= Z, et que H= nZ pour un n6= 0 , montrer qu’avec la relation précédente, on a x˘ysi et seulement si ndivise x y En fait, c’est vrai même avec n= 0, mais à quoi ressemble la relation d’équivalence dans ce cas? La relation précédente sur Z est particulièrement importante pour l’arithmétique, on utilise donc une terminologie spécifique 1 11 Définition
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Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d
1-3 Relations d'équivalence Définition Soit R une relation de E dans lui-même 1- R est réflexive si pour tout x de E, x R x est vrai 2- R est symétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication x R y ⇒ y R x 3- R est antisymétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication (x R y et y R x) ⇒ x = y
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RELATION BINAIRE - Claude Bernard University Lyon 1
1 Vérifier que la relation est une relation d’équivalence 2 Faire la liste des classes d’équivalences distinctes et donner l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : 1 Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d’équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne, montrer qu’il y a exactement classes d’équivalentesTaille du fichier : 1MB
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Corrigé du TD no 7
Exercice 5 OnconsidèrelarelationRsurZ×Z∗définiepar: (a,b)R(c,d) ⇔ad = bc 1 MontronsqueRestunerelationd’équivalence (a) Réflexivité:soit(a,b) ∈Z×Z∗ Alorsab = ba donc(a,b)R(a,b) (b) Symétrie:nousavons (a,b)R(c,d) ⇔ad = bc ⇔cb = da ⇔(c,d)R(a,b) (c) Transitivité : soient trois couples (a,b), (c,d) et (e,f) tels que (a,b)R(c,d) et (c,d)R(e,f),
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CHAPITRE 3 : Relations d’équivalence et ensemble quotient
1 0 5 Réciproquement, une partition de A définit une relation d’équivalence Supposons que l’ensemble A correspondent à l’union de sous-ensembles A1, ,An ie A = A1 union A2 union union An alorslarelationR:AxAdéfinitpar x R y si et seulement si il existe i tel que x et y sont dans le même sous-ensemble Ai estunerelationd’équivalence
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[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 novembre 2017
une relation d'équivalence Prenons pour Rla relation divise dé nie sur N On a 2 j6 et 3 j6 donc 2T6 et 6T3 or 2 6T3 Ici la relation Tn'est pas transitive Exercice 2 : [énoncé] (a)La relation étudiée est évidemment ré exive, symétrique et transitive (b) Y 2Cl(X) ()Y[A= X[A Soit Y 2Cl(X) On a Y[A= X[A 8x2YnAon a x2Y[A= X[Aet x=2Adonc x2XnA Ainsi
Exercice 9 : Dans , on définit une relation en posant pour tout ( ) : 1 Montrer que est une relation d'ordre partiel
fetch.php?media=exomaths:exercices corriges relations binaires
Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l'
TD corrige
Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type Exercice 5 Soit E et F deux ensembles, et f : E → F une application On définit le relation
TD equivalences
Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
selcor
25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9
Exercice 1 Trouver toutes les relations d'équivalence possibles sur l'ensemble { 1,2,3} Exercice 2 Soit E = {1,2,3,4,5} et R la relation binaire donnée par
Fiche
Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement
td
Relations d'équivalence Denis Vekemans ∗ Exercice 1 Soit E un ensemble et R une relation de E dans E Dans chacun des exemples ci-dessous, donner les
TD
Exercice n◦3 Soient E un ensemble et A ∈ P(E) ; on définit sur P(E) la relation R par XRY si X ∩ A = Y ∩ A Montrer que c'est une relation d'équivalence
B TD
1 Exercice corrigé en amphi 고 est une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signifie : (a) 고 n'est
Feuille
Exercice 5 : Soit un ensemble et soit une partie de . On définit dans ( ) la relation d'équivalence en posant pour tout couple ( )
25 Sept 2018 Montrer que R est une relation d'équivalence. Donner la classe d'équivalence de (1; 2). Exercice 11. ? “. Sur R.
