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ENFA - Bulletin du GRES n°10 - octobre 2000 page 32

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LES CARTES DE CONTROLE

(module D 4.14 en BTS IAA)

Remarques générales :

Nous allons présenter ici la carte de contrôle mise en place par Shewhart pour le contrôle de la moyenne. Il est à noter que seule la partie utilisant un écart-type de la production connu doit être obligatoirement traitée dans le cadre du module D4.14.

L'estimation de l'écart-type peut, quant à elle, faire l'objet d'une séance de pluridisciplinarité.

Signalons également que les notations dans cet article sont celles que nous employons habituellement et ne correspondent pas toujours avec celles utilisées dans les normes AFNOR (dans celles-ci, par exemple, s² correspond à 1nSCE

Introduction

Dans le cadre d'un "système qualité», il faut surveiller, par exemple, le bon fonctionnement d'appareils de mesure ou la stabilité d'une fabrication. On met donc en place des contrôles en cours de fabrication sur le nombre de défectueux, la

moyenne, l'écart-type ou l'étendue. Ils permettront de surveiller la fabrication et d'enregistrer

les variations de la qualité de celle-ci au cours du temps. On dit qu'un processus industriel est sous contrôle lorsque, pour le ou les caractères pris en considération, la moyenne et la variabilité des valeurs observées (ou la proportion de

défectueux) restent stables. Une fabrication peut faire l'objet d'un contrôle sans être sous

contrôle. Une carte de contrôle est un graphique sur lequel on reporte, dans l'ordre

chronologique, les valeurs d'une statistique calculée sur des échantillons, en général de même

effectif, issus de la fabrication. Chaque point a pour abscisse le n o de l'échantillon et pour

ordonnée la valeur de la statistique calculée sur cet échantillon (moyenne, écart-type,...). Une

telle carte comporte une ligne centrale ainsi que des limites de surveillance et de contrôle tracées à l'avance.

La carte de contrôle de la moyenne peut être complétée par une carte de contrôle de l'écart-type

pour permettre de contrôler la dispersion (toute augmentation de cette dernière conduit à une

détérioration de la qualité de la production) mais cette partie n'est pas au programme en BTS

IAA. Il est à noter que la norme NF X 06-031 propose de mettre en place une telle carte de contrôle

en faisant figurer non pas l'écart-type de l'échantillon mais l'estimation de l'écart-type de la

fabrication qui en découle. ENFA - Bulletin du GRES n°10 - octobre 2000 page 33

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I). Les cartes de contrôle de Shewhart

1) Principe

On prélève à intervalles réguliers des échantillons d'effectif fixe n. Pour la carte de contrôle de la moyenne, on calcule pour chaque échantillon la moyenne des

valeurs observées (on peut également calculer l'étendue ou l'écart-type pour contrôler la

dispersion).

La ligne centrale d'une carte de contrôle correspond à la valeur cible qui doit correspondre à

l'espérance de la statistique associée aux grandeurs mesurées.

Ainsi, pour la carte de contrôle de la moyenne, la valeur cible est la moyenne µ de la population

considérée (estimation ou valeur de référence) car E

X. Il est à noter que cette étape est

plus complexe pour la carte de contrôle de l'écart-type : la valeur cible est notée c 4 où les valeurs du coefficient c 4 dépendent de n et sont données dans les normes mais peuvent être calculées directement avec Excel (cf. dernière page de l'article pour plus de précisions). Définition des limites de surveillance et de contrôle

Il faut alors définir :

une limite supérieure de surveillance (LSS) et une limite inférieure de surveillance (LIS) situées à 2 écarts-types (de la statistique utilisée ) de la valeur cible ; une limite supérieure de contrôle (LSC) et une limite inférieure de contrôle (LIC) situées à 3 écarts-types de la valeur cible.

Cas de la carte de contrôle de la moyenne

Le tableau ci-dessous donne la valeur centrale et des limites de contrôle et de surveillance pour

la carte de contrôle de la moyenne (prélèvement d'échantillons de taille n) dès lors que l'écart-

type et la moyenne de la production sont connus :

Ligne centrale LIC LSC LIS LSS

n3 n3 n2 n2 LIS

LIC LSS

LSC

Valeur cible

n3 n3 n2 n2 ENFA - Bulletin du GRES n°10 - octobre 2000 page 34

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La taille n assez faible des échantillons prélevés en cours de fabrication exige que la

distribution de X (égale, par exemple, à la masse des éléments de la production) soit normale.

