Calculer la covariance de X et Y b Le couple (X, Y b) forme-t-il un vecteur gaussien ? I 9 Exercice Soit X une variable aléatoire gaussienne centrée réduite et Y
td M
Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covariance K à partir de variables gaussiennes indépendantes Solution de l'exercice 2 Soit
td processus corrige
Montrer que (X +Y,2X −Y )t est un couple gaussien Déterminer sa matrice de covariance Exercice 3 Soient X1 et X2 deux var iid suivant chacune la loi normale
td
Les variables aléatoires Y1 −Y2 et Y1 +Y2 sont-elles indépen- dantes ? Exercice 2 Soit X := (X1, ,Xn) un vecteur gaussien centré de matrice de covariance
TD
Exercice 2 : changement de variables et indépendance pour vecteurs gaussiens Exercice 3 : comment générer un vecteur gaussien de vecteur moyenne m et
TD probas SN
Vecteurs Gaussiens Exercice 1: Soit V un vecteur aleatoire gaussien рa valeurs dans R Soient XБ,X2et X les composantes de V suivant la base canonique
td
Exercice 1 Densité d'un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ Nous supposons que C = ADAt o`u D est
TD Mag
Dans cet exercice X = (X1,X2,X3,X4)T désigne un vecteur gaussien de moyenne (0,0,0,0)T et de matrice de variance-covariance identité 1 Quelle est la loi de
cor cc
Exercice 10 1 Soit (X, Y ) un vecteur gaussien centré, avec E(X2)=4et E(Y 2) = 1, et tel que les variables 2X + Y et X - 3Y sont indépendantes 1 Déterminer la
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Exercice 1 Densité d'un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ Nous supposons que C = ADAt o`u D est
TD Mag
20-May-2019 Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes centrées réduites. 1. Déterminer la loi de. (. X ...
L'objet de l'exercice est d'obtenir un bon encadrement de la Exercice 2. Montrer qu'il existe un vecteur gaussien centré X à valeurs.
2. Montrer que (X +Y2X ?Y )t est un couple gaussien. Déterminer sa matrice de covariance. Exercice 3.
Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covariance K à partir de variables gaussiennes indépendantes. Solution de l'exercice 2 Soit d
Exercice 1. Densité d'un vecteur gaussien. Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ. Nous.
Exercice 12 (Extrait du partiel de novembre 2016) Montrer que (U X ?Y ) est un vecteur gaussien dont on précisera l'espérance et la matrice de ...
1 Vecteurs gaussiens. Exercice 1. 1. Une matrice est une matrice de covariance si et seulement si elle est sy- métrique et semi-définie positive.
Exercice 2. Dans cet exercice X = (X1X2
TD 3 - Vecteurs Gaussiens I. 2018 - 19 lerouvillois@math.univ-lyon1.fr poudevigne@math.univ-lyon1.fr. Exercice 1. Soit (X1X2) un vecteur gaussien centré de
Montrer que (UV) est un vecteur gaussien et calculer sa covariance. . On pose. W = (X ? U) + (Y ? U) . Exercice . Densité des vecteurs gaussiens.