et après une étude de fonction on calculera le nombre d'antécédents possibles. 2. Page 3. Correction de l'exercice 1 ?. 1. Soient
autre relation (d'équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type. Exercice 5. Soit E et F deux ensembles
Étant donné un réel x calculer sa classe d'équivalence. Combien y a-t-il d'éléments dans cette classe ? Exercice 3. On définit une relation ? sur P(
Il est facile de vérifier que cette application est bijective d'où le résultat. 2. Page 3. Exercice 5. On considère la relation R sur Z × Z?
(2) Lister les classes d'équivalence et donner l'ensemble quotient E/R. Exercice 3. On considère la relation d'équivalence sur R2 définie par.
Exercice 129 Relation d'équivalence quotient. Soient R et S deux relations d'équivalence sur un ensemble E telles que : ? x
Exercice 3 : On pose I = [0; 2[ et on munit I de la relation d'ordre ?. 1. Est-ce que I admet un majorant ? une borne supérieure ? un plus grand élément ? 2.
9 Feb 2013 Exercice 2. Parmi ces relations binaires dire lesquelles sont des relations d'équivalence : La relation d'ordre ? sur R. La relation = sur ...
Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre · La relation n'est pas réflexive : une droite n'est pas orthogonale à elle-même · La relation
Exercice 2 : 1 Montrer que la relation de congruence modulo [ ] Est une relation d'équivalence sur 2 En vous servant de la division euclidienne
Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive symétrique ou transitive 1 La relation R sur Q définie par : xRy ? xy = 0
25 sept 2018 · Exercice 14 Soient E et F deux ensembles et f ? FE Soit R la relation définie sur E par xRy
Montrer que S est une relation d'équivalence et que R permet de définir une relation d'ordre sur les classes d'équivalences de S Exercice 5 [ 02985 ] [
Exercice 1 Dans C on définit la relation R par : zRz ? z = z 1 Montrer que R est une relation d'équivalence 2 Déterminer la classe d'équivalence de
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive symétrique et transitive Exemples Le parallélisme est une relation
Exercice 1 1 Soit E = N × N on définit R par : (a b)R(a b ) ? a + b = b + a Montrer que R est une relation d'équivalence Identifier E/R
Exercice corrigé en amphi Soit ? la relation binaire définie sur l'ensemble des entiers relatifs par : a?b si et seulement si a - b est pair (a) Montrer que
Exercice 5 Soit E et F deux ensembles et f : E ? F une application On définit le relation ?f sur E comme suit : x ?f y ssi f(x) = f(y)
Comment déterminer une relation d'équivalence ?
Une relation binaire est une relation d'équivalence si et seulement si elle est réflexive, symétrique et transitive. deux ensembles, et f une application de E dans F. La relation sur E définie par aRb ? f(a) = f(b) est une relation d'équivalence.Comment montrer qu'une relation est une relation d'équivalence ?
Une relation R sur un ensemble E est une relation d'équivalence sur E si elle vérifie ces trois propriété :
Réflexivité : Pour tout de x de E, xRx.Symétrie : Pour tout (x,y) de E, si xRy alors yRx.Transitivité : Pour tout (x,y,z) de E si xRy et yRz alors xRz.Quelle est la relation d'équivalence ?
Définition formelle
Une relation d'équivalence sur un ensemble E est une relation binaire ~ sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive. Plus explicitement : ~ est une relation binaire sur E : un couple (x, y) d'éléments de E appartient au graphe de cette relation si et seulement si x ~ y.- Plus formellement, une relation ? est dite antisymétrique si elle vérifie la condition suivante : (x ? y ? y ? x) ? x = y. En d'autres termes, si, dans une relation ? on a à la fois le couple (x, y) et son couple réciproque (y, x), alors x et y sont un seul et même élément.
RELATION BINAIRE