Cette hypothèse est absolument nécessaire pour qu'une éventuelle validation de l'estimation de

l'écart-type soit cohérente.

Etant donné que

X est distribuée suivant la loi normale

n;N, on déduit que : n2Xn2P

954,02U2P et

9973,0)3U3(Pn3Xn3P

Conclusion :

Le risque de fausse alarme est de 0,27 % pour le dépassement des limites de contrôle et de 4,6 % pour celui des limites de surveillance.

2) Mise en place d'une carte de contrôle dans le cas où la moyenne µ et l'écart-type de la

fabrication sont inconnus C ette partie ne fait pas partie des objectifs du module D4.14. Il faut, dans un premier temps, déterminer une estimation 0

ˆ de à partir des écarts-types

de plusieurs échantillons. La méthode de prélèvement est la suivante (cf. norme NF X 06-031) :

on prélève à intervalles réguliers r échantillons de taille n (

20r et 5n).

Considérons ces r échantillons deux à deux indépendants dont les variances associées sont :

2 1 s ; 2 2 s ; ........ ; 2 r s.

Méthode d'estimation :

Comme il est indiqué dans l'article sur l'analyse de variance, la variance commune est estimée par le CM res noté 2 0 ˆ associé au nombre de degrés de liberté suivant : ddl res = nombre d'observations - nombre d'échantillons = nr - r.

On a donc :

r 1i2 ir 1i2 i res 2 0 1nns r1 rnrns rnrSCEˆ qui correspond à la moyenne des r valeurs 2 i s1nn

On a alors :

i2 i0 s1nn r 1ˆ La validation de cette estimation s'effectue en s'assurant qu'aucune des valeurs calculées i s1nn n'est supérieure à la LSC associée à l'écart-type ici o2 44

ˆc13c.

Il n'est pas nécessaire de déterminer la LIC puisqu'une valeur inférieure à cette limite signifie

que l'écart-type est voisin de 0 ce qui est tout à fait satisfaisant. ENFA - Bulletin du GRES n°10 - octobre 2000 page 35

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Dès lors, cette estimation peut être assimilée à la valeur vraie .n. La moyenne des moyennes observées peut, quant à elle, servir d'estimation de µ.

On peut ensuite déterminer les limites de contrôle de la moyenne. Ces limites et l'estimation de

µ seront validées si aucune moyenne observée ne dépasse ces limites.

Dans le cas contraire, les échantillons suspects pourraient être éliminés si on pouvait justifier

que la valeur mesurée est aberrante (problème d'alimentation, .....).

Si les causes du dépassement ne peuvent être identifiées, il ne faut pas éliminer ces échantillons

car un tel phénomène est susceptible de se reproduire. Cette étape éventuelle justifie que l'on considère dans un premier temps un peu plus de 20 échantillons de manière à ne pas passer sous la barre fatidique fixée par la norme.

II). Utilisation d'une carte de contrôle

3) Règles de décision en cours de fabrication :

a) Si la valeur est entre les limites de surveillance, le résultat est satisfaisant. b) Si la valeur est entre une limite de surveillance et une limite de contrôle, on procède immédiatement à une nouvelle prise. Si le résultat ne se trouve pas entre les limites de surveillance, on procède à un réglage.

3) Si la valeur n'est

pas entre les limites de contrôle, on procède à un réglage.

2) Actualisa

tion et analyse d'une carte de contrôle

Régulièrement, il faut s'assurer que la carte de contrôle mise en place donne des résultats

satisfaisants. Si tel n'est pas le cas (sortie fréquente des limites), il faut essayer de trouver la

cause d'une éventuelle défaillance ou essayer de redéfinir les limites de cette carte.

On peut signaler qu'une carte de contrôle peut également être utilisée pour un contrôle à

posteriori en faisant apparaître par exemple un phénomène de dérive (plusieurs points

consécutifs vers le bas, plusieurs points consécutifs situés d'un même côté de la cible, ..).