PC 5 { Calcul de lois & Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soient X et Y deux variables al eatoires ind ependantes gaussiennes centr ees r eduites 1 D eterminer la loi de Xp+Y 2;Xp Y 2 2 D eterminer la loi de X=Y Solution Comme Xet Y sont ind ependantes la loi de (X;Y) a une densit e 1 2? e x 2+y2 2 sur R2 Soit g: R2!R une fonction continue
Fiche 4 Vecteurs gaussiens Exercice 1 Soit Xet Y deux ariablesv aléatoires i i d de loi N(0;1) 1 On pose U= X+Y 2 et V = X Y 2 Montrer que (U;V) est un vecteur gaussien et déterminer sa loi 2 On pose W= 1 2 (X U)2 + 2 (Y U)2 montrer que Uet Wsont indépendantes et déterminer la loi de W Exercice 2
vecteur gaussien standard et Aune matrice racine carrée de Alors les vecteurs X et m+ AZontmêmeloi Démonstration Ilsu?td’utiliserlerésultatprécédentetdevéri?erquepourlesdeuxvecteurson obtientlamêmefonctioncaractéristique Proposition9 Toutematricesymétriquesemi-dé?niepositive dedimensiond destlamatrice
8 Chapitre I Vecteurs aléatoires gaussiens Démonstration Lapremièreéquivalenceprovientdeladé?nitiond’unvecteuraléatoiregaussien etdecelledelafonctioncaractéristiqued’unevariablealéatoiregaussienneréelle Pourl’équivalenceentre 1 et3 celaprovientsimplementduthéorème 3 etdespropriétésdesmatricessymétriquessemi-dé?nies
Chapitre 14 Vecteurs gaussiens Renaud Bourl es - Ecole Centrale Marseille Math ematiques pour la nance
Exercices sur les vecteurs gaussiens et les lois conditionnelles Exercice 1 Densit´e d’un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d’esp´erance µ Nous supposons que C = ADAt ou` D est diagonale et A orthogonale Nops consid´erons le vecteur al´eatoire Y = At(X ?µ) 1 Montrer que Y est un vecteur
Exercices Rappels vecteurs gaussiens Exercice 1 On donne les poids à la naissance (en kg) de 10 enfants : 3:2;2:4;3:3;3:4;3:9;2:9;3:3;4:5;1:9;3:3: 1 Calculer le poids moyen puis l'écart-type du poids des enfants 2 On a demandé aux mères si elles aaienvt traaillév au cours de leur grossesse : cinq ont tra-
Exercices Vecteurs Gaussiens Soit = ( 1;:::; n) 2M 1;n(R) unvecteurligneet 2M n(R) unematricesymétrique dé?niepositive(i) OnditqueY = (Y 1;:::;Y n) estunvecteur gaussien demoyennes et matricedecovariance s’iladmetladensité f Y(y 1;:::;y n) = 1 p (2?)ndet() exp h T 1 2 (y ) 1(y ) i; ouonécrity = (y 1;:::;y n) 2M 1;n
Application : simulation de vecteurs gaussiens Il est facile de simuler un vecteur gaussien de matrice de variance diagonalecarles composantessontalorsdes v a r indépendantes deloisgaussiennes Supposonsdonc que l’onaitàsimuleruneréalisationd’unvecteurgaussien X?N n(m;) IlexisteunematriceorthogonaleP telleque = P Pt(?) où = diag( 1
TD no 8 : Vecteurs gaussiens Exercice 1 SoientXetY deuxvar iid suivantchacuneloinormaleN(0;1) OnposeU= X+Y etV = X Y 1 Montrerque(U;V)t estuncouplegaussien 2 MontrerqueUetV sontindépendantes Exercice 2 Soit(X;Y)t uncouplegaussiencentrételqueE(X2) = 4 etE(Y2) = 1etlesvar 2X+Y etX 3Y sontindépendantes 1
TD9 - Vecteurs Gaussiens - Correction Exercice 7 6 En utilisant la question précédente et en se rappelant que la loi géométrique G„p”est d’espérance 1 p et
Quelle est la variance d’un vecteur gaussien ?
- Esperance et Variance d’un vecteur gaussien. Rappelons qu’une variable gaussienne (normale) ;?est caracterisee par deux parametres : la moyenne et l’ecart-type ?(ou la variance ?2). De maniere analogue, un vecteur gaussien est caracterise pas le vecteur E(X) et la matrice de variance-covariance : 0 B B B B B B @ Var(X. 1) Cov(X. 1;X.
Quels sont les 3 entiers de Gauss ?
- Trois entiers de Gauss : 1 + i, 2 + i et 1 + 3i. Comme tout anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss possèdent une norme. Si N est cette norme, elle est définie par :
Comment calculer la fonction caractéristique d'une gaussienne?
- Cette fonction caractéristique , qui se calcule à partir de la densité de probabilité, et caractérise la loi, est donnée par : . Cette fonction caractéristique est égale, à une constante multiplicative près, à la densité de probabilité de la loi : on dit que la fonction caractéristique d'une gaussienne est gaussienne .
Qu'est-ce que la renormalisation des vecteurs gaussiens?
- nest une constante de renormalisation. Les vecteurs Gaussiens sont souvent utilis´es dans les mod`eles statistiques multi-dimensionnels car ils s’av`erent assez faciles a manipuler, notamment graˆce au th´eor`eme de Cochran. Consid´erons par exemple un n-´echantillon X1,...,X
PC 5 – Calcul de lois & Vecteurs gaussiens