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3) Application :

Pour étudier le fonctionnement d'une conditionneuse d'un hall technologique et agro-

alimentaire, on a relevé la masse de 120 pots de yaourts (24 échantillons de taille 5). On admet

que la distribution des masses est normale. Les résultats sont ici les suivants : N o Prise 1 Prise 2 Prise 3 Prise 4 Prise 5 Moyennes i s1nn 2 i s1nn

1109 1109 4110 3108 8109 6109 440 56830 323

2109 4109109 5109 2109109 220 22800 052

3109 4109 2109 6109 3109 4109 380 14830 022

4109 1109 3108 8109 1109 4109 140 23020 053

5108 6109 1110 2108 6109 2109 140 65420 428

6110 1109 5109 4109 5108 8109 460 46150 213

7109 4110108 9109 3109 2109 360 40370 163

8109 4109 2109 9108 9109 2109 320 37010 137

9109 4108 7109 3109 7108 8109 180 42070 177

10110 2109 1108 9109 6109 1109 380 52630 277

11109 2109 5109 2109 2109 3109 280 13040 017

12108 9109 2109 3108 9109 6109 180 29500 087

13110 2109 3109 2110 2108 7109 520 66110 437

14109 8108 6109 4109 2108 7109 140 49800 248

15109 3109 2109 3109 1109 1109 20 1000001

16109 1109 1109 8109 1109109 220 32710 107

17109 4108 6109 7109 5108 7109 180 49700 247

18110108 7109 4109 5108 5109 220 61400 377

19109109 1108 8109109 6109 10 3000009

20108 9108 9109109 3108 91090 1732003

21109 2108 8108 7109 4109 3109 080 31140 097

22109109 4109 3109 5109 8109 40 29150 085

23108 6109 1109108 5109 4108 920 37010 137

24109 1108 5109 3109 2108 4108 90 41830 175

2621 363 989Sommes

On en déduit les estimations de µ et

suivantes :

4077,024989,3ˆet22,1092436,2621ˆ

o

Validation de l'estimation de l'écart-type

Il faut s'assurer que les estimations obtenues sont toujours inférieures à la limite supérieure de

contrôle de l'écart-type estimé. La limite supérieure de contrôle est alors : o2 44

ˆc13c0,80 (avec c

4 = 0,94) ce qui conduit à valider notre estimation de l'écart-type de la production. Détermination des limites de contrôles de la moyenne LIC =

53108 et LSC =

V

P53 110,45.

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On peut constater à l'aide de la représentation graphique ci-dessous que toutes les moyennes observées sont comprises entre ces deux limites. On peut donc mettre en place la carte de contrôle de la moyenne en déterminant les limites de surveillance (ici : LIS = 108,41 et LSS = 110,04).

IV. Compléments

: détermination des limites de contrôle de la carte de l'écart-type

1) Justification de la valeur de la cible

Rappel

: Lorsque la population est distribuée normalement avec une moyenne inconnue, on utilise la variable aléatoire K=

²²nS

distribuée selon la loi du khi-deux à n-1 degrés de liberté dont la densité de probabilité f est définie, pour n

2, par

)x(1xe 21n21
)x(f [;0[1 21n
2x 2 1n où 0x,dtte)x( 01xt (fonction gamma).

On a donc :

dtte 21n21
tdt)t(ftKESnE 121n
2t 2 1n 00 Soit 01 2n 2t 2 1n dtte 21n21

SnE. Posons 2x = t soit 2dx = dt

SnE 21n2n
2dxxe

21n2dx2xe

21n22
12n 0 x 12n 0 x 2 1n1 2n

Ainsi :

SnE 21n2n

2 soit

1nSnE 21n2n
1n2.

107,5108108,5109109,5110110,5111

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Lorsqu'on considère la carte de contrôle de l'écart-type (valeurs observées : i s1nn ), la valeur cible est donc 1nSnE 21n2n

1n2coùc

44
. Dans le cas où n est supérieur à 15, la norme propose d'utiliser le fait que :

3n44n4c

4 A l'aide d'Excel (utilisation de la fonction lngamma()), on obtient les valeurs c 4 (arrondies à 10 4 ) en fonction de n : n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c 4

0,7979 0,8862 0,9213 0,9400 0,9515 0,9594 0,9650 0,9693 0,9727

n 11 12 13 14 15 ...........20 30 40 c 4

0,9754 0,9776 0,9794 0,9810 0,9823 ......... 0,9869 0,9914 0,9936

2) Limites concernant la carte de contrôle de l'écart-type :

On a :

²c1²c²S1nnE²S1nnES1nnVar

2 42
42
donc l'écart-type de 2 4 c1àégalestS1nn

Les limites sont alors définies ainsi :

2 442
44
c12cc12cLS et 2 442
44
c13cc13cLC Si une limite inférieure est négative, on la ramène à 0. Une valeur inférieure à la LIC est susceptible de mettre en évidence soit une anomalie (problème d'un appareil de mesures par exemple) soit, au contraire, une augmentation de la qualité de la production (dispersion plus faible).quